Wstęp

Niniejszy zbiór zawiera 1001 (naprawdę!) niewielkich zadań - "drobiazgów" - z zakresu podstaw teorii obwodów elektrycznych. Tytuł książki motywowany jest młodzieńczą fascynacją jednego z autorów sklepami "1001 drobiazgów", które w siermiężnej rzeczywistości przełomu lat 60. i 70. ubiegłego wieku przyciągały nieprzebraną ofertą rzeczy mniej lub bardziej przydatnych, ale zawsze cieszących oko. Autorzy wyrażają nadzieję, że choć część tej mocy przyciągania będzie obecna w niniejszym zbiorze i że zainteresuje on grono młodych adeptów elektrotechniki i elektroniki.

Zadania zamieszczone w zbiorze powstały na przestrzeni ostatnich dziesięciu lat jako pytania części testowej na egzaminach z teorii obwodów i z podstaw elektroniki, prowadzonych przez autorów na drugim semestrze czterech różnych kierunków1 studiów na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Autorem większości zadań (rozdziały 1-17) jest pierwszy z autorów książki, a autorem wszystkich wskazówek i rozwiązań (rozdziały 19-20) - drugi jej autor. Zadania nie pokrywają wprawdzie całego zakresu materiału szeroko rozumianych podstaw teorii obwodów, ale zdaniem autorów ich zakres ten dostatecznie szeroki, aby zapewnić niniejszemu zbiorowi pewien walor ogólności. Zadania podzielone zostały na rozdziały, odpowiadające klasycznym grupom tematów teorii obwodów. Część zadań ma charakter pytań teoretycznych, ale zdecydowana większość to prawdziwe minizadania, wymagające ułożenia i rozwiązania równań i/lub dokonania odpowiednich przekształceń obwodu.

Zadania mają charakter testowy. Po tekście zadania podanych jest szereg odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest poprawna2. Kolejność odpowiedzi jest przypadkowa. Aby zachęcić Czytelnika do samodzielnego rozwiązywania zadań, poprawne odpowiedzi zostały podane w odrębnym rozdziale na końcu książki. Zadania opatrzone są podaną w ramce obok numeru zadania punktacją: prostsze (często dające się rozwiązać bez rachunków) są wyceniane na 1 punkt, a pozostałe - na 2 punkty. Niektóre zadania, oznaczone w ramce literą "W", zawierają wskazówki, inne, oznaczone w ramce literą "R" - kompletne (choć skrótowe) rozwiązania. W elektronicznej wersji książki ramka pełni również rolę nawigacyjną: kliknięcie na punktację przenosi Czytelnika do odpowiedzi, kliknięcie na literę "W" - do wskazówki, a na literę "R" - do rozwiązania danego zadania. Niektóre zadania można przy pewnej wprawie rozwiązać w pamięci, ale większość wymaga kartki papieru i ołówka, a nieliczne także kalkulatora. Zadania trudniejsze lub mniej typowe zostały oznaczone w ramce gwiazdką.

Autorzy długo zastanawiali się nad sposobem zapisu w podanych rozwiązaniach mianowanych wielkości fizycznych występujących we wzorach. Ostatecznie wybrana została metoda nie do końca zgodna z normami edycyjnymi, ale za to zwiększająca (zdaniem autorów) czytelność zapisów. A mianowicie, wzory symboliczne prezentowane są tylko na wstępnych etapach obliczeń, po czym wstawiane są do wzorów wartości liczbowe w odpowiednio wybranym spójnym układzie jednostek (tzn. takim, który nie wymaga stosowania w wyrażeniach czynników ). Od tego momentu obliczenia wykonywane są wyłącznie na liczbach niemianowanych, a dopiero wynik ostateczny jest ponownie uzupełniany o jednostki fizyczne.

Autorzy są oczywiście świadomi, że weryfikacja wiedzy i umiejętności wyłącznie na podstawie zadań o charakterze testowym jest dalece niewystarczająca. Dlatego na prowadzonych przez nich egzaminach zadaniom testowym towarzyszą wieloaspektowe zadania otwarte. Jednak za pomocą testów można zweryfikować naprawdę dużo, a wykorzystanie zamieszczonych w niniejszym zbiorze zadań jako pomocy w bieżącym opanowywaniu materiału oraz przygotowaniu się do kolokwiów czy egzaminów, nawet niemających charakteru testowego, jest zdaniem autorów bardzo pożyteczne.

Zakłada się, że Czytelnik ma opanowane odpowiednie podstawy matematyczne z zakresu algebry (działania na liczbach zespolonych) i analizy matematycznej (funkcje, szeregi liczbowe, różniczkowanie i całkowanie, przekształcenie Laplace'a), a także zna pewne aspekty matematyki dyskretnej (teorię grafów). Są one z reguły wykładane na pierwszym roku studiów technicznych.

Niniejszy zbiór zadań merytorycznie oparty jest na doskonałym trzytomowym podręczniku profesorów Jerzego Osiowskiego i Jerzego Szabatina "Podstawy teorii obwodów", wydawanym w Warszawie w latach 1992-2018, początkowo w wydawnictwie WNT, a ostatnio wznowionym przez WN PWN  [1, 2, 3].

W książce przyjęto pewne konwencje i oznaczenia. Wszystkie wielkości fizyczne będące funkcjami czasu (nawet jeśli nie jest to jawnie podkreślone) oznaczane są zasadniczo małymi literami, natomiast wielkości niezależne od czasu oraz parametry przebiegów zmiennych oznaczane są wielkimi literami. Strzałka napięcia dodatniego pokazuje punkt o wyższym potencjale, a strzałka prądu dodatniego - kierunek ruchu umownych ładunków dodatnich. Jeśli zatem na oporze  strzałki napięcia i prądu są zwrócone przeciwnie, to w opisującym go prawie Ohma nie pojawia się znak minus. Terminy "obwód" i "układ" traktowane są jako synonimy. Obwodem prądu stałego nazywa się obwód, w którym wszystkie źródła niezależne napięcia i prądu mają stałe odpowiednio siły elektromotoryczne i wydajności prądowe. Analogicznie obwodem prądu sinusoidalnie zmiennego nazywa się obwód, w którym wszystkie źródła niezależne napięcia i prądu mają odpowiednio siły elektromotoryczne i wydajności prądowe sinusoidalnie zmienne o tej samej częstotliwości. Przyjęto symbole źródeł napięcia i prądu niezgodne wprawdzie z Polskimi Normami, ale za to stosowane niemal wyłącznie w krajowej literaturze, w tym w przyjętym za podstawę merytoryczną niniejszego zbioru podręczniku "Podstawy teorii obwodów" J. Osiowskiego i J. Szabatina  [1, 2, 3].

W książce przyjęto czterokońcówkowy symbol idealnego wzmacniacza operacyjnego (przy czym wszystkie wzmacniacze operacyjne traktowane są jako idealne), gdyż stosowany powszechnie symbol trójkońcówkowy nie spełnia prądowego prawa Kirchhoffa. Jak widać z ostatniego zdania, prawa Kirchhoffa są tu nazywane prądowym oraz napięciowym, a nie odpowiednio pierwszym i drugim prawem Kirchhoffa. Macierze i wektory oznaczane są pogrubioną czcionką. Do analizy obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego stosuje się liczby zespolone - wskazy, których moduł jest amplitudą (a nie wartością skuteczną) przebiegu, a faza określana jest względem funkcji bazowej cosinus (a nie sinus). Współczynniki zespolonego szeregu Fouriera sygnału okresowego mają indeks (numer harmonicznej) podany w nawiasach w indeksie górnym. Funkcja skoku jednostkowego Heaviside'a oznaczana jest symbolem , a dystrybucja delta Diraca - symbolem . Transformaty Laplace'a sygnałów oznaczane są małymi literami z poziomą kreską u góry, a sprzężenie liczby zespolonej - gwiazdką w górnym indeksie. W przypadku teorii czwórników wszystkie możliwe kategorie ich wielkości zaciskowych (przebiegi stałe, wskazy i transformaty Laplace'a) mają tradycyjnie uniwersalny zapis w postaci wielkich liter. Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane inaczej, będziemy zakładać, że wartości elementów (np. oporu ) są dodatnie.

Na zakończenie tego wstępu autorzy chcieliby wyrazić swoją wdzięczność dla kilku osób za przyczynienie się do powstania niniejszego zbioru. Przede wszystkim dla niezapomnianego profesora Jerzego Osiowskiego, którego uczniami i wychowankami są obaj autorzy. To jego wielki talent dydaktyczny i ogromna wiedza zachęciły autorów do związania życia zawodowego z teorią obwodów i sygnałów. Kolejnymi osobami, którym autorzy chcieliby wyrazić swoją głęboką wdzięczność za liczne dyskusje merytorycznie, za współautorstwo doskonałych podręczników teorii obwodów i za bycie niekwestionowanymi autorytetami w zakresie dydaktyki są ich wieloletni koledzy i przełożeni - profesorowie Jerzy Szabatin i Jacek Kudrewicz. Szczególne podziękowania należą się profesorowi Jerzemu Szabatinowi, który jako recenzent wydawniczy nie tylko dokonał korekty tekstu całej książki, ale także zadał sobie benedyktyński wręcz trud sprawdzenia odpowiedzi do wszystkich zadań. Na wyrazy wdzięczności zasługuje też przedwcześnie zmarły profesor Jacek Wojciechowski, który już ponad trzydzieści lat temu, po swoim powrocie ze stażu naukowego w Kanadzie i USA, mocno propagował wykorzystanie właśnie zadań testowych do sprawdzania efektów nauczania w zakresie teorii obwodów. Gdyby zasiane ongiś przez niego ziarno nie wykiełkowało, niewątpliwie nie powstałaby niniejsza książka.

Marek Nałęcz i Edward Śliwa

Rozdział 1. Równania elementów, opór zastępczy, energia

Rozdział 18. Odpowiedzi

18.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.1 . E  1.2 . A  1.3 . BC  1.4 . BC  1.5 . A  1.6 . B  1.7 . B  1.8 . A  1.9 . G  1.10 . C  1.11 . BEF  1.12 . C  1.13 . D  1.14 . B  1.15 . C  1.16 . A  1.17 . F  1.18 . D  1.19 . B  1.20 . F  1.21 . A  1.22 . B  1.23 . C  1.24 . B  1.25 . B  1.26 . D  1.27 . E  1.28 . B  1.29 . G  1.30 . A  1.31 . E  1.32 . C  1.33 . F  1.34 . B  1.35 . D  1.36 . AD  1.37 . D  1.38 . A  1.39 . B  1.40 . D  1.41 . BC  1.42 . AB  1.43 . C  1.44 . D  1.45 . B  1.46 . D  1.47 . B  1.48 . A  1.49 . BF  1.50 . DE  1.51 . E  1.52 . D  1.53 . A  1.54 . C  1.55 . B  1.56 . C  1.57 . D  1.58 . B  1.59 . D  1.60 . D  1.61 . C  1.62 . F  1.63 . A  1.64 . E  1.65 . A  1.66 . C  1.67 . F  1.68 . G  1.69 . C  1.70 . B  1.71 . A  1.72 . E  1.73 . F  1.74 . J  1.75 . E  1.76 . D  1.77 . F 

Rozdział 19. Wskazówki

19.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.3.  Sygnał prostokątny to sygnał przedziałami stały, a sygnał trójkątny - przedziałami liniowy. W wyniku jakiej (liniowej) operacji matematycznej z funkcji stałej otrzymamy funkcję liniową (mnożenie przez stałą, różniczkowanie, całkowanie)? Przy jakim pobudzeniu (napięciowym/prądowym) indukcyjność i pojemność realizują tę operację?

1.13.  Należy skorzystać z równania liniowej pojemności

.

1.20.   .

1.21.   . Przypomnienie:   ,   ,   .

1.43.  Jaka jest interpretacja geometryczna energii zgromadzonej w indukcyjności na wykresie charakterystyki tej indukcyjności?

1.49.  Należy porównać wskazówkę do zadania 1.43. Czy poziome odcinki charakterystyki mają wpływ na zgromadzoną energię?

1.56.  Rozkład ładunków na pojemnościach wynika z zasady zachowania ładunku.

1.58.  Załóżmy, że na zaciski dwójnika przyłożono napięcie . Czy usunięcie (rozwarcie) oporu, czyli "odcięcie" jednej z dróg, którymi może płynąć prąd, może spowodować zwiększenie natężenia prądu płynącego przez dwójnik?

1.65.  Jaki wpływ na równania układu ma dwójnik połączony szeregowo z idealnym źródłem prądowym? Należy także porównać zadanie 1.69.

1.76.  Zauważmy, że napięcia na obu oporach są (co do modułu) takie same.

Rozdział 20. Rozwiązania

20.1 Równania elementów, opór zastępczy, energia

1.1. Obwód opisany w zadaniu jest obwodem prądu stałego, a zatem w stanie ustalonym pojemność można traktować jak rozwarcie. Napięcie na pojemności wyniesie zatem

Ładunek zgromadzony w pojemności wyznaczymy z równania tej pojemności

(charakterystyka nieliniowej pojemności leży w I i III ćwiartce układu współrzędnych, zatem dla mamy i moduł w równaniu pojemności można opuścić; z tego samego powodu odrzucamy rozwiązanie ).

1.8. W przedziale (0, ) (obejmującym interesującą nas chwilę czasu ) przebieg natężenia prądu można opisać funkcją , gdzie . Zatem w tym przedziale napięcie na indukcyjności wyniesie

.

1.25. Strumień skojarzony w niestacjonarnej indukcyjności dany jest zależnością . Zatem napięcie na tej indukcyjności wywołane przepływem prądu wyniesie

Po wstawieniu danych liczbowych, dla otrzymamy:

.

1.28. Z definicji współczynnika sprzężenia: . Równania wskazowe indukcyjności sprzężonych są następujące:

Biorąc pod uwagę, że , otrzymamy:

Warunek równości amplitud można zapisać w postaci:

, zatem , a stąd .

1.32.

Indukcyjności sprzężone mają wspólny zacisk, a zatem możemy zastąpić parę indukcyjności sprzężonych układem trzech indukcyjności niesprzężonych (rysunek (a)). Po zastosowaniu tego przekształcenia do układu przedstawionego w zadaniu będzie on wyglądał jak na rysunku (b).

Indukcyjność zastępcza tego układu wyniesie .

Biorąc pod uwagę, że cewki są całkowicie sprzężone, a ze względu na układ zacisków jednoimiennych , otrzymamy ostatecznie: , więc

, .

1.36. Dla liniowej pojemności ładunek i napięcie powiązane są równaniem , a energia w niej zgromadzona wyraża się wzorem

.

1.39. Energia zgromadzona w pojemności zależy od napięcia na niej. Z równania liniowej pojemności wyznaczamy zatem napięcie na tej pojemności

Z warunku zerowej energii dla wynika, że , a zatem

.

Maksymalna (co do modułu) wartość napięcia wynosi

,

a zatem:

.

1.51. Dla napięć dodatnich mamy oraz i energię w pojemności dla napięcia możemy wyznaczyć ze wzoru:

1.57. Dwójnik jest liniowy, zatem można go zastąpić źródłem zastępczym, np. źródłem Thévenina o SEM (stałej) i oporze wewnętrznym :

W stanie ustalonym ( jest rozwarciem, - zwarciem):

, .

Energie zgromadzone w pojemności i indukcyjności wynoszą odpowiednio:

,

Z warunku otrzymamy

.

1.61. Opór zastępczy wyznaczymy, zapisując układ równań obwodu, a następnie eliminując z niego wszystkie zmienne oprócz wielkości zaciskowych , . Otrzymamy wówczas jedno równanie z dwiema niewiadomymi o postaci :

.

1.63. Opór zastępczy wyznaczymy, przykładając na zaciski dwójnika źródło napięciowe , a następnie wyznaczając natężenie prądu pobieranego z tego źródła: .

1.69. Źródło sterowane jest połączone równolegle z idealnym źródłem napięciowym, nie ma zatem żadnego wpływu na równania układu. Równanie dwójnika jest następujące: , a zatem dwójnik jest po prostu równoważny (dodatniemu) oporowi - jest zatem pasywny bez względu na wartość .

1.76. Z równań idealnego wzmacniacza operacyjnego wynika: oraz . Mamy zatem kolejno, na przemian formułując prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa, następujące równania:

Opór zastępczy wynosi zatem: .