Dane oryginału:

THE HISTORY OF MATHEMATICS: AN INTRODUCTION, SEVENTH EDITION

Original edition copyright 2011 by McGraw-Hill, a business unit of The McGraw-Hill Companies, Inc.

All rights reserved.

Polish edition copyright 2023 by Wydawnictwo Naukowe PWN

All rights reserved.

Wydanie polskie:

Tłumaczenie: Małgorzata Dąbkowska-Kowalik i Witold Sikorski na zlecenie WITKOM

Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska

Ilustracja na okładce: Archivist, K I Photography, 3d_kot/Adobe Stock

Wydawca: Adam Filutowski

Koordynator ds. redakcji: Adam Kowalski

Redaktor: Maria Kasperska

Produkcja: Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN S.A.: Michał Latusek

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w intrenecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright ? for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2023

ISBN: 978-83-01-23035-7

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2023r. (Wydanie I)

Warszawa 2023

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321; faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: [email protected]; www.pwn.pl

Wprowadzenie

Ponieważ dostępnych jest wiele świetnych traktatów o historii matematyki, może wydawać się, że napisanie kolejnego nie ma większego sensu. Ale najnowsze prace są bardzo techniczne, napisane przez matematyków dla matematyków lub historyków nauki. Prace te, pomimo godnego podziwu poziomu naukowego i często jasnej prezentacji, nie są zbyt dobrze przystosowane do poziomu uczniów. (Zapewne godnym zauważenia wyjątkiem jest popularne sprawozdanie Howarda Evesa, Introduction to the History of Mathematics (Wprowadzenie do historii matematyki)). Istnieje dziś potrzeba podręcznika dla początkujących studentów, który byłby także dostępny dla zwykłych czytelników zainteresowanych historią matematyki. Na stronach tej książki próbowałem dać umiarkowanie pełny przegląd tego, jak matematyka rozwijała się przez ostatnich 5000 lat. Ponieważ matematyka jest jednym z najstarszych instrumentów intelektualnych, ma długą historię, przetykaną uderzającymi osobowościami i niezwykłymi osiągnięciami. Narracja jest chronologiczna, zaczyna się od początków matematyki w wielkich cywilizacjach starożytności i rozwija temat aż do końcowych dziesięcioleci XX wieku. Prezentacja z konieczności staje się mniej kompletna w czasach współczesnych, gdy tempo odkryć stało się szybkie, a materia przedmiotu bardziej techniczna.

Istotne znaczenie przypisane zostało życiu ludzi odpowiedzialnych za postęp w przedsięwzięciach matematycznych. Podkreślając element biograficzny, mogę tylko powiedzieć, że nie ma dziedziny, w której jednostki liczą się bardziej niż życie intelektualne, a większość cytowanych tu matematyków naprawdę górowała nad swoimi współczesnymi. Ponieważ wyróżniają się wśród żyjących postaci i reprezentantów swoich czasów, trzeba od czasu do czasu zatrzymać się, aby rozważyć społeczne i kulturalne ramy, w których żyli. Próbowałem zwłaszcza zdefiniować przyczynę, dla której działalność matematyczna w różnych okresach i w różnych krajach wzrastała i malała.

Piszący o historii matematyki zwykle są w rozterce pomiędzy pragnieniem wstawienia do swej pracy nieco czystej matematyki a chęcią, aby czytanie było możliwie bezbolesne i przyjemne. Wierząc, że każdy podręcznik do matematyki powinien skupiać się przede wszystkim na uczeniu treści matematycznych, preferowałem nacisk na matematykę. Dlatego wybrane problemy o różnym stopniu trudności zostały w książce rozrzucone. Zwykle problemy te są typowe dla danego okresu historycznego, wymagając procedur z tamtych czasów. Stanowią one integralną część tekstu, a pracując na nimi, nauczycie się zarówno nieco ciekawej matematyki, jak i historii, Poziom dojrzałości potrzebny do tej pracy odpowiada w przybliżeniu wykształceniu matematycznemu szkoły średniej na poziomie podstawowym i pomaturalnym. Lepiej wyszkoleni czytelnicy muszą wybaczyć pewne wyjaśnienia, które mogą im się wydawać zbędne.

Tytuł wskazuje, że książka ta nie jest w żadnym razie przedsięwzięciem encyklopedycznym: nie pretenduje do przedstawienia wszystkich ważnych idei matematycznych, które powstały w szerokim okresie, jakiego dotyczy. Nieuniknione ograniczenia przestrzeni sprawiają, że konieczne jest naświetlenie pewnych wyróżniających się punktów zwrotnych, zamiast rzucania równie jasnego światła na całą przestrzeń. Została uwzględniona pewna część ocen i wyrzeczeń, zarówno przy wyborze matematyków, jak i w sposobie traktowania ich wkładu. Materiał, który się tu pojawia, odrzuca pewne osobiste gusta i przesądy. Jest jasne, że nie każdy będzie zadowolony z dokonanych wyborów. Niektórzy czytelnicy uniosą brew nad pominięciem pewnych powszechnie znanych nazwisk matematyki, które zostały całkowicie przemilczane lub pokazane bez szczególnej szczodrości, inni będą uważali mizerne potraktowanie ich ulubionego tematu jako niewybaczalne zaniedbanie. Niemniej jednak ścieżka, którą ułożyłem z fragmentów, powinna dać adekwatne wyjaśnienie, jak matematyka doszła do zajmowanej przez siebie pozycji jako podstawowa siła kultury w zachodniej cywilizacji. Książka została opublikowana ze skromną nadzieją, że będzie stymulować czytelników do szukania bardziej obszernych prac w tym przedmiocie.

Każdy, kto sięga w tę tak dobrze uprawianą dziedzinę jak historia matematyki, staje się dłużnikiem pracy naukowej innych. Bibliografia w każdym z rozdziałów reprezentuje częściową listę prac, które w taki czy inny sposób pomogły mojemu ujęciu faktów. Jestem niezwykle wdzięczny tym autorom i wielu innym, o których nie zachowały się żadne zapisy.

Co nowego w tym wydaniu

Czytelnicy znający poprzednie wydanie Historii matematyki zobaczą, że w tym siódmym wydaniu (angielskim) zachowano tę samą ogólną organizację i zawartość. Niemniej przygotowanie siódmego wydania (angielskiego) dało okazję do wielu niewielkich poprawek, a także kilku bardziej znaczących.

Najbardziej znaczącą różnicą jest rozszerzone potraktowane matematyki amerykańskiej. Podrozdział 12.1 obejmuje, na przykład, wysiłki takich postaci z początku XIX wieku jak Robert Adrain i Benjamin Banneker. Ponieważ wielu astronomów obserwacyjnych było w tym okresie szczególnie matematycznie uzdolnionych, zreferowany został też wkład Simona Newcomba, George'a Williama Hilla, Alberta Michelsona i Marii Mitchell. W końcowej części pracy uwzględnieni są obecni matematycy, tacy jak Oswald Veblen, R. L. Moore, Richard Courant i Walter Feit.

Inną znaczącą różnicą jest uwaga, jaka została zwrócona na matematyków pominiętych w poprzednich wydaniach. Są wśród nich Lazar Carnot, Herman Gunther Grassmann, Andriej Kołmogorow, William Burnside i Paul Erdos.

Poza tymi największymi zmianami są też zmiany niewielkie: biografie zostały uaktualnione, a pewne informacje numeryczne zaktualizowane. Ponadto podjęto próbę poprawienia błędów, zarówno typograficznych, jak i historycznych, które wkradły się do poprzednich wydań.

Książki elektroniczne

Jeśli wy lub wasi studenci są gotowi do korzystania z alternatywnej wersji tradycyjnego podręcznika, wydawnictwo McGraw-Hill, wraz z CourseSmart i VitalSource, udostępnia innowacyjne i niedrogie książki elektroniczne. Studenci mogą zaoszczędzić 50% kosztów druku książki, zmniejszyć swój negatywny wpływ na środowisko i zyskać dostęp do silnych narzędzi sieciowych pozwalających na wymianę uwag w grupie studenckiej. E-booki wydawnictwa McGraw-Hill są nowoczesne, interakcyjne, łatwe do przeszukiwania i przenośne.

Kopie książki i eBooki można znaleźć na www.CourseSmart.com lub www.VitalSource.com.

Podziękowania

Wielu przyjaciół, kolegów i czytelników - zbyt wiele osób, aby wymieniać je pojedynczo - było na tyle uprzejmych, że przekazali mi poprawki i zaoferowali sugestie w celu wzbogacenia książki. Wprawdzie nie każde zalecenie zostało uwzględnione, wszystkie zostały przyjęte z wdzięcznością i poważnie rozpatrywane przy decydowaniu o zmianach.

W szczególności wysoce pomocne w przygotowaniu siódmego wydania były dla mnie rady następujących opiniodawców:

Victor Akatsa, Chicago State University

Carl FitzGerald, The University of California, San Diego

Gary Shannon, California State University, Sacramento

Tomas Smotzer, Youngstown State University

John Stroyls, Georgia Southwestern State University

Wyjątkowe podziękowania należą się mojej żonie za pomoc podczas przygotowywania tej edycji. Jej przemyślane uwagi znacząco poprawiły prezentację. Wreszcie muszę wyrazić moje uznanie dla personelu wydawnictwa McGraw-Hill za ich niezawodną współpracę podczas produkcji. Wszelkie błędy, które pozostały po tej szczodrej pomocy, należy zrzucić na karb mojej osoby.

D. M. B.

ROZDZIAŁ 1Wczesne liczby i symbole

Myśleć o niepomyślanym - to cel matematyka.

CASSIUS JACKSON KEYSER

1.1. Prymitywne liczenie

Sens liczby

Termin matematyka pochodzi od greckiego słowa mathemata, które było dość ogólnie używane we wczesnym piśmiennictwie, aby wskazać dowolny przedmiot edukacji lub badań. Gdy nauczanie stało się bardziej zaawansowane, okazało się wygodne ograniczenie zakresu tego terminu do określonych pól wiedzy. Uważa się, że pitagorejczycy używali tego terminu do opisu arytmetyki i geometrii, zanim te dwa przedmioty zaczęły być nazywane odrębnie, bez wskazania elementów wspólnych. Wykorzystanie tej nazwy przez pitagorejczyków może stanowić podstawę twierdzenia, że matematyka zaczęła się w Grecji klasycznej w latach od 600 do 300 p.n.e. Ale jej historia sięga znacznie dawniejszych czasów. Trzy lub cztery tysiące lat temu, w starożytnym Egipcie i Babilonii, istniały już istotne elementy wiedzy, które powinniśmy określić jako matematykę. Jeśli przyjmiemy szersze spojrzenie, że matematyka obejmuje badanie zagadnień natury ilościowej lub przestrzennej - liczbę, wielkość, porządek i postać - jest to działalność, która była obecna od najwcześniejszego okresu doświadczeń ludzkich. W każdym okresie i kulturze byli ludzie z silną chęcią zrozumienia i doskonalenia postaci otaczającego ich świata naturalnego. Odwołując się do słów Aleksandra Pope'a, "Ten wielki labirynt nie jest bez planu".

Powszechnie akceptowane jest, że matematyka wywodzi się z problemów praktycznych związanych z liczeniem i rejestracja liczb. Narodziny idei liczb jest tak dobrze ukryte za zasłoną niezliczonych wieków, że próżne jest spekulowanie na temat istniejących dowodów poczucia liczb wczesnych ludzi. Jakieś 20 tys. lat temu nasi odlegli przodkowie - którzy byli tak samo sprytni jak my - musieli poczuć potrzebę policzenia swojego stada, liczenia przedmiotów na wymianę czy oznaczenia mijających dni. Ale ewolucja w liczeniu, nadanie nazw liczbom i ustalenie symboli ich zapisu, była stopniowa i nie pozwala na określenie precyzyjnych dat poszczególnych etapów.

Antropolodzy mówią nam, że trudno znaleźć kulturę, nawet najbardziej prymitywną, która nie miałaby jakiejś świadomości liczb, choć może ona być tak elementarna jak rozróżnienie pomiędzy jeden a dwa. Na przykład niektóre plemiona australijskich Aborygenów liczą tylko do dwóch, a każda liczba większa od dwóch to "dużo" lub "wiele". Indianie południowoamerykańscy w dorzeczu Amazonki mają podobnie ubogie nazewnictwo liczb. Wprawdzie poszli dalej niż Aborygeni i potrafią liczyć do sześciu, ale nie mają niezależnych nazw liczbowych dla grupy trzech, czterech, pięciu czy sześciu. W ich słowniku liczenia trzy to "dwa-jeden", cztery to "dwa-dwa" i tak dalej. Podobny system odkryto u Buszmenów z Południowej Afryki, którzy liczyli do 10 (10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2) za pomocą dwóch słów. Poza liczbą dziesięć frazy opisowe stawały się zbyt długie. Warto zauważyć, że takie grupy plemienne nie byłyby chętne do handlu typu dwie krowy za cztery świnie, ale nie zawahają się wymienić jednej krowy za dwie świnie oraz drugiej krowy za dwie świnie.

Najwcześniejsza i najszybsza technika wizualnego wyrażenia idei liczby to zliczanie (tallying). Idea ta polega na dopasowaniu liczonego zbioru z jakimś łatwym do wykorzystania zbiorem obiektów - w przypadku naszych dawnych przodków były to palce, muszelki lub kamienie. Na przykład owce można było policzyć, kierując je po jednej przez wąskie przejście i upuszczając przy każdej jeden kamyk. Po zgromadzeniu stada na noc kamyki były przekładane z jednego stosu na drugi, aż wszystkie owce zostały zarejestrowane. W przypadku zwycięstwa, traktatu lub zakładania wioski często wznoszono kopce lub słupy z kamieni po jednym dla każdej obecnej osoby.

Określenie angielskie rachunków, tally, pochodzi od francuskiego czasownika tailler, czyli "ciąć", jak słowo tailor (krawiec); rdzeń słowa sięga łacińskiego taliare, co oznacza "ciąć". Warto też zauważyć, że angielskie słowo write (pisać) może pochodzić z anglosaskiego writan "drapać" lub "nacinać".

Ani liczby mówione, ani rachowane na palcach nie mają trwałości, choć liczenie na palcach ma podobną jakość wizualną jak zapisywane cyfry. Aby zachować zapis liczenia, trzeba było mieć inną reprezentację. Musimy uznać za postęp intelektualny człowieka ideę uzyskania odpowiedniości między rejestrowanymi zdarzeniami lub obiektami a znakami na jakimś odpowiednim materiale, gdzie jeden znak reprezentuje pojedynczy element. Przejście od liczenia przez gromadzenie zbioru obiektów fizycznych do liczenia za pomocą znaków na jednym obiekcie to duży krok, nie tylko w kierunku abstrakcyjnego pojęcia liczby, lecz także w kierunku komunikowania się na piśmie.

Liczenie polegało na robieniu zadrapań na kamieniu, nacinaniu karbów na drewnianym patyku lub kawałku kości, albo na robieniu węzełków na sznurkach o różnym kolorze i długości. Gdy liczby na znakach stały się nieporęczne do wizualizacji, prymitywni ludzie ułożyli je w łatwo rozpoznawalne grupy po 5, jak pięć palców na dłoni. Możliwe, że najpierw pojawiło się grupowanie w pary, szybko porzucone dla grup po 5, 10 lub 20. Organizacja liczenia grupami była zauważalną poprawą w stosunku do liczenia po jednym. Praktyka liczenia piątkami pokazuje pewien wstępny rodzaj postępu w kierunku osiągniecia abstrakcyjnej koncepcji "pięć" zamiast opisowych idei "pięć palców" lub "pięć dni". Z pewnością był to nieśmiały krok na długiej drodze do oderwania ciągu liczb od liczonych obiektów.

Nacięcia jako znaki w liczeniu

Artefakty kostne noszące wycinane znaki wskazują, że ludzie późnej Epoki Kamienia opracowali system znaków w grupach już 30 tys. lat p.n.e. Przykład, który robi największe wrażenie, to znaleziona w 1937 r. w Czechosłowacji kość piszczelowa młodego wilka, która ma około 17 cm długości, z wyrytymi głęboko 55 nacięciami, mniej więcej jednakowej długości, uporządkowane po pięć. (podobne notacje zapisu są nadal używane, z cięciami połączonymi w grupy po pięć . Wyniki głosowania w małych miastach są nadal liczone w sposób opracowany przez naszych odległych przodków). Przez wiele lat takie nacinane kości były interpretowane jako rejestry z polowań, a nacięcia uważano za reprezentację upolowanych sztuk. Nowsza teoria mówi jednak, że pierwsze zapisy starożytnych ludzi dotyczyły rachowania czasu. Znaki na kościach odkryte we Francji pod koniec lat osiemdziesiątych XIX wieku są pogrupowane w ciągi powtarzających się liczb, które zgadzają się z liczbą dni w kolejnych fazach Księżyca. Można powiedzieć, że te ponacinane kości reprezentują pierwsze kalendarze księżycowe.

Inny przyciągający uwagę przykład nacinanej kości wykopano w Ishango nad brzegiem Jeziora Edwarda, jednego ze źródeł w górnym biegu Nilu. Najlepsze archeologiczne i geologiczne dowody podają datę tej lokalizacji na ok. 15,5 tys. lat p.n.e., czyli 12 tys. lat przez pierwszymi osiadłymi społecznościami rolniczymi w dolinie Nilu. Ten fragment skamieliny był prawdopodobnie rączką narzędzia używanego do rycia lub tatuowania, a nawet do jakiegoś sposobu pisania. Zawiera grupę nacięć ustawionych w trzech skończonych kolumnach. Dziwna nierówna kompozycja nie wydaje się służyć do dekoracji. W jednej kolumnie grupy składają się z 11, 21, 19 i 9 nacięć. Wzorcem może tu być 10 + 1, 20 + 1, 20 - 1 i 10 - 1. Nacięcia w drugiej kolumnie występują w ośmiu grupach, w następującej kolejności: 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7. Układ wydaje się sugerować uznanie pojęcia powielania lub mnożenia przez 2. Ostatnia kolumna ma cztery grupy składające się z 11, 13, 17 i 19 pojedynczych nacięć. Wzorzec może być przypadkowy i niekoniecznie wskazuje - jak niektóre autorytety są skłonne wnioskować - znajomość liczb pierwszych. Ponieważ 11 + 13 + 17 + 19 = 60 oraz 11 + 21+ 19 + 9 = 60, można argumentować, że oznaczenia na prehistorycznej kości z Ishango związane są z liczeniem księżycowym, a pierwsza i trzecia kolumna oznaczają miesiące księżycowe.

Wykorzystanie nacięć do rejestrowania liczenia było widoczne u prehistorycznych ludów z Bliskiego Wschodu. Wykopaliska archeologiczne pozwoliły odkryć dużą liczbę małych glinianych obiektów, które zostały utwardzone ogniem, aby stały się bardziej wytrzymałe. Te wykonywane ręcznie artefakty występują w różnych kształtach geometrycznych, a najpopularniejsze są okrągłe dyski, trójkąty i stożki. Najstarsze datowane na około 8000 p.n.e. są nacinane zestawami równoległych linii na gładkiej powierzchni. Czasami jest tam zbitka kołowych odcisków, jakby glina była nakłuwana tępym końcem kości lub rylca. Ponieważ cofamy się do czasów, gdy ludzie po raz pierwszy osiedlili się, prowadząc rolnicze życie, uważa się, że te obiekty to prymitywne urządzenia do rozliczeń. Dlatego stały się one znane jako "liczniki" lub "żetony". Prawdopodobne jest też, że kształty reprezentują różne towary. Na przykład żeton określonego rodzaju mógł być używany do wskazania liczby zwierząt w stadzie, a inny rodzaj mógł liczyć miarki ziarna. Przez kilka tysiącleci żetony stawały się coraz bardziej skomplikowane, przyjmując różne kształty i oznaczenia. Ustaliło się w końcu 16 podstawowych rodzajów żetonów. Wiele miało niewielkie otwory, pozwalające na związanie ich dla bezpieczeństwa. System rejestrowania informacji za pomocą żetonów wyszedł z użytku około 3000 r. p.n.e., wraz z szybkim przyjęciem zapisu na glinianych tabliczkach.

Metoda liczenia używana w różnych czasach i wielu miejscach polegała na nacinaniu patyków. Wprawdzie zapewniało to najwcześniejszą postać przechowywania zapisów, jednak użycie takiego środka nie było wcale ograniczone do "ludów prymitywnych" ani do odległej przeszłości. Akceptacja nacinanych patyków (tzw. raboszy) jako weksli lub rachunków przy wymianie osiągnęła najwyższy poziom rozwoju w raboszach skarbu brytyjskiego, tworząc ważną część rządowych zapisów począwszy od XII wieku. W tym przypadku rolę tę pełniły kawałki leszczyny o długości około 15-22 cm i około 2,5 cm grubości. Robione były nacięcia różnych wielkości i rodzajów, a każde nacięcie reprezentowało ustaloną ilość pieniędzy. Szerokość nacięcia decydowała o wartości. Na przykład nacięcie oznaczające 1000 funtów miało szerokość dłoni, dla 100 funtów grubość kciuka, a dla 20 funtów było szerokości małego palca. Gdy udzielana była pożyczka, dokonywano odpowiednich nacięć, a patyk był dzielony na dwa kawałki, tak aby nacięcia pojawiły się na obu częściach. Dłużnik przechowywał jeden kawałek, a Skarb Państwa drugi, aby transakcję można było łatwo zweryfikować, dopasowując do siebie obie części i sprawdzając, czy nacięcia są zgodne (stąd wyrażenie o "wyrównywaniu" rachunków). Zapewne, jeśli obie części pasowały do siebie, skarbnik niszczył go - spalając go lub wygładzając nacięcia - ale pozostawiał w rejestrze część dłużnika dla rejestracji na przyszłość. Uparte trzymanie się zwyczajów sprawiło, że ten drewniany system rachunkowości pozostał w oficjalnym użyciu długo po powstaniu instytucji bankowych i nowoczesnego liczenia, które sprawiło, że system stał się zacofany. Trzeba było ustawy parlamentarnej, która weszła w życie w 1826 r., aby porzucić te praktyki. W 1834 roku, gdy długo zbierane patyki zostały spalone w paleniskach ogrzewających Izbę Lordów, ogień rozprzestrzenił się, doprowadzając do pożaru, który zniszczył starą siedzibę parlamentu.

Język angielski zapamiętał tę dziwną jakość podwójnego nacinanego patyka. Dawniej, gdy ktoś pożyczał pieniądze Bankowi Anglii, wartość była wycinana na patyku, który był następnie dzielony. Kawałek, który pozostawał w banku, był znany jako notowanie (ang. foil), a drugi kawałek, znany jako zasób (ang. stock), był oddawany pożyczającemu jako pokwitowanie za wpłacone pieniądze. Tak więc stawał się on posiadaczem "zasobu" (ang. stockholder), który miał "zasób bankowy" (ang. bank stock) o takie samej wartości jak papierowy pieniądz wypuszczony przez rząd. Gdy posiadacz wracał, zasób był dokładnie sprawdzany i porównywany z notowaniem posiadanym przez bank. Jeśli były one zgodne, część należąca do posiadacza była ponownie zmieniana na walutę. Stąd, pisemny certyfikat, który był przedstawiany do płatności i sprawdzany (ang. checked) pod względem bezpieczeństwa, był później nazywanych "czekiem" (ang. check).

Stosowanie drewnianych patyków (raboszy) do rejestracji zobowiązań było powszechne w większości krajów europejskich i było w użyciu jeszcze całkiem niedawno. Na przykład na początku tego wieku, w odległej dolinie w Szwajcarii, "patyki mleczne" były dowodem transakcji między farmerami, którzy byli właścicielami krów we wspólnym stadzie. Codziennie główny pasterz rzeźbił na jesionowym pręcie o sześciu lub siedmiu stronach, kolorując go barwną kredą, aby nacięte linie były wyraźnie widoczne. Poniżej osobistego symbolu każdego farmera pasterz zaznaczał ilości mleka, masła i sera uzyskane z jego krów. W każdą niedzielę po kościele wszystkie strony spotykały się i uzgadniały rachunki. Ponacinane patyki - a konkretnie te podwójne - były uznawane za legalne dokumenty jeszcze w XIX wieku. Pierwszy nowoczesny kodeks francuski, Code Civil, ogłoszony w 1804 r. przez Napoleona zwierał ustalenie:

Rabosze, które pasują do ich zasobów, mają moc kontraktu pomiędzy osobami, zwyczajowo deklarującymi w tej formie otrzymane lub wysłane dostawy.

Różnorodność stosowanych metod nacinania jest tak duża, że niemożliwa jest tutaj szczegółowa analiza. Ale procedura liczenia dni i obiektów za pomocą węzłów zawiązywanych na sznurkach ma tak długą tradycję, że warto o niej wspomnieć. Było to często stosowane w starożytnej Grecji i znajdujemy wzmiankę na ten temat w pracy Herodota (V wiek p.n.e.). W komentarzach w swojej Historii informuje on, że perski król Dariusz przekazał Jonom sznur z węzełkami, który służył jako kalendarz:

Król wziął skórzany rzemień i wiążąc na nim sześćdziesiąt węzłów zebrał tyranów jońskich i tak do nich przemówił: "Rozwiążcie każdego dnia jeden węzeł, a jeśli nie wrócę przed dnie, w którym zostanie tylko jeden węzeł, porzućcie swoje stanowisko i wróćcie do swoich domów".

Trzy obrazy paleolitycznej wilczej kości używanej jako rabosz

(Źródło: Mary Evans/Illustrated London News Ltd./Indigo Images)

Peruwiańskie kipu: węzły jako liczby

W nowym świecie ciąg liczb najlepiej przedstawiają sznurki z węzełkami Inków z Peru, nazywane kipo. Było to plemię z Ameryki Południowej czy też grupa spokrewnionych plemion żyjąca na wyżynach centralnych Andów. Poprzez stopniową ekspansję i prowadzone wojny zaczęli oni rządzić rozległym imperium obejmującym regiony nabrzeżne i górskie dzisiejszych Ekwadoru, Peru, Boliwii i północnych części Chile i Argentyny. Inkowie stali się znani ze względu na swoje umiejętności inżynierskie, budowę świątyń i wielkich budynków publicznych. Uderzającym osiągnięciem było stworzenie przez nich rozległej sieci dróg i mostów (ponad 20 tys. kilometrów) łączących dalekie części imperium. Izolacja Inków skończyła się wraz z lądowaniem 180 konkwistadorów w północnym Peru i okrucieństwami podboju przez Hiszpanów. Do końca roku najeźdźcy zajęli stolicę Cuzco i uwięzili władcę. Hiszpanie narzucili ludziom sposób życia, co w ciągu około 40 lat doprowadziło do zniszczenia inkaskiej kultury.

Gdy w XVI wieku przybyli tam hiszpańscy zdobywcy, zobaczyli, że każde miasto w Peru ma "urzędnika od węzłów", który prowadził skomplikowane rozliczenia, stosując węzły i pętle na różnokolorowych pasmach. Wykonując zadania przypominające te dzisiejszych skarbników, zajmujący się kipu rejestrowali wszystkie oficjalne transakcje związane z terenem i obywatelami miasta, a następnie dostarczali sznurki rządowi centralnemu w Cuzco. W cesarstwie Inków kipu były ważne, gdyż poza tymi węzłami nie rozwinął się tam żaden inny rodzaj pisma. Kipu tworzył gruby sznur lub listwę, do których były przyczepione cieńsze sznurki różnej długości i kolorów. Zwykle sznurki wisiały jak pasma mopa. Każdy wiszący sznurek reprezentował element, który miał być zarejestrowany. Jeden mógł być używany do pokazania przykładowo liczby owiec, a drugi liczby kóz, trzeci zaś - jagniąt. Same węzły oznaczały liczby, których wartości różniły się rodzajem użytego węzła i jego określonego położenia na paśmie. Używany był system dziesiętny, a węzeł reprezentujący jednostki znajdował się na samym dole, dziesiątki zaraz nad nim, potem setki i tak dalej, natomiast brak węzła oznaczał zero. Wiązki sznurków były przymocowane do jednego głównego wątku, sznura sumującego, którego węzły dawały całkowitą sumę dla każdej wiązki. Zakres możliwości reprezentacji liczbowej w kipu pozwalał Inkom na przechowywanie niezwykle dokładnych zapisów administracyjnych, pomimo nieznajomości słowa pisanego. Niedawno (1872) dowody na istnienie węzłów jako urządzeń do liczenia znaleziono w Indiach. Niektórzy władcy u Santalów, ci piśmienni, robili węzły na sznurkach w czterech różnych kolorach, żeby utrzymywać aktualne dane spisu ludności.

Aby w pełni docenić kipu, trzeba zwrócić uwagę na wartości liczbowe reprezentowane przez węzły. Używane były tylko trzy rodzaje węzłów: węzeł ósemkowy oznaczający 1, długi węzeł oznaczający jedną z wartości od 2 do 9, zależnie od liczby skręceń węzła, oraz pojedynczy węzeł także oznaczający 1. Węzeł ósemkowy i węzeł długi pojawiają się tylko na najniższej (jednostkowej) pozycji sznura, a zbitki pojedynczych węzłów mogą pojawić się w innych miejscach. Ponieważ wiszące węzły mają tę samą długość, puste miejsce (wartość zero) będzie widoczne w porównaniu z sąsiednimi węzłami. Także ponowne pojawienie się ósemki lub węzła długiego wskazuje, że na tym samym sznurku zostaje zapisana kolejna liczba.

Pamiętając, że rosnące pozycje oznaczają wartość kolejnych potęg dziesięciu, przypuśćmy, że określony sznurek zawiera następująca kolejność: długi węzeł z czterema skręceniami, dwa pojedyncze węzły, puste miejsce, siedem połączonych węzłów pojedynczych i jeden węzeł pojedynczy. Dla Inków ten szyk reprezentuje liczbę

17024 = 4 + (2 - 10) + (0 - 102) + (7 - 103) + (1 - 104).

Inna kultura Nowego Świata, która używała pozycyjnego systemu liczbowego, to starożytni Majowie. Ludzie ci zajmowali rozległe tereny obejmujące południowy Meksyk i to, co dziś należy do Gwatemali, Salwadoru i Hondurasu. Cywilizacja Majów istniała ponad 2000 lat, a jej największy rozkwit przypadał na lata 300-900 n.e. Wyróżniającym ich osiągnięciem jest rozwój rozbudowanej formy hieroglificznego pisma wykorzystującego około 1000 glifów. Czasami glify mają mocną podstawę, a czasami oparte są na znaczeniu: większość tego, co ocalało, nadal czeka na odszyfrowanie. Po roku 900 n.e. cywilizacja Majów uległa nagłemu upadkowi, gdy jej zaludnione miasta zostały porzucone. Przyczyna tego katastroficznego eksodusu pozostaje tajemnicą, pomimo spekulacyjnych wyjaśnień katastrofami naturalnymi, epidemiami lub podbojem. To co pozostało po tradycyjnej kulturze, nie poddało się łatwo ani szybko podbojowi Hiszpanów, który rozpoczął się zaraz po roku 1500. Była to walka bezwzględna i brutalna, rozciągająca się na niemal stulecie, zanim wreszcie w 1597 r. ostatnie niezwyciężone królestwo Majów upadło.

Kalendarz Majów był złożony z 365 dni podzielonych na 18 miesięcy po 20 dni każdy, z dodatkowym okresem 5 dni. Doprowadziło to do przyjęcia systemu liczenia opartego na 20 (system dwudziestkowy). Liczby były wyrażane symbolicznie w dwóch postaciach. Klasa kapłańska wykorzystywała skomplikowane glify przedstawiające groteskowe twarze bóstw, do wskazania liczb od 1 do 19. Były one używane dla dat wyrzeźbionych w kamieniu, upamiętniających ważne wydarzenia. Zwykli ludzie zapisywali te same liczby za pomocą kombinacji kresek i kropek, gdzie krótka pozioma kreska oznaczała 5, a kropka 1. Szczególnym elementem była stylizowana muszla, która służyła jako symbol zera. Jest to najstarsze znane użycie znaku dla tej liczby.

Trzynastowieczne rabosze ze skarbca brytyjskiego

(Źródło: Science & Society Picture Library/SSPL/Getty Images)

Symbole reprezentujące liczby większe od 19 zostały ułożone w pionowej kolumnie, gdzie te na każdej pozycji, idąc w górę, są mnożone przez potęgi 20, czyli przez 1, 20, 400, 8000, 160 000 i tak dalej. Muszla umieszczona na pozycji wskazuje brak w tym miejscu kresek i kropek. W szczególności liczba 20 została wyrażona przez muszlę u dołu kolumny i pojedynczą kropkę na drugiej pozycji. Pokażmy przykład liczby zapisanej w tym systemie, pisząc symbole w poziomie, a nie w pionie, gdzie najmniejsza wartość znajduje się po lewej:

Dla nas to wyrażenie oznacza liczbę 62808, gdyż:

62808 = 8 - 1 +0 - 20 + 17 - 400 + 7 - 8000.

Ponieważ system liczbowy Majów rozwinął się przede wszystkim w celu obliczeń kalendarzowych, było niewielkie odchylenie przy wykonywaniu takich obliczeń. Symbol na trzeciej pozycji kolumny był mnożony przez 18 - 20, a nie przez 20 - 20, co wynikało z tego, że 360 lepiej przybliżało długość roku kalendarzowego niż 400. Waga miejsca każdej pozycji była więc zwiększana 20 razy względem poprzedniej, czyli mnożniki wynosiły 1, 20, 360, 7200, 144000 i tak dalej. Po tej poprawce wartość zbioru wymienionych wyżej symboli wynosi:

56528 = 8 - 1 +0 - 20 + 17 - 360 + 7 - 7200.

Wydaje się oczywiste, że w długim okresie dziejów postęp w tworzeniu efektywnych sposobów utrzymywania i przekazywania informacji liczbowych nie miał miejsca aż do czasu, gdy ludzie pierwotni porzucili życie nomadów. Znaki wyryte na kości lub kamieniu mogły odpowiadać tworzeniu zapisów, gdy ludzie byli myśliwymi lub zbieraczami, ale producent żywności wymagał całkiem nowej reprezentacji liczbowej. Poza tym, jako sposób na przechowywanie informacji, grupy znaków na kości były czytelne tylko dla osoby, która je stawiała lub dla jej krewnych i przyjaciół. Dlatego zapis nie był zapewne przeznaczony dla ludzi, których dzieliły duże odległości.

Celowe uprawianie plonów, zwłaszcza zbóż, oraz udomowienie zwierząt zaczęło się, na ile można to wywnioskować z obecnych dowodów, na Bliskim Wschodzie ok. 10 tys. lat temu. Później eksperymenty z rolnictwem miały miejsce w Chinach i w Nowym Świecie. Szeroko utrzymywana jest teoria, że zmiany klimatyczne pod koniec ostatniej epoki lodowcowej stymulowały wprowadzenie produkcji żywności i osiedlanie się w wioskach. W miarę jak czapa polarna zaczęła się cofać, pas deszczów przesunął się na północ, powodując wysuszanie dużej części Bliskiego Wschodu. Coraz większe braki dzikich roślin na pożywienie i zwierzyny łownej, z których żyli ludzie, zmusiło ich do zmiany stylu życia na rolniczy, co było warunkiem przetrwania. Konieczne stało się liczenie stad i zbiorów, pomiary ziemi i opracowanie kalendarza, który wskazywałby właściwy czas na sadzenie roślin. Nawet na tym etapie potrzeba liczenia była umiarkowana, a techniki nacinania, wprawdzie powolne i uciążliwe, nadal były adekwatne do zwykłych transakcji. Przy bardziej bezpiecznej dostawie pożywienia pojawiła się możliwość znaczącego zwiększenia populacji, co oznaczało większy zbiór obiektów do policzenia, Powtarzanie pewnych podstawowych znaków do zapisu nacięciami prowadziło do niewygodnej reprezentacji liczb, uciążliwego do tworzenia i trudnego do interpretacji. Potrzeba władz wioski, świątyni i pałacu, aby prowadzić metodyczne zapisy (choćby w celu systematycznych podatków), nadała dalszy impuls do znalezienia nowych i bardziej wydajnych środków "ustalania" liczb w stałej lub częściowo utrwalonej postaci.

Tak więc to dzięki bardziej rozwiniętemu życiu tych społeczeństw, które urosły ok. 6000 tysięcy lat temu w szerokich dolinach rzek jak Nil, Tygrys z Eufratem, Indus czy Jangcy, powstały specjalne symbole oznaczające liczby. Stąd powstały nasze najbardziej podstawowe gałęzie matematyki, gdyż symbolizm pozwolił na wyrażanie dużych liczb w postaci cyfr, co było warunkiem wstępnym do obliczeń i pomiarów. W natłoku doświadczeń praktycznych z symbolami liczbowymi ludzie stopniowo poznali pewne abstrakcyjne zasady - na przykład odkryto, że w podstawowych działaniach dodawania suma nie zależała od kolejności składników. Takie odkrycia nie stanowiły zwykle pracy pojedynczego człowieka, a nawet jednej kultury, ale wynikały z powolnego rozwoju świadomości i dochodzenia do coraz bardziej abstrakcyjnego sposobu myślenia.

Zaczniemy od rozważenia systemów liczenia w ważnych cywilizacjach Bliskiego Wschodu - egipskiej i babilońskiej - z których wyrosła podstawowa linia naszego rozwoju matematyki. Słowa oznaczające liczby można znaleźć wśród wielu form słownych w najwcześniejszych zachowanych zapiskach tych ludzi. W istocie wykorzystywanie przez nich symboli na liczby oderwało się od liczonych obiektów, co było wielkim punktem zwrotnym w historii cywilizacji. Jest wysoce prawdopodobne, że był to pierwszy krok w ewolucji u ludzi najwyższego osiągnięcia intelektualnego, czyli sztuki pisania. Ponieważ zapisywanie ilości było łatwiejsze od symbolizacji mowy, istnieją niezaprzeczalne dowody, że pisane języki tych antycznych kultur wyrosły z ich zapisywanego wcześniej systemu liczenia.

1.2. Zapisywanie liczb u Egipcjan i Greków

Historia Herodota

Zapisywanie historii, tak jak to dziś rozumiemy, jest wynalazkiem greckim, a najwybitniejszym wczesnym greckim historykiem był Herodot (ok. 485-430 p.n.e.). Urodził się w Halikarnasie, dużej osadzie greckiej na południowo-zachodnim wybrzeżu Azji Mniejszej. W młodości wdał się w kłopoty polityczne w swoim rodzinnym mieście i został zmuszony do ucieczki na wyspę Samos, a potem do Aten. Stamtąd Herodot wyprawiał się w podróże, których powolny charakter i szeroki zasięg wskazują, ze zajęły mu wiele lat. Przyjmuje się, że odbył trzy podstawowe podróże, być może jako kupiec, zbierając materiały i zapisując swoje wrażenia. Morzem Czarnym przepłynął całe zachodnie wybrzeże do greckich społeczności u ujścia Dniepru, który teraz należy do Ukrainy, a potem wzdłuż brzegu południowego do stóp Kaukazu. W Azji Mniejszej przebył dzisiejszą Syrię i Irak i popłynął w dół Eufratu, zapewne aż do Babilonu. W Egipcie popłynął Nilem, od jego delty do okolic Asuanu, odkrywając po drodze piramidy. Około roku 443 p.n.e. Herodot został obywatelem Turioju w południowych Włoszech, nowej kolonii utworzonej pod auspicjami Aten. Tam przeżył wiele lat, poświęcając się całkowicie ukończeniu Historii Herodota, książki obszerniejszej niż jakakolwiek wcześniejsza grecka praca prozą. Reputacja Herodota jako historyka była wielka nawet w jego czasach. Przy braku wielu kopii książek naturalne jest, że historia, podobnie jak inne dzieła literackie, musiała być czytana głośno publicznie i na spotkaniach prywatnych. W Atenach, około 20 lat przed śmiercią Herodot recytował ukończone części swojej Historii podziwiającej go publiczności i wiadomo, że zagłosowano nad przyznaniem mu wyjątkowo dużej sumy pieniędzy w uznaniu wartości jego pracy.

Chociaż Historia Herodota zawiera opowieść o wojnach perskich, praca nie jest tylko kroniką dokładnie zapisanych zdarzeń. Herodota interesowało niemal wszystko, co dotyczyło ludzi, i jego Historia jest rozległym magazynem informacji wszelkiego rodzaju szczegółów życia codziennego. Przedstawił swoim rodakom ogólny obraz znanego świata, różne jego ludy, ich ziemie i miasta, a także, co robili i ponad wszystko - dlaczego to robili. (Współczesny historyk zapewne opisałby Historię jako przewodnik zawierający użyteczne dane socjologiczne i antropologiczne, a nie jako pracę historyczną.) Celem, który mu przyświecał w jego Historii, jak on to pojmował, było, aby przekazać wszystko, co usłyszał, ale niekoniecznie uznawać to za fakty. Jasno stwierdził: "Moim zadaniem jest przekazanie, co ludzie mówią, a nie wiara w to wszystko, a ta zasada dotyczy całej mojej pracy". Zgodnie z tym znajdujemy u niego tradycyjne sprawozdanie ze zdarzenia, a potem jego własną interpretację lub sprzeczną z nią z innego źródła, pozostawiając czytelnikowi wybór pomiędzy obiema wersjami. Jedno musi być jasne: Herodot interpretował stan świata w swoich czasach jako wynik zmian z przeszłości i czuł, że zmiany te można opisać, To ta próba dała mu, a nie innym wcześniejszym autorom prozy, tytuł "Ojca historii".

Zamieszkały świat według Herodota

(Źródło Biblioteka Kongresu USA)

Herodot podjął wysiłek wyczerpującego opisania Egiptu, gdyż bardziej entuzjastycznie podchodził do Egipcjan niż do wszystkich innych ludzi, których spotkał. Jak większość odwiedzających Egipt był świadom wyjątkowej natury klimatu i topografii biegu Nilu: "Każdy, kto widzi Egipt, nie słysząc o nim wcześniej ani słowa, musi przyjąć, że jest to kraj otrzymany w prezencie od rzeki." Ten słynny fragment, często parafrazowany jako "Egipt jest darem Nilu", podsumowuje geograficzny fakt dotyczący tego kraju. W wypełnionym słońcem bezdeszczowym klimacie rzeka regularnie co roku wylewająca z brzegów przynosiła bogaty muł wypłukany z wyżyn wschodniej Afryki. W granicach wód rzeki w dawnych czasach była żyzna gleba na plony i pastwiska dla zwierząt, a poza tym obszarem we wszystkich kierunkach rozciągała się jałowa pustynia. To były warunki, w których rozwinęło się piśmienne, złożone społeczeństwo znane jako cywilizacja egipska.

Powstanie jednej z najwcześniejszych kultur świata było w istocie aktem politycznym. Pomiędzy rokiem 3500 a 3100 p.n.e. samowystarczalne społeczności rolnicze, które trzymały się pasma ziemi przylegającego do Nilu, zaczęły stopniowo łączyć się w większe jednostki aż do momentu, gdy zostały dwa królestwa Górnego Egiptu i Dolnego Egiptu. Wtedy, ok. roku 3100 p.n.e., regiony te zjednoczyły się w wyniku podboju z południa przez władcę o imieniu Menes, ulotną figurę, która weszła do historii jako początek długiej linii faraonów. Chronieni przed inwazją z zewnątrz przez te same pustynie, które ich izolowały, Egipt mógł rozwinąć stabilną i długotrwałą cywilizację antyczną. Podczas gdy Grecja i Rzym górowały nad innymi przez kilka wieków, Egipt trwał tysiące lat. Dobrze uporządkowana sukcesja 32 dynastii ciągnęła się od czasu zjednoczenia Górnego i Dolnego Królestwa przez Menesa, do nadejścia Kleopatry na początku 31 roku p.n.e. Długo po apogeum starożytnego Egiptu Napoleon mógł zagrzewać swoich zmęczonych weteranów, prezentując chwałę przeszłości. Stojąc w cieniu piramid w Gizie, wykrzyknął: "Żołnierze, patrzy na was czterdzieści wieków!".

Hieroglificzna reprezentacja liczb

Gdy tylko nastąpiło zjednoczenie Egiptu pod jednym przywództwem, zaczął się tworzyć silny i intensywny system administracyjny. Dokonano spisu ludności, nałożono podatki, utrzymywano armię i tak dalej, a wszystko to wymagało posługiwania się dość dużymi liczbami. (Jeden rok z okresu drugiej dynastii został nazwany rokiem wystąpienia liczenia wszystkich małych i dużych zwierząt gospodarskich z północy i południa). Już w roku 3500 p.n.e. Egipcjanie mieli w pełni rozwinięty system liczbowy, który pozwalał na liczenie w nieskończoność z wprowadzaniem co jakiś czas nowego symbolu. Znalazło się to na ornamencie króla Narmera, jednego z najbardziej niezwykłych reliefów starożytnego świata, który znajduje się teraz w muzeum uniwersytetu w Oksfordzie. Na początku dynastii Narmer (który według niektórych mógł być legendarnym Menesem, pierwszym władcą Egiptu zjednoczonego w jeden naród) musiał ukarać rebelię Libijczyków w zachodniej delcie. Pozostawił w świątyni w Nechen wspaniałą płytę łupkową - słynną Paletę Narmera - i ceremonialny ornament, które zawierają sceny upamiętniające jego zwycięstwo. Ornament zachował na zawsze oficjalne zapisy dokonań króla, a inskrypcja głosi chwałę wzięcia do niewoli 12 tys. więźniów i przedstawia rejestr zdobycia 400 tys. wołów i 1422 tys. kóz.

Innym przykładem rejestrowania na wczesnym etapie bardzo dużych liczb jest Księga umarłych, zbiór religijnych i magicznych tekstów, którego zasadniczym celem było zapewnienie zmarłym satysfakcjonującego życia po śmierci. W jednej części, która jak się uważa pochodzi z czasów pierwszej dynastii, czytamy (przemawia egipski bóg Nu): "Pracuję dla was, duchy, a jest nas cztery miliony, sześćset i jeden tysiąc i dwieście".

Scena pochodzi z wielkiego kamienia reliefu Narmera, który odkrył w Nechen J.E. Quibell w 1898 roku.

Jest to posumowanie łupów, które zdobył Narmer podczas swoich wojen, a konkretnie "krów 400000,

, kóz 1422000, oraz pojmanych 120000, "

(Odrys sceny: Ernest Alfred Wallis/Wikimedia Commons)

Spektakularne pojawienie się pod rządami faraonów pierwszych dwóch dynastii egipskiego rządu i administracji nie mogłoby się wydarzyć bez metody pisania i metodę taką znajdujemy i w wypracowanych "świętych znakach", czyli hieroglifach, i w szybkiej odręcznej kursywie pisma rachunkowego. System piania hieroglifami to pismo obrazkowe, w którym każdy znak reprezentuje konkretny obiekt, a jego znaczenie nadal w wielu przypadkach można rozpoznać. W jednym z grobowców w pobliżu piramidy w Gizie znaleziono hieroglificzne symbole liczbowe, w których liczba jeden była reprezentowana przez pojedynczą pionową kreskę lub obraz służącego, a rodzaj podkowy lub znak kości piętowej ? jest używany jako zbiorczy symbol zastępujący dziesięć pojedynczych kresek. Innymi słowy, system egipski był systemem dziesiętnym (od łacińskiego decem oznaczającego "dziesięć"), który wykorzystywał przy liczeniu potęgi 10, Liczba 10 jest tak często znajdowana u starożytnych ludów jako podstawa ich systemu liczenia, że bez wątpienia wynika to z dziesięciu palców człowieka i zwyczaju liczenia na nich. Z tego samego powodu symbol jak nasza cyfra 1 jest niemal wszędzie używany do wyrażenia jedynki.

Używano specjalnych piktogramów dla każdej potęgi 10 aż do 10 000 000: 100 jako zakręcony sznur, 1000 jako kwiat lotosu, 10 000 jako zagięty palec, 100 000 jako kijanka, 1 000 000 jako osoba trzymająca dwie ręce w górze, jakby bardzo zdziwiona i 10 000 000 jako symbol czasami traktowany jako wschodzące słońce.

Inne liczby mogły być wyrażone na pomocą sumowania tych symboli (czyli liczba reprezentowana przez zbiór symboli jest sumą liczb reprezentowanych przez pojedyncze symbole), a każdy znak może być powtórzony do dziewięciu razy. Zwykle kierunek pisania był od prawej do lewej, gdzie najpierw były podawane jednostki większe, a potem pozostałe w kolejności ich wagi. Czyli skryba napisałby

aby przedstawić nasza liczbę

1 - 100000 + 4 - 10000 + 2 - 1000 + 1 - 100 + 3 - 10 + 6 - 1 = 142136.

Czasami większe jednostki były pisane po lewej, a w takim przypadku symbole były odwrócone, aby wskazywać kierunek, od którego rozpoczynało się pisanie. Przestrzeń z boku była oszczędzana przez umieszczanie dwóch lub trzech wierszy, jeden nad drugim. Ponieważ dla każdej potęgi 10 był inny symbol, na wartość reprezentowanej liczby nie wpływała kolejność hieroglifów w ramach grupy. Na przykład

wszystkie powyższe zapisy oznaczają liczbę 1232. Dlatego egipska metoda pisania liczb nie była "systemem pozycyjnym" - takim, w którym ten sam symbol ma różne znaczenie, zależnie od położenia w reprezentacji liczby.

Dodawanie i odejmowanie powodowało w egipskim systemie liczb pewne trudności. Przy dodawaniu konieczne było zebranie symboli i wymiana symboli dziesiątek na kolejny symbol o większej wartości. Oto jak Egipcjanie dodaliby, powiedzmy 345 i 678:

Po przekształceniu da to

a po kolejnym przekształceniu to:

Odejmowanie było wykonywane w tym samym procesie, ale odwróconym. Czasami stosowano "pożyczenie", gdy symbol dla większej liczby był wymieniany na dziesięć mniejszych symboli, aby wystarczyło do odjęcia mniejszej liczby, jak w przypadku:

który przekształcano w

Wprawdzie Egipcjanie mieli symbole na liczby, jednak nie mieli ogólnie jednolitej notacji działań arytmetycznych. W przypadku słynnego papirusu Rhinda (datowanego na ok. 1650 rok p.n.e.) zapis pokazywał dodawanie i odejmowanie za pomocą hieroglifów i , które przypominają nogi osoby przychodzącej i wychodzącej.

Egipskie liczenie hieratyczne

Tak długo jak pismo ograniczało się do inskrypcji rzeźbionych w kamieniu lub metalu, jego zakres był ograniczony do krótkich zapisów uważanych za szczególnie ważne. Istniało zapotrzebowanie na łatwo dostępny i niedrogi materiał do pisania. Egipcjanie rozwiązali ten problem wraz z odkryciem papirusów. Papirusy tworzono, wycinając cienkie paski wzdłuż łodygi rośliny papirusu podobnej do trzcin, której obfitość występowała w mokradłach delty Nilu. Kawałki były umieszczane obok siebie na desce tak, aby tworzyły arkusz, a potem dodawano kolejną warstwę pod kątem prostym do pierwszej. Gdy nasączono je wodą, rozbito tłuczkiem i pozwolono wyschnąć na słońcu, naturalna guma rośliny sklejała te kawałki ze sobą. Powierzchnia do pisania była wygładzana za pomocą muszli do czasu, gdy ukończony arkusz (zwykle o szerokości od 25 do 45 cm) przypominał szorstki brązowy papier. Sklejając te arkusze wzdłuż nakładających się brzegów, Egipcjanie potrafili wytworzyć paski o niemal 100 metrach długości, które zwijano, gdy nie były używane. Pisali za pomocą pióra przypominającego pędzelek atramentem z kolorowej ziemi lub węgla drzewnego pomieszanych z gumą i wodą. Nie tak bardzo dzięki trwałości papirusu, lecz raczej dzięki niezwykle suchemu klimatowi, który zapobiegał pleśnieniu i grzybom, znaczne ilości zwojów zostały zachowane dla nas w stanie niemożliwym inaczej do osiągniecia,.

Wraz z wprowadzeniem papirusów niemal nieuniknione były kolejne kroki w kierunku uproszczenia pisma. Pierwsze kroki wykonali przede wszystkim egipscy kapłani, którzy rozwinęli szybszy, mniej obrazkowy styl, który lepiej pasował do pióra i atramentu. W tak zwanym piśmie "hieratycznym" (świętym) symbole były pisane kursywą lub z wolnej ręki, tak więc na pierwszy rzut oka niewiele przypominały stare hieroglify. Można powiedzieć, że odpowiadają one naszemu pismu ręcznemu, a hieroglify odpowiadają drukowi. W miarę upływu czasu pisanie weszło do ogólnego użytku, a wtedy nawet hieratyka stała się zbyt wolna i pojawiło się pismo skrótowe znane jako "demotyczne" (popularne). Pismo hieratyczne to dziecinna zabawka w porównaniu z demotyką, która w najgorszym wydaniu ma postać kolejnych wierszy nierównych przecinków, a każdy reprezentuje inny znak.

W obu tych postaciach pisma reprezentacja liczb była nadal addytywna i opierała się na potęgach 10, ale powtarzalna zasada z hieroglifów została zastąpiona za pomocą używania jednego znaku do reprezentowania zbioru podobnych symboli. Ten typ notacji można nazwać "szyfrowaniem". Na przykład pięć pisano jako oddzielny znak zamiast stawiania grupy pięciu kresek.

System hieratyczny używany do reprezentacji liczb pokazano w powyższej tabelce, Zauważmy, że znaki używane dla 1, 10, 100 i 1000 są w istocie skrótem używanych wcześniej piktogramów. W hieroglifach liczba 37 pojawiała się jako

ale w skrypcie hieratycznym została zastąpiona mniej uciążliwą postacią

Symbole większych liczba wprowadzane tej notacji wymagają zapamiętywania wielu znaków, ale egipscy skrybowie uważali to za uzasadnione ze względu na szybkość i zwięzłość. Idea szyfrowania jest jednym z decydujących kroków w rozwoju liczenia, porównywalnym ze znaczeniem przyjęcia przez Babilończyków zasady pozycyjności.

Grecki system alfabetyczno liczbowy

Około piątego wieku p.n.e. Grecy z Jonii opracowali cyfrowy system liczbowy, jednak o szerszym zestawie symboli do zapamiętania. Oznaczali swoje liczby cyframi złożonymi z 24 liter greckiego alfabetu, wzbogaconego o trzy stare fenickie litery (digamma jako 6, koppa jako 90 oraz sampi jako 900). Tych 27 liter używane było w poniżej opisany sposób. Początkowych dziewięć liter oznaczało liczby od 1 do 9. Kolejnych dziewięć liter reprezentowało pierwszych dziewięć zintegrowanych wielokrotności 10. Ostatnich dziewięć liter było używanych jako pierwszych dziewięć integralnych wielokrotności 100. Poniższa tabela pokazuje jak litery alfabetu (w tym specjalne postacie) były przyporządkowane liczbom.

Ponieważ system joński był nadal systemem typu addytywnego, wszystkie liczby pomiędzy 1 a 999 mogły być reprezentowane przez nie więcej niż trzy symbole. Zasada jest pokazana na przykładzie:

??? = 700 + 80 + 4 = 784.

Dla większych liczb używany był niżej opisany schemat. Akcent umieszczony po lewej i u dołu odpowiedniej litery jednostkowej mnożył odpowiadającą mu liczbę przez 1000, czyli ? reprezentuje nie 2, a 2000. Dziesiątki tysięcy były wskazywane przez nową literę M, od słowa myriad (oznaczającego "dziesięć tysięcy"). Litera M umieszczona obok lub poniżej symbolu liczby od 1 do 9999 powodowała, że liczba była mnożona przez 10 000, jak w

W tej konwencji Grecy pisali:

.

Jeszcze większe liczby wyrażano potęgami 10 000, gdzie podwójna miriada MM oznaczała (10 000)2 i tak dalej.

Symbole były zawsze ustawione w tej samej kolejności, od najwyższego mnożnika 10 po lewej do najniższego po prawej, a więc znaki akcentu mogły być czasami pominięte, jeśli kontekst był jasny. Wykorzystanie tej samej litery dla tysięcy i jednostek jak w

???? = 4234,

dawało literze po lewej stronie wartość lokalnego miejsca. Dla odróżnienia znaczenia numerycznego liter od ich użycia w zwykłym języku Grecy dodawali akcent na końcu lub kreskę rozciągającą się nad nimi. Tak więc liczba 1085 może przyjąć postać

System ten jako całość pozwalał na ekonomiczne pisanie (gdzie greckie oznaczenie dla 900 było jedną literą, a Egipcjanie musieli w tym celu użyć symbolu dziewięć razy), ale wymagał opanowania wielu symboli.

Mnożenie w greckich liczbach alfabetycznych jest wykonywane, poczynając od najwyższego rzędu w każdym składniku i formując sumę iloczynów cząstkowych. Obliczmy dla przykładu 24 - 53:

Idea mnożenia liczb złożonych z więcej niż jednej litery polegała na zapisaniu każdej liczby jako sumy liczb reprezentowanych przez jedna literę. Tak więc Grecy zaczynali obliczanie 20 × 50 (? przez v), potem dalej 20 × 3 (? przez ?), potem 4 × 50 (? przez v) i wreszcie 4 × 3 (? przez ?). Metoda ta, zwana greckim mnożeniem, odpowiada nowoczesnym obliczeniom

.

Liczbowe połączenie tych iloczynów nie jest oczywiste w iloczynach literowych, co wymagało skomplikowanych tablic mnożnikowych. Grecy mieli do pomnożenia przez siebie 27 symboli, więc musieli śledzić 729 całkowicie oddzielnych odpowiedzi. Ta sama mnogość symboli ma tendencję do ukrywania prostych związków między liczbami. Tam gdzie rozpoznajemy liczbę parzystą przez jej zakończenie na 0, 2, 4, 6 i 8, każda z 27 greckich liter (ewentualnie zmodyfikowana przez znak akcentu) mogła reprezentować liczbę parzystą.

Okazjonalne sprzeciwy podnoszone przeciwko notacji alfabetycznej dotyczyły tego, że przedstawianie słów i wyrażeń liczbowych za pomocą tych samych symboli prowadziło do mistycyzmu liczbowego znanego jako "gematria". W gematrii liczba jest w pewien sposób przyporządkowywana każdej literze alfabetu, a wartość słowa jest sumą liczb reprezentowanych przez jego litery. Dwa słowa są więc uważane za w jakiś sposób powiązane, jeśli dają w sumie tę samą liczbę. To zapoczątkowało praktykę nadawania imion, sytuując w nich zakodowane własne liczby. Najsłynniejszą liczbą było 666, "liczba Bestii", wymieniona w Biblii w Księdze Objawienia (prawdopodobnie odnosi się to do cezara Nerona, którego imię w zapisie hebrajskim ma tę wartość liczbową). Ulubioną rozrywką teologów katolickich w czasach Reformacji było wymyślanie schematów alfabetycznych, w których 666 miało oznaczać imię Martina Lutra, podtrzymując ich przekonanie, że był on Antychrystem. Luter odpowiadał podobnie: wymyślił system, w którym 666 przewiduje długość rządów papieża i cieszył się, że zbliża się do końca. Czytelnicy Wojny i pokoju Tołstoja mogą przypomnieć sobie, że "Cesarz Napoleon" może być także równoważny z numerem Bestii.

Inne zastępowanie liczbami, które występuje w pismach teologicznych, dotyczy słowa amen, które po grecku ma postać ???v. Litery te mają wartości liczbowe

A(?) = 1; M(?) = 40; E(?) = 8; N(v) = 50,

dające w sumie 99. Tak więc w wielu starych wydaniach Biblii numer 99 pojawia się na końcu modlitwy zastępując słowo amen. Ciekawą ilustrację gematrii można też znaleźć na murach Pompei: "Kocham tę, której numer to 545".

1.2. Zadania

1. Wyraź każdą z podanych liczb w egipskich hieroglifach

(a) 1492. (d) 70 807.

(b) 1999. (e) 123 456.

(c) 12 321. (f) 3 040 279.

2. Zapisz każdą z tych egipskich liczb w naszym systemie.

(a) .

(b) .

(c) .

(d) .

3. Wykonaj wskazane działania i wyraź odpowiedź w hieroglifach.

(a) Dodaj i

(b) Dodaj i

(c) Odejmij od

(d) Odejmij od

4. Pomnóż poniższą liczbę przez ? (10), wyrażając wynik w hieroglifach.

Opisz prostą regułę mnożenia dowolnej liczby egipskiej przez 10.

5. Napisz w jońskiej grece liczby odpowiadające

(a) 396. (d) 24 789.

(b) 1492. (e) 123 456.

(c) 1999. (f) 1 234 567.

6. Przekształć poniższe liczby z liczb w jońskiej grece na nasz system.

(a) . (c) .

(b) . (d) .

7. Wykonaj wskazane niżej działania.

(a) Dodaj i .

(b) Dodaj i .

(c) Odejmij od .

(d) Pomnóż przez .

8. Inny system symboli liczbowych, którego Grecy używali w latach od około 450 do 85 p.n.e. jest znany jako "attycki" lub "herodianiczny" (od Herodiana, bizantyjskiego gramatyka z II wieku, który go opisał). W tym systemie początkowe litery słów dla 5 i potęg 10 są używane do reprezentacji odpowiadających im liczb. Są to:

początkowa litera penta oznaczająca "pięć".

początkowa litera deka oznaczająca "dziesięć".

początkowa litera hekaton oznaczająca "sto".

początkowa litera kilo oznaczająca "tysiąc"

początkowa litera myriad oznaczająca "dziesięć tysięcy".

Litera oznaczająca 5 była łączona z innymi literami, aby otrzymać pośrednie symbole na 50, 500, 5000 i 50 000:

Inne liczby były tworzone na zasadach addytywnych, a większe jednostki poprzedzały mniejsze. Tak więc każdy symbol był powtarzany nie więcej niż cztery razy. Przykład tego systemu liczenia to

= 10 000 + 5000 + 1000 + 50 + 20 + 3

= 16 073.

Napisz w attyckim greckim liczby odpowiadające poniższym

(a) 386. (d) 24 789.

(b) 1492. (e) 74 802.

(c) 1999. (f) 123 456.

9. Przekształć liczby w attyckim greckim na nasz system

(a) .

(b) .

(c) .

(d) .

10. Wykonaj wskazane działania i wyraź odpowiedzi w liczbach attyckich.

(a) Dodaj i .

(b) Dodaj i .

(c) Odejmij od .

(d) Pomnóż przez .

11. Liczby rzymskie, które są nadal używane do celów dekoracyjnych jak na tarczach zegarów i pomnikach[1], są wzorowane na greckim systemie attyckim, gdzie litery stanowią symbole określonych wielokrotności 5, a także dla liczb będących potęgami 10. Podstawowe symbole i ich wartości to:

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

100

Rzymski system liczenia jest w zasadzie addytywny, z pewnymi cechami odejmowania i mnożenia. Jeśli symbole zmniejszają wartość od lewej do prawej, ich wartości są dodawane, jak w przykładzie:

MDCCCXXVIII = 1000 + 500 + 300

+ 20 + 5 + 3 = 1828.

Reprezentacja liczb, która obejmuje 4 i 9, jest skracana za pomocą zasady odejmowania, gdzie litera małej jednostki umieszczona przed literą jednostki większej wskazuje, że mniejsza ma być odjęta od większej. Na przykład:

CDXCV = (500 - 100) + (100 - 10) + 5

= 495.

(Ten schemat obejmuje funkcję systemu pozycyjnego, gdyż IV = 4, zaś VI = 6). Jednak są też ostateczne reguły:

I może poprzedzać tylko V i X

X może poprzedzać tylko L i C

C może poprzedzać tylko D i M

Zamiast nowych symboli dla dużych liczb wprowadzono metodę mnożenia. Kreska narysowana nad całym symbolem mnożyła odpowiednią liczbę przez 1000, zaś podwójna kreska oznaczała mnożenie przez 10002. Tak więc:

i .

Napisz liczby rzymskie odpowiadające liczbom:

(a) 1492. (d) 74 802.

(b) 1066. (e) 123 456.

(c) 1999. (f ) 3 040 279.

12. Przekształć każda z tych liczb rzymskich na nasz system:

(a) CXXIV.

(b) MDLXI.

(c) MDCCXLVIII.

(d) DCCLXXXVII.

(e) .

(f ) .

13. Wykonaj wskazane działania i wyraź odpowiedzi w liczbach rzymskich.

(a) Dodaj CM i XIX.

(b) Dodaj MMCLXI i MDXX.

(c) Dodaj XXIV i XLVI.

(d) Odejmij XXIII od XXX.

(e) Odejmij CLXI od CCLII.

(f) Pomnóż XXXIV przez XVI.

1.3. Zapisywanie liczb przez Babilończyków

Babilońskie pismo klinowe

Oprócz Egipcjan kulturą starożytności, która miała znaczący wpływ na rozwój matematyki, byli Babilończycy. Określenie "Babilończycy" jest tu użyte bez ograniczeń chronologicznych i odnosi się do ludów, które wiele tysięcy lat temu zajmowały żyzną równinę między bliźniaczymi rzekami, Tygrysem i Eufratem. Grecy nazywali ten kraj "Mezopotamią", co oznacza "kraj między rzekami". Większość jest dziś częścią współczesnego państwa Iraku, choć Tygrys i Eufrat mają źródła w Turcji. Ludzie w tym regionie - a konkretnie w nizinnych moczarach w pobliżu Zatoki Perskiej - przekroczyli próg cywilizacji mniej więcej w tym samym czasie, jak to zrobili w Egipcie, czyli około roku 3500 p.n.e. lub nieco wcześniej. Pustynia otaczająca Egipt z powodzeniem chroniła go przed inwazją, lecz otwarte równiny doliny Tygrysa i Eufratu były trudniejsze do obrony. Wczesna historia Mezopotamii to w dużej większości historia nieustannych inwazji przez napastników przyciąganych bogactwem ziemi, którzy podbili swoich dekadenckich poprzedników, wchłonęli ich kulturę i osiedlili się, ciesząc się bogactwem aż do czasu, gdy zostali pochłonięci przez kolejna falę intruzów.

Wkrótce po roku 3000 p.n.e. Babilończycy rozwinęli system pisania pochodzący od "piktogramów" - rodzaju pisma obrazkowego nieco podobnego do hieroglifów. Ale materiały wybrane do pisania nakładały na nich pewne ograniczenia, które wkrótce okradły piktogramy z jakiegokolwiek podobieństwa do przedstawianych obiektów. Podczas gdy Egipcjanie używali do zapisu pióra i atramentu, Babilończycy korzystali najpierw z trzciny, a potem z rylca z trójkątną końcówką. Robili tym odciski (nie rysy) na wilgotnej glinie. Glina szybko wysycha, więc dokumenty musiały być względnie krótkie i pisane w jednym czasie, ale były praktycznie niezniszczalne, po wyprażeniu w piecu lub pod wpływem słońca. (Kontrastuje to z metodą chińską, która obejmowała materiał piśmienny łatwiej ulegający zniszczeniu, jak kora lub bambus, i nie pozwoliła na zachowanie trwałych dowodów wczesnych dokonań kultury). Ostry koniec pisaka wykonywał ruch pionowy ( ), a przy podstawie był mniej lub bardziej głęboki odcisk (), tak że połączonym efektem był rysunek z główką i ogonkiem przypominający klin lub paznokieć (). Ponieważ łacińskie słowo "klin" to cuneus, wynikająca stąd postać pisma nosi naukową nazwę "cuneiform", po polsku pismo klinowe.

Pismo klinowe było naturalną konsekwencją wyboru gliny jako nośnika pisma. Rysik nie pozwalał na rysowanie zakrzywionych linii, więc symbole piktograficzne musiały być złożone z klinów skierowanych w różne strony: pionowo , poziomo i ukośnie lub . Do tych trzech typów dodano później jeszcze jeden klin, który wyglądał jak nawias kątowy otwarty w prawo i był kreślony dzięki trzymaniu rysika tak, że jego boki wcinały się w glinianą tabliczkę. Te cztery typy klinów musiały posłużyć na wszystkie rysunki, gdyż wykonanie innych było męczące dla ręki i zajmowało za dużo czasu. W przeciwieństwie do hieroglifów, które przypominały pismo obrazkowe, niemal do końca cywilizacji egipskiej, znaki klinowe były stopniowo upraszczane aż do momentu, gdy piktograficzne oryginały nie były jasne. Symbolem najbliższym kołu reprezentującemu słońce było znak , później jeszcze bardziej skondensowany do postaci . Podobnie symbol ryby był na początku taki , a na koniec taki . Ostatecznym efektem pisma klinowego wydaje się coś, co przypomina ślady ptaka na mokrym piasku. Dopiero w ostatnich dwustu latach udało się dowiedzieć, co znaczyło pismo klinowe i że było to pismo, a nie rodzaj dekoracji.

Odszyfrowanie pisma klinowego: Grotefend i Rawlinson

Ponieważ brakowało wielkich świątyń lub pomników, które pobudzałyby wyobraźnię archeologów (teren jest praktycznie pozbawiony kamienia na budowle), wykopaliska w tej części świata nastąpiły później niż w Egipcie. Ocenia się dziś, że istnieje co najmniej 400 tys. babilońskich glinianych tabliczek, zwykle wielkości ręki, rozproszonych po muzeach w różnych krajach. Z tej liczby około 400 zidentyfikowano jako zapisy o zawartości matematycznej. Ich odszyfrowanie i interpretacja idą powoli, ze względu na mnogość dialektów i naturalnych modyfikacji języka w okresie kilku tysięcy lat.

Pierwszy krok został zrobiony przez nieznanego nauczyciela niemieckiego z Getyngi Georga Friedricha Grotefenda (1775-1853), który wprawdzie znał dobrze klasyczną grekę, ale był całkowitym ignorantem w kwestii języków orientu. Popijając z przyjaciółmi, Grotefend założył się, że potrafi odszyfrować konkretne inskrypcje klinowe z Persepolis, pod warunkiem, że dostarczą mu opublikowaną literaturę na ten temat. Dzięki inspirującemu strzałowi znalazł klucz do odczytania perskiego pisma klinowego. Przeważające ustawienie znaków było takie, że końcówki klinów wskazywały w dół lub w prawo, a kąty tworzone przez szerokie kliny spójnie otwierały się na prawo. Założył, że znaki języka stanowią alfabet: zaczął wybierać te znaki, które występowały najczęściej i postawił tezę, że są to samogłoski. Założył, że najczęściej występująca grupa znaków oznacza "króla". Te przypuszczenia pozwoliły mu na odszyfrowanie tytułu "Król królów" i imion Dariusza, Kserksesa i Hystapesa. Następnie był w stanie wyodrębnić wiele pojedynczych znaków i odczytać poprawnie 12 z nich. Grotefend stworzył więc tłumaczenie, które wprawdzie zawierało liczne błędy, ale dało pewne pojęcie o zawartości. W 1802 roku, gdy Grotefend miał zaledwie 27 lat, przedstawił swoje badania w Akademii Nauk w Getyndze (nie pozwolono mu na odczytanie jego własnego artykułu). Ale osiągnięcie tego mało znanego uczonego, który nie należał do personelu wydziału uniwersyteckiego ani nie był z zawodu orientalistą, wywołało kpiny uczonego grona. Błyskotliwe odkrycie Grotefenda ukryte w nieznanej publikacji popadło w zapomnienie i dziesiątki lat później pismo klinowe musiało zostać odszyfrowane na nowo. Jest kaprysem historii, że Champollion, pierwszy tłumacz hieroglifów, zyskał światową sławę, a Georg Grotefeldt jest niemal całkowicie ignorowany.

Niewiele odkryć świata antycznego może rywalizować o zainteresowanie ze skopiowaniem monumentalnych inskrypcji skalnych w Behistunie przez Henry'ego Creswicke'a Rawlisona (1810-1895). Był on oficerem w armii indyjskiej i zainteresował się inskrypcjami klinowymi, gdy został w 1835 roku skierowany do Persji jako doradca wojsk szacha. Nauczył się języka i intensywnie jeździł po kraju, badając jego wiele starożytnych pozostałości, Uwaga Rawlinsona skierowała się wkrótce na Behistun, gdzie niebosiężne klify skalne, "Góra Bogów", wznoszą się ponad starożytną drogą karawan udających się do Babilonu. Tam, w 516 roku p.n.e. Dariusz Wielki wybudował trwały pomnik swoich osiągnięć wyrzeźbiony na specjalnie przygotowanej powierzchni o wymiarach ok. 30 na 50 metrów. Inskrypcje napisano na trzynastu panelach w trzech językach - staroperskim, elamickim i akadyjskim (językiem Babilończyków) - wszystko za pomocą pisma klinowego. Ponad pięcioma panelami napisów po persku artysta wyrzeźbił naturalnej wielkości figurę Dariusza, któremu hołd składało dziesięciu rebelianckich przywódców, którzy kwestionowali jego prawa do tronu.

Skała z Behistun została nazwana przez niektórych mezopotamskim kamieniem z Rosetty, jednak nazwa ta nie jest całkiem właściwa. Grecki tekst na kamieniu z Rosetty pozwolił Champollionowi na przejście od znanego do nieznanego, podczas gdy trzy fragmenty trójjęzycznej skały z Behistunu były zapisane tym samym nieznanym pismem klinowym. Jednak staroperski, ze swoim głównie alfabetycznym pismem ograniczonym do 43 znaków był od początku XIX wieku przedmiotem poważnych badań. Ta wersja tekstu miała ostatecznie dać klucz otwierający cały świat pisma klinowego. Pierwsza trudność leżała w skopiowaniu długiej inskrypcji. Jest ona wycięta ponad 100 metrów nad ziemią na powierzchni masywnej skały, która wznosi się ok. 500 m ponad równiną. Ponieważ kamienne stopnie zostały zniszczone po tym jak rzeźbiarze ukończyli pracę, nie było możliwości wejścia. Rawlinson musiał zbudować ogromne drabiny, aby dostać się do inskrypcji i czasami musiał być podwieszony za pomocą bloczka i linki na froncie niemal pionowej powierzchni skały. Pod koniec roku 1837 skopiował około połowy z 414 wierszy perskiego tekstu i wykorzystując metodę podobną do tej używanej 35 lat wcześniej przez Grotefelda przetłumaczył pierwsze dwa akapity. Celem Rawlinsona była transkrypcja każdego kawałka inskrypcji ze skały Behistun, ale niestety w 1839 roku wybuchła wojna pomiędzy Wielką Brytanią a Afganistanem. Rawlinson został przeniesiony do aktywnej służby w Afganistanie, gdzie podczas oblężenia został odcięty od świata przez niemal dwa lata. W roku 1843 ponownie znalazł się w Bagdadzie, tym razem jako brytyjski konsul, chętny do kontynuacji kopiowania, odszyfrowywania i interpretacji pozostałej części inskrypcji z Behistunu. Całkowite tłumaczenie w jego wykonaniu staroperskiej części tekstu, wraz z kopią wszystkich 263 wierszy w elamicku, zostało opublikowane w roku 1846. Następnie zajął się trzecim rodzajem pisma klinowego na monumencie, babilońskim, który był wycięty po dwóch stronach ciężkiego głazu wiszącego nad panelami elamickimi. Pomimo wielkiego niebezpieczeństwa dla życia i kończyn Rawlinson uzyskał papierowe odciski (zarysy) 112 wierszy. Wykorzystując już przetłumaczony perski tekst, który zawierał wiele nazw własnych, przypisał poprawne wartości do około 246 znaków. Podczas tej pracy odkrył ważną cechę pisma babilońskiego, zasadę "polifonii", że ten sam znak mógł oznaczać różne dźwięki spółgłosek, zależnie od samogłoski, która po niej następowała. Dzięki niezwykłemu wysiłkowi Rawlinsona zagadka pisma klinowego została poznana, a ogromne zapisy cywilizacji z Mezopotamii stanowią teraz otwartą księgę.

Babiloński pozycyjny system liczbowy

Dzięki wyczerpującym badaniom ostatniego półwiecza wiadomo, że matematyka babilońska była znacznie bardziej rozwinięta, niż wcześniej uważano. Babilończycy byli jedynymi ludźmi z okresu przed Grekami, którzy częściowo wykorzystywali pozycyjny system liczbowy. Takie systemy opierają się na pojęciu wartości pozycji, wartość symbolu zależy w nich od położenia, jakie zajmuje w reprezentacji liczbowej. Ich wyraźną zaletą w porównaniu z innymi systemami jest ograniczona liczba symboli, która wystarczy do wyrażenia liczb, niezależnie of tego, czy są one małe czy duże. Babilońska skala liczenia nie była dziesiętna, ale sześćdziesiątkowa (o podstawie 60), tak więc każda pozycja po przesunięciu cyfry w lewo zwiększała wartość 60 razy. W systemie sześćdziesiątkowym liczby całkowite są reprezentowane w ten sposób, że ostatnie miejsce jest zarezerwowane dla liczb od 1 do 59, przedostatnie dla wielokrotności 60, poprzedzone wielokrotnością 602 i tak dalej. Na przykład babilońskie 3 25 4 oznaczało liczbę:

3 - 602 + 25 - 60 + 4 = 12304,

a nie

3 - 103 + 25 - 10 = 4 = 3254,

jak w naszym systemie dziesiętnym (o podstawie 10).

Wykorzystywanie przez Babilończyków notacji sześćdziesiątkowej pozycyjno-wagowej zostało potwierdzone przez dwie tabliczki znalezione w 1854 r. przez angielskiego geologa W.K. Loftusa. w Senkerah nad Eufratem. Na tabliczkach tych, pochodzących prawdopodobnie z okresu Hammurabiego (200 p.n.e.), sa podane kwadraty wszystkich liczb całkowitych o 1 do 59 oraz ich sześciany aż do 32. Tabliczka z kwadratami daje się łatwo odczytać do 72, czyli 49. Tam, gdzie spodziewalibyśmy się znaleźć 64, na tabliczce jest 1 4, a ma to sens tylko wtedy, jeśli 1 oznacza 60. Po potędze 82 wartość 92 jest podana jako 1 21, co ponownie implikuje, że lewa cyfra musi reprezentować 60. Ten sam schemat występuje w całej tabeli, aż do ostatniej pozycji, którą jest 58 1. Musi to oznaczać:

58 1 = 58 - 60 + 1 = 3481 = 592.

Wady egipskiego systemu liczenia były oczywiste. Zapisywanie nawet małych liczb wymagało stosunkowo wielu symboli (do reprezentowania 999 potrzeba było nie mniej niż 27 hieroglifów), a dla każdej potęgi 10 musiał być wymyślany nowy symbol. W przeciwieństwie do tego notacja liczbowa Babilończyków kładła nacisk na znaki o dwóch klinach. Prosty klin skierowany w górę oznaczał 1 i mógł być używany dziewięć razy, a szeroki boczny klin oznaczał 10 i mógł być używany pięć razy. Babilończycy, podążając w tym samym kierunku co Egipcjanie, tworzyli wszystkie inne liczby jako kombinację tych symboli, a każdy występował tyle razy, ile było potrzeba. Gdy używane były oba symbole, te wskazujące dziesiątki pojawiały się na lewo od tych dla jedynek, jak w

Odpowiednie odstępy między ścisłymi grupami symboli odpowiadały malejącym potęgom 60, czytanym od lewej do prawej. Jako ilustrację mamy tu

co można zinterpretować jako 1 - 603 + 28 - 602 + 52 - 60 + 20 = 319940. Czasami Babilończycy redukowali uciążliwość swego systemu, używając znaku odejmowania . Pozwalał on na zapisywanie liczb tak jak 19 w postaci 20 - 1,

zamiast używania symbolu dziesiątek, a po niej dziewięciu jednostek

.

Babilońska notacja pozycyjna jest najstarszym systemem, który pozwalał na sprzeczne interpretacje, gdyż nie miał symbolu na zero. Nie było możliwości odróżnienia od siebie liczb

1 - 60 + 24 = 84 oraz 1 - 602 + 0 - 60 + 24 = 3624,

gdyż obie mały w zapisie klinowym postać

.

Tę niejednoznaczność można było rozstrzygnąć tylko na podstawie kontekstu. Często używano odstępu, aby wskazać, że brakuje całej pozycji sześćdziesiątkowej, ale ta reguła nie było ściśle stosowana i mogła pojawić się dezorientacja. Ktoś kopiujący tabliczkę mógł nie zauważyć pustego miejsca, umieszczając symbole bliżej siebie, a przez to zmienić wartość liczby. (Tylko w systemie pozycyjnym trzeba określić istnienie pustego miejsca, a więc Egipcjanie nie stykali się z tym problemem). Od roku 300 p.n.e. został wprowadzony oddzielny symbol

lub

zwany podzielnikiem, będący symbolem zastępczym, wskazującym na puste miejsce pomiędzy dwiema cyframi wewnątrz liczby. Mając ten symbol można było odróżnić liczbę 84 od o 3624, gdyż ta druga miała postać

.

Wątpliwości na tym się nie kończą, gdyż babiloński podzielnik był używany tylko w środku i nadal nie było symbolu wskazującego brak cyfry na końcu liczby. Około roku 150 n.e. aleksandryjski astronom Ptolemeusz zaczął używać litery omicron (o, pierwszej litery greckiego słowa o???v, "nic"), w taki sposób jak nasze zero, nie tylko na pozycjach środkowych, lecz także na końcu. Nie ma dowodów na to, że uważał o jako samodzielną liczbę, która może brać wraz z innymi udział w obliczeniach.

Brak znaku zera na końcu liczb oznaczało, że nie było sposobu na stwierdzenie, czy najniższa pozycja był jednostka, wielokrotnością 60, a może 602, a nawet . Wartość symbolu 2 24 (w piśmie klinowym ) mogła wynosić

20 - 60 + 24 = 144.

Ale możliwe były także inne interpretacje, jak na przykład

2 - 602 + 24 - 60 = 8640,

albo może chodziło o ułamek

Tak więc starożytni Babilończycy nigdy nie osiągnęli pełnego systemu pozycyjnego. Ich reprezentacja liczb wyrażała względną kolejność cyfr, a sam kontekst decydował o wielkości liczby zapisanej sześćdziesiątkowo. Ponieważ podstawa była tak duża, zwykle było jasne, o jaką wartość chodziło. Aby uporać się z tą wadą, przyjmijmy, że będziemy używać średnika, aby oddzielić liczby całkowite od ułamków, a pozostałe miejsca sześćdziesiątkowe będą oddzielone od siebie przecinkami. Przy takiej konwencji 25,0,3;30 oraz 25,0;3,30 będą odpowiednio oznaczać

i

Pamiętajmy, że ani średnik, ani przecinek nie mają swego odpowiednika w oryginalnych tekstach w piśmie klinowym.

Pytanie skąd pochodzi system sześćdziesiątkowy, zostało postawione dawno temu i z upływem czasu pojawiły się różne odpowiedzi. Według Teona z Aleksandrii, komentatora z IV wieku, 60 była jedną z najwygodniejszych liczb, gdyż była najmniejszą z tych, które miały najwięcej dzielników, więc najłatwiej się nią posługiwało. Według niego, z uwagi na dużą liczbę dzienników 60, a konkretnie 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30, wygodnie było reprezentować jej określone czynniki. Liczby całkowite 30, 20 i 15 mogły reprezentować ?, ? i ?:

.

Ułamki, które mają niekończące się rozwinięcie sześćdziesiątkowe, były zaokrąglane za pomocą skończonych, tak że każda liczba miała postać całkowitą. Wynikiem była prostota obliczeń, która umknęła Egipcjanom, gdyż redukowali swoje ułamki do sum ułamków o liczniku 1.

Inni wskazywali na "naturalne" pochodzenie systemu sześćdziesiątkowego: ich teoria mówiła, że wcześni Babilończycy uznawali, że rok ma 360 dni i wybrali wyższą podstawę 360, którą potem obniżyli do 60. Zapewne najbardziej satysfakcjonujące wyjaśnienie jest takie, że system wyewoluował z połączenia dwóch ludów, gdzie jeden przyjął system dziesiętny, a drugi wniósł ze sobą system szóstkowy, uznając za zaletę podzielność podstawy przez 2 i 3. (Pochodzenie systemu dziesiętnego nie jest logiczne, lecz anatomiczne i wynika z tego, że ludzie mają naturalne liczydło - swoje palce u rąk i u nóg).

Zalety babilońskiego systemu pozycyjno-wagowego nad addytywnymi obliczeniami egipskimi z jednostkowymi ułamkami były tak ewidentne, że metoda ta stała się podstawowym instrumentem obliczeń wśród astronomów. Widzimy w pełni wykorzystywaną notację liczbową w wyjątkowej pracy Ptolemeusza Megale Syntaxis (Wielka kolekcja). Arabowie przekazali to potem na zachód pod nazwą Almagest (Największe). Almagest przyćmił swoich poprzedników i aż do czasów Kopernika był podstawowym podręcznikiem do astronomii. W jednym z początkowych rozdziałów Ptolemeusz ogłosił, że będzie przeprowadzał swoje obliczenia w systemie sześćdziesiątkowym, aby uniknąć "zakłopotania z [egipskimi] ułamkami".

Pismo w starożytnych Chinach

Nasze badania nad wczesną matematyką są ograniczone głównie do ludów starożytnej cywilizacji śródziemnomorskiej, przede wszystkim Greków i ich długu wobec Egipcjan i mieszkańców Żyznego Półksiężyca. Niemniej, niezbędny jest pewien ogólny komentarz na temat cywilizacji Dalekiego Wschodu, a zwłaszcza najstarszej i najbardziej centralnej cywilizacji, tej w Chinach. Wprawdzie społeczeństwo chińskie nie było starsze niż inne cywilizacje starożytnego świata w dolinach rzecznych, rozkwitło ono jednak na długo przed starożytną Grecją i Rzymem. W połowie drugiego tysiąclecia p.n.e. Chińczycy prowadzili już zapisy zdarzeń astronomicznych na kawałkach kości, z których niektóre są zachowane. W istocie już w roku 1400 p.n.e. Chińczycy mieli pozycyjny system liczbowy, który wykorzystywał dziewięć znaków.

Skąpość wiarygodnych źródeł informacji niemal całkowicie odcina nas od historii starożytnego Orientu. W Indiach nie istnieje żaden tekst matematyczny, który można z jakąś pewnością przypisać erze przedchrześcijańskiej, a pierwsza data, która jest związana z chińskimi pracami, a konkretnie Pięć rozdziałów sztuki matematycznej pochodzi z roku 150 p.n.e.

Wiele różnic w dostępności źródeł informacji należy przypisać różnicy klimatu między Bliskim Wschodem a Dalekim Wschodem. Suchy klimat i gleba Egiptu i Babilonii pozwoliły zachować materiały, które dawno uległyby zniszczeniu w bardziej wilgotnym środowisku, a umożliwiają nam śledzenie postępów w tych kulturach, od barbarzyństwa odległych czasów do pełnego rozkwitu cywilizacji. Żadne inne kraje nie zapewniają tak dużych zbiorów informacji o pochodzeniu i rozpowszechnianiu matematyki. "Egipcjanie, którzy żyli w uprawnej części kraju", napisał w swojej Historii Herodot, "dzięki swoje praktyce przechowywania zapisów o przeszłości uczynili z siebie najlepszymi historykami ze wszystkich poznanych przeze mnie narodów".

Gdyby Chiny miały egipski klimat, z pewnością przetrwałoby wiele zapisów z czasów starożytności, każdy ze swoją historią na temat życia intelektualnego poprzednich pokoleń. Ale starożytny Orient to były "cywilizacje bambusa", a wśród wielu zastosowań tej rośliny było tworzenie książek. Małe fragmenty bambusa były przygotowywane poprzez przecięcie gładkiej części między dwoma węzłami na cienkie paski, które były suszone nad ogniem i zdrapywane. Ponieważ paski bambusa były wąskie, trzeba było układać pisane znaki w pionowych liniach biegnących od góry do dołu, co jest praktyką stosowaną do dziś. Otwarte, wysuszone i wydrapane paski bambusa były układane obok siebie i utrzymywane na miejscu przez cztery skrzyżowane sznurki. Sznurki łączące w naturalny sposób często gniły i pękały, w wyniku czego była zmieniana kolejność pasków i można ją było przywrócić tylko uważnie czytając tekst. (Innym materiałem używanym do pisania w tamtym okresie był jedwab, którego zaczęto używać zapewne dlatego, że książki bambusowe lub tabliczki drewniane były zbyt ciężkie i niewygodne). Większość tych starożytnych książek została bezpowrotnie stracona ze względu na działanie czasu i natury. Tych kilka dziś znanych to tylko krótkie fragmenty.

Innym czynnikiem sprawiającym, że raporty chronologiczne z Chin są mniej wiarygodne niż z Egiptu czy Babilonii, jest fakt, że książki gromadzono w pałacach lub bibliotekach rządowych, gdzie znikały podczas wielkich przewrotów międzydynastycznych. Mówi się, że w 221 roku p.n.e., gdy Chiny zostały zjednoczone pod rządami despotycznego cesarza Shih Huang-ti, próbował on zniszczyć wszystkie książki do nauki i niemal mu się to udało. Na szczęście wiele książek było przechowywanych w tajemnych miejscach lub w pamięci uczonych, którzy gorączkowo odtwarzali je w kolejnej dynastii. Jednak takie zdarzenia sprawiają, że datowanie odkryć matematycznych nie jest łatwe.

Jak wszyscy wiedzą, nowoczesna nauka i technika wyrosła w Europie Zachodniej, a wielkim punktem zwrotnym było życie Galileusza. Jednak między I a XV wiekiem Chińczycy, którzy nie doświadczyli czegoś takiego jak europejskie średniowiecze, byli znacznie bardziej zawansowani niż Zachód. Dopiero podczas rewolucji naukowej w późniejszych latach renesansu Europa gwałtownie wysunęła się naprzód. Przed okresem swojej izolacji i zahamowania Chiny przekazywały do Europy prawdziwą obfitość wynalazków i odkryć technicznych, które docierały na Zachód często bez jasnej informacji o tym, skąd pochodzą. Bez wątpienia największe odkrycia Chińczyków - te które zmieniły cywilizacje zachodnią, a w istocie cywilizację całego świata - to proch, kompas magnetyczny oraz papier i druk. Kwestia papieru jest bardzo ciekawa i znamy ją niemal od pierwszego dnia dokonania odkrycia. Popularne informacje z tamtych czasów mówią, że Tshai Lun, zarządca warsztatów cesarskich w 105 roku n.e. udał się do cesarza i powiedział: Tabliczki bambusowe są bardzo ciężkie, a jedwab jest tak drogi, że pomyślałem o sposobie zmieszania ze sobą fragmentów kory, bambusa i sieci. Udało mi się uzyskać bardzo cienki materiał, który nadaje się do pisania". Ponad tysiąc lat zajęło, zanim papier znalazł drogę z Chin do Europy, po raz pierwszy pojawiając się około roku 900 w Egipcie, a potem w roku 1150 w Hiszpanii.

Matematycy byli przez cały czas zajęci sprawami praktycznymi, które były ważne dla biurokratycznego rządu: pomiarami ziemi i miernictwem, opodatkowaniem, wykonywaniem kanałów i rowów, wielkością spichrzy i tak dalej. Błędna przekonanie, że Chińczycy dokonali znaczących postępów w matematyce teoretycznej jest zasługą jezuickich misjonarzy, którzy przybyli do Pekinu na początki XVII wieku. Gdy dowiedzieli się, że jeden z najważniejszych wydziałów rządu był znany jako Biuro Matematyki, przyjęli, że jego zadaniem jest promowanie w całym cesarstwie badań matematycznych. W rzeczywistości pracowali tam urzędnicy niższego rzędu, do których należało opracowanie kalendarza. W całej chińskiej historii najważniejszym zadaniem matematyki było tworzenie kalendarza, gdyż jego rozpowszechnianie były uważane za prawo cesarza, odpowiadające wydaniu bitych monet. W rolniczej gospodarce bardzo zależnej od sztucznego nawadniania ważne było, aby przepowiadać początek i koniec okresu monsunowego, a także topienia się śniegów i w konsekwencji wezbrania rzek. Osoba, która mogła dać ludziom dokładny kalendarz, mogła być uważana za bardzo ważną.

Ponieważ ustalanie kalendarza było zazdrośnie chronionym przywilejem, nie jest zaskakujące, że cesarz uważał wszelkie niezależne badania za sygnał ostrzegawczy. Jak napisał włoski jezuita Matteo Ricci (zmarł w roku 1610) "studiowanie matematyki bez zgody cesarza jest w Chinach zabronione pod karą śmierci". Matematyka, uważana za służebną względem ważnej nauki, jaką jest astronomia, wymagała orientacji praktycznej, która uniemożliwiała rozważania abstrakcyjnych idei. W Chinach niewiele zajmowano się matematyką dla niej samej.

1.3. Zadania

1. Wyraź każdą z podanych liczb w babilońskim zapisie klinowym.

(a) 1000. (d) 1234.

(b) 10 000. (e) 12 345.

(c) 100 000. (f) 123 456.

2. Przetłumacz każdą z podanych liczb na nasz system.

(a)

(b)

(c)

3. Wyraź ułamki i w systemie sześćdziesiątkowym.

4. Przekształć poniższe liczby z notacji sześćdziesiątkowej na nasz system.

(a) 1,23,45. (c) 0;12,3,45.

(b) 12;3,45. (d) 1,23;45.

5. Pomnóż liczbę 12,3; 45,6; przez 60. Opisz prostą regułę mnożenia dowolnej liczby sześćdziesiątkowej przez 60 i przez 602.

6. Chińskie liczby na bambusie lub patyczkach, datowane sprzed roku 1000 p.n.e., pochodziły z bambusowych patyków wykładanych na tabliczkach. System jest w zasadzie pozycyjny, oparty na skali dziesiętnej, z pustymi miejscami tam, gdzie należy umieścić zero. Mamy dwa zestawy symboli dla cyfr 1, 2, 3, ... , 9, które są używane na przemiennych pozycjach. Pierwszy zbiór używany jest dla jednostek, setek i dziesiątek tysięcy:

Stąd na przykład liczba 36278 będzie zapisana w postaci

Okrągły symbol na oznaczenie zera został wprowadzony stosunkowo późno, a w druku po raz pierwszy pojawił się w XIII wieku. Zapisz poniższe liczby w postaci chińskich liczb z patyczków:

(a) 1492. (d) 57,942.

(b) 1999. (e) 123,456.

(c) 1606. (f) 3,040,279.

7. Przekształć poniższe na nasze liczby.

(a) .

(b) .

(c) .

(d) .

8. Pomnóż przez 10 i wyraź wynik w liczbach chińskich. Opisz prostą regułę mnożenia dowolnych chińskich liczb przez 10 i przez 102.

9. Wykonaj podane działania:

(a) .

(b) .

(c) .

10. Chiński system liczenia z V wieku (w postaci pędzelkowej) obejmuje najlepsze cechy egipskich liczb hieroglificznych i greckich liczb alfabetycznych. Jest przykładem pisanego pionowo multiplikatywnego systemu grupowania opartego na potęgach 10. W tym systemie są używane cyfry 1, 2, 3, ..., 9, co pozwala unikać powtarzania symboli. Specjalne znaki istnieją dla 100, 1000, 10 000 i 100 000.

Liczby są pisane z góry do dołu, tak więc

reprezentuje

5 - 10000 + 2 - 1000 + 100 + 7-10 + 4 = 52174.

Zauważmy, że jeśli potrzebna jest tylko jedna potęga 10, to mnożnik 1 zostaje pominięty.

Wyraź każdą z podanych liczb w tradycyjnej chińskiej postaci liczbowej.

(a) 236. (d) 1066.

(b) 1492. (e) 57 942.

(c) 1999. (f) 123 456.

11. Przetłumacz każdą z podanych liczb z systemu chińskiego na nasz system liczbowy.

12. Pomnóż podaną liczbę przez 10, wyrażając wynik w liczbach chińskich.

13. Majowie z Ameryki Środkowej rozwinęli system pozycyjny o podstawie 20, wraz z techniką addytywną (opartą na podstawie 5) dla liczb w 20-bloku. Symbole o 1 do 19 były reprezentowane przez kombinację kropek i linii poziomych, gdzie każda kropka oznaczała 1, a każda kreska 5 (P26 & 7).

Rok Majów był podzielony na 18 miesięcy po 20 dni każdy, z dodatkowymi 5 dniami świąt dodawanymi, aby uzupełnić różnice pomiędzy tym rokiem a rokiem słonecznym. Ponieważ system opracowany przez majańskich duchownych był zaprojektowany przede wszystkim dla obliczeń kalendarzowych, wykorzystywali oni na trzeciej pozycji 18 - 20 = 360 zamiast 202, a kolejne pozycje po trzeciej miały multiplikatywną wartość 20, tak że wartości pozycji miały postać:

1, 20, 360, 7200, 144000, ...

Liczby były zapisywane w pionie, większe jednostki były wyżej, zaś brakujące pozycje oznaczano znakiem .

Tak więc

reprezentuje

2 - 144 000 + 0 - 7200 + 16 - 360

+ 7 - 20 + 11 = 290 311.

Napisz liczby stosowane przez duchownych Majów odpowiadające liczbom:

(a) 1492. (d) 57 942.

(b) 1999. (e) 123 456.

(c) 1066. (f) 3 040 279.

14. Przekształć liczby z kalendarza duchownych Majów na nasz system.

15. Wykonaj pokazane niżej działania

(a)

(b)

(c)

16. Pomnóż podaną liczbę przez (20), wyrażając wynik w systemie Majów. Opisz prostą regułę mnożenia dowolnej liczby Majów przez 20 i przez 202.

17. Jak wiele różnych symboli jest potrzebnych, aby zapisać liczbę 999999 w (a) hieroglifach egipskich, (b) w babilońskim piśmie klinowym, (c) liczbami jońskich Greków, (d) liczbami rzymskimi, (e) chińskimi liczbami patyczkowymi, (f) tradycyjnymi liczbami chińskimi oraz (g) liczbami Majów?

Bibliografia

Ascher, Marcia. Ethnomathematis, A Multicultural View of Mathematical Ideas. Paci c Grove, Calif.: Brooks Cole, 1991.

---. "Before the Conquest." Mathematics Magazine 65 (1992): 211-218.

Ascher, Marcia, and Ascher, Robert. Code of the Quipu. Ann Arbor, Mich.: University of Michigan Press, 1981. (Dover reprint, 1997.)

---. "Ethnomathematics." History of Science 24 (1986): 125-144.

Boyer, Carl. "Fundamental Steps in the Development of Numeration." Isis 35 (1944): 153-158.

---. "Note on Egyptian Numeration." Mathematics Teacher 52 (1959): 127-129.

Chiera, E. They Wrote on Clay: The Babylonian Tablets Speak Today. Chicago: University of Chicago Press, 1938.

Cordrey, William. "Ancient Mathematics and the Development of Primitive Culture." Mathematics Teacher 32 (1939): 51-60.

Dantzig, Tobias. Number: The Language of Science. New York: Macmillan, 1939.

Friberg, J¨oran. "A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts." Notices of the American Mathematical Society 55 (2008): 1076-1086.

Gerdes, Paulus. "On Mathematics in Sub-Saharan Africa." Historia Mathematica 23 (1996): 121-166.

Grundlach, Bernard. "A History of Numbers and Numerals." In Historical Topics for the Mathematics Classroom. Washington: National Council of Teachers of Mathematics, 1969.

Huylebrouck, Dirk. "The Bone that Began the Space Odyssey." Mathematical Intelligencer 18, no. 4 (1996): 56-60.

Ifrah, Georges. From One to Zero: A Universal History of Numbers. Translated by Lowell Bair. New York: Viking, 1985.

Imhausen, Annette. "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspective on Old Sources." Mathematical Intelligencer 28 (2007): 19-27.

Karpinski, Louis. The History of Arithmetic. Chicago: Rand McNally, 1925.

Katz, Victor, ed. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2007.

Menniger, Karl. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1969. (Dover reprint, 1992.)

Needham, Joseph. Science and Civilization in China. Vol. 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Cambridge: Cambridge University Press, 1959.

Ore, Oystein. Number Theory and Its History. New York: McGraw-Hill, 1948. (Dover reprint, 1988.)

Schmandt-Besserat, Denise. "The Earliest Precursor of Writing." Scienti c American 238 (June 1978): 50-59.

--- "Reckoning Before Writing." Archaeology 32 (May-June 1979): 23-31.

Scriba, Christopher. The Concept of Number. Mannheim: Bibliographisches Institut, 1968.

Seidenberg, A. "The Ritual Origin of Counting." Archive for History of Exact Sciences 2 (1962): 1-40.

---. "The Origin of Mathematics." Archive for History of Exact Sciences 18 (1978): 301-342.

Smeltzer, Donald. Man and Number. New York: Emerson Books, 1958.

Smith, David, and Ginsburg, Jekuthiel. Numbers and Numerals. Washington: National Council of Teachers of Mathematics, 1958.

Struik, Dirk. "Stone Age Mathematics." Scienti c American 179 (Dec. 1948): 44-49.

---. "On Chinese Mathematics." Mathematics Teacher 56 (1963): 424-432.

Swetz, Frank. "The Evolution of Mathematics in Ancient China." Mathematics Magazine 52 (1979): 10-19.

Thureau-Dangin, F. "Sketch of the History of the Sexagesimal System." Osiris 7 (1939): 95-141.

Wilder, Raymond. "The Origin and Growth of Mathematical Concepts." Bulletin of the American Mathematical Society 59 (1953): 423-448.

---. The Evolution of Mathematical Concepts: An Elementary Study. New York: Wiley, 1968.

Zaslavsky, Claudia. Africa Counts: Number Patterns in African Culture. Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1973.

ROZDZIAŁ 2Matematyka we wczesnych cywilizacjach

W większości nauk jedno pokolenie niszczy to, co zbudowało inne, a co ustanowiła jedna osoba, druga to cofa. W samej matematyce każde pokolenie buduje nową opowieść na starej strukturze.

HERMANN HANKEL

2.1. Papirus Rhinda

Egipskie papirusy matematyczne

Poza ewentualnym wyjątkiem astronomii matematyka jest najstarszą z dokładnych nauk i o największej ciągłości. Jej początki leżą porozrzucane we mgle starożytności. Często mówi się nam, że w matematyce wszystkie drogi prowadzą do Grecji. Ale sami Grecy mieli inne wyobrażenie o tym, gdzie zaczęła się matematyka. Preferowane wyobrażenie jest prezentowane przez Arystotelesa, który napisał w swojej Metafizyce: "Nauki matematyczne pochodzą z pobliskiego Egiptu, gdyż tam klasa kapłańska miała wolny czas". Jest to częściowo prawdą, gdyż najbardziej spektakularne postępy w matematyce miały miejsce jednocześnie z istnieniem klasy próżniaczej poświęcającej się dążeniu do wiedzy. Bardziej prozaiczny pogląd głosi, że matematyka wyłoniła się z potrzeb praktycznych. Egipcjanie potrzebowali zwykłej arytmetyki w codziennych transakcjach handlowych i dla rządu, który ustalał podatki, aby obliczyć odsetki od pożyczek, obliczać wynagrodzenia i zbudować działający kalendarz. Proste reguły geometryczne miały zastosowanie do określania granic pól i zawartości spichrzy. Jeśli Herodot nazwał Egipt darem Nilu, to możemy nazwać drugim darem geometrię. Wraz z corocznymi wylewami w dolinie Nilu stało się konieczne, aby dla celów podatkowych określać, ile ziemi przybyło lub zostało utraconej. Tak to postrzegał grecki komentator Proklos (410-184 n.e.), którego Komentarz do pierwszej księgi Elementów Euklidesa jest nieocenionym źródłem informacji o geometrii przed-euklidesowej:

Wedle powszechnego mniemania geometria została najpierw odkryta przez Egipcjan i miała początek w pomiarach ich ziem. Była to dla nich konieczność, gdyż Nil wylewał i zacierał granice między ich posiadłościami.

Początkowo nacisk kładziono na matematykę użytkową, szybko jednak przedmiot ten zaczął być studiowany dla samego poznania. Algebra ostatecznie wyewoluowała z technik obliczeniowych, a geometria teoretyczna zaczęła się od pomiarów ziemi.

Większość historyków datuje początek odkrywania starożytnej przeszłości Egiptu od niefortunnej inwazji Napoleona Bonaparte w 1798 roku. W kwietniu tamtego roku Napoleon wyruszył żaglowcami z Tulonu z armią 38 tys. żołnierzy upakowanych na 328 statkach. Zamierzał podbić Egipt, a tym samym zagrozić trasom lądowym do bogatych posiadłości brytyjskich w Indiach. Wprawdzie angielski admirał Nelson zniszczył dużą część francuskiej floty po ich wylądowaniu w Aleksandrii, ale kampania trwała kolejnych 12 miesięcy, zanim Napoleon nie porzucił sprawy i nie pośpieszył z powrotem do Francji. Jednak to, co było klęską wojskową, stało się triumfem naukowym. Napoleon przywiózł ze swoimi siłami ekspedycyjnymi komisję zajmującą się nauka i sztuką, starannie dobrane ciało 167 uczonych - w tym matematyków Gasparda Monge'a i Jeana-Baptistę Fouriera - chętnych do dokonania wyczerpujących badań każdego aspektu życia w Egipcie w starożytności i w czasach współczesnych. Wielki plan miał wzbogacić światowe zasoby wiedzy, a jednocześnie rozmyć znaczenie wojskowych przygód Francji przez zwrócenie uwagi na wyższość jej kultury.

Uczeni z tych komisji zostali pojmani przez Brytyjczyków, ale wspaniałomyślnie pozwolono im na powrót do Francji z ich notatkami i rysunkami. Wkrótce stworzyli naprawdę monumentalną pracę pod tytułem Déscription de l'Egypte. Praca ta miała 9 tomów tekstu i 12 tomów rycin i była publikowana przez 25 lat. Sam tekst był podzielony na cztery części dotyczące odpowiednio cywilizacji staroegipskiej, budowlom, współczesnemu Egiptowi i historii naturalnej. Nigdy wcześnie ani później nie powstało kompendium dotyczące obcej ziemi tak bogate, tak dokładne i tak szybko stworzone w tak trudnych warunkach.

Déscription de l'Egypte, ze swoimi wystawnymi i wspaniale ilustrowanymi foliałami, wtargnęło z bogactwem starożytnego Egiptu w społeczeństwo przyzwyczajone do starożytności Grecji i Rzymu. Nagłe odkrycie kwitnącej cywilizacji, starszej niż jakakolwiek dotąd znana, wzbudziło niezwykłe zainteresowanie w kulturalnych i naukowych kręgach Europy. Tym, co jeszcze spotęgowało fascynację, był fakt, że zapisy historyczne na temat dawnego społeczeństwa były napisane pismem, którego nikt nie potrafił przetłumaczyć na współczesny język. Ta sama kampania wojskowa Napoleona dostarczyła literackiej wskazówki do egipskiej przeszłości, gdyż jeden z jego inżynierów odkrył kamień z Rosetty i zdał sobie sprawę z jego znaczenia dla odszyfrowania hieroglifów.

Większość naszej wiedzy na temat wczesnej matematyki w Egipcie pochodzi z dwóch dużych papirusów, których nazwy pochodzą od ich dawnych właścicieli - Rhinda i Goleniszczewa. Ten ostatni jest czasem nazywany papirusem moskiewskim, gdyż znajduje się w muzeum sztuki w Moskwie. Papirus Rhinda został w 1858 roku kupiony w Luksorze w Egipcie przez Szkota A. Henry'ego Rhinda i został przekazany British Museum. Gdy zdrowie tego młodego prawnika załamało się, odwiedził Egipt, gdzie był łagodny klimat i stał się archeologiem, specjalizującym się w wykopaliskach grobowców tebańskich. To właśnie w Tebach w ruinach niewielkiego budynku obok muzeum Ramzesa został znaleziony ten papirus.

Papirus Rhinda został napisany ok. roku 1650 p.n.e. pismem hieratycznym (hieroglifami w postaci kursywy lepiej dostosowanymi do pisania piórem i atramentem) przez skrybę imieniem Ahmes, który zapewnia nas, że jest to kopia wcześniejszej pracy pochodzącej z dwunastej dynastii (1849-1801 p.n.e.). Wprawdzie papirus był oryginalnie jednym zwojem o długości ok. 6 metrów i wysokości 33 cm, dotarł do British Museum w dwóch kawałkach, z brakującą częścią środkową. Zapewne papirus został przerwany podczas rozwijania przez kogoś, kto nie umiał obchodzić się z delikatnymi dokumentami lub też było dwóch znalazców i każdy chciał mieć część. W każdym razie wydawało się, że kluczowa część papirusu została utracona na zawsze, dopóki nie zdarzyło się coś, co czasami ma miejsce w archeologii. Około cztery lata temu po słynnym zakupie Rhinda amerykański egiptolog Edwin Smith kupił coś, co uważał za papirus medyczny. Papirus okazał się być oszustwem, gdyż został wykonany przez naklejenie fragmentów innych papirusów na fałszywy zwój. Po śmierci Smitha (w 1906 roku) jego kolekcja antyków egipskich została przekazana nowojorskiemu towarzystwu historycznemu (New York Historical Society), a w roku 1922 kawałki fałszywego zwoju zostały zidentyfikowane jako należące do papirusu Rhinda. Odszyfrowanie papirusu ukończono, gdy brakujące fragmenty trafiły do British Museum i wstawiono je na właściwe miejsca. Rhind w tym samym czasie co papirus nabył także krótki manuskrypt skórzany, egipski skórzany zwój matematyczny (Egyptian Mathematical Leather Scroll). Jednak w związku z jego kruchością pozostał on niezbadany przez ponad 60 lat.

Klucz do odszyfrowania: kamień z Rosetty

Rozpoczęcie tłumaczenia papirusu Rhinda stało się możliwe niemal natychmiast, dzięki wiedzy uzyskanej z kamienia z Rosetty. Zalezienie tej płyty z wypolerowanego bazaltu było nic nieznaczącym zdarzeniem z czasów ekspedycji Napoleona, Została ona odkryta w 1799 roku przez oficerów armii

Kamień z Rosetty zawierający te same inskrypcje w hieroglifach, piśmie demotycznym i po grecku

(Źródło: Javier Espuny/Dreamstime)

napoleońskiej w pobliżu Rosetty, dopływu Nilu, podczas kopania fundamentów pod fort. Kamień z Rosetty składa się z trzech paneli, a każdy jest zapisany innym pismem. Greka na dolnej jednej trzeciej, pismo egipskie (w postaci rozwiniętej z hieratyki) w środku i starożytne hieroglify w złamanej górnej części. Sposobu odczytywania Greki nigdy nie utracono, a sposobu odczytywania hieroglifów i demotyki nigdy nie poznano. Z inskrypcji greckiej wywnioskowano, że pozostałe dwa panele zawierają tę samą wiadomość, więc był to trójjęzyczny tekst, z którego można było odszyfrować alfabet hieroglificzny.

Znaczenie kamienia z Rosetty natychmiast stało się jasna dla Francuzów, zwłaszcza dla Napoleona, który kazał wykonać odbitki kamienia i wysłać do uczonych w Europie. Zainteresowanie społeczne było tak wielkie, że gdy w 1801 roku Napoleon został zmuszony do opuszczenia Egiptu, jednym z artykułów porozumienia o kapitulacji było oddanie kamienia Brytyjczykom. Podobnie jak reszta zdobytych artefaktów kamień znalazł się w British Museum, gdzie wykonano cztery odlewy dla uniwersytetów w Oksfordzie, Cambridge, Edynburgu i w Dublinie i zaczęło się jego odszyfrowywanie metodą analizy porównawczej. Problem okazał się trudniejszy niż sobie wyobrażano, a rozwiązanie po intensywnych badaniach wielu uczonych zajęło 23 lata.

Ostatni rozdział tajemnicy kamienia z Rosetty, podobnie jak pierwszy, został napisany przez Francuza, Jean-François Champolliona (1790-1832). Jako największe ze wszystkich nazwisk związanych z badaniami Egiptu, Champollion od dziecka miał przeczucie, że odegra rolę w odrodzeniu kultury starożytnego Egiptu. Opowieść głosi, że w wieku 11 lat spotkał matematyka Jean-Baptist Fouriera, który pokazał mu papirusy i tabliczki kamienne zawierające hieroglify. Wprawdzie zapewniono go, że nikt nie potrafi ich odczytać, ale chłopiec z determinacją powiedział: "Ja to zrobię, gdy będę starszy". Od tego momentu wszystko, co robił Champollion, było związane z egiptologią. W wieku 13 lat czytał w trzech wschodnich językach, w wieku lat 17 otrzymał pracę na wydziale uniwersytetu w Grenoble. W roku 1822 ukończył tworzenie słownika hieroglificznego i otrzymał pełny odczyt górnego panelu kamienia z Rosetty.

Na przestrzeni wielu lat hieroglify ewoluowały z systemu obrazów pełnych słów do języka obejmującego zarówno znaki alfabetyczne, jak i fonetyczne symbole. W inskrypcji hieroglificznej na kamieniu z Rosetty owalne ramki zwane "cartouches" (francuskie słowo oznaczające "kasety") były narysowane wokół niektórych znaków. Ponieważ były to jedyne znaki, które wyrażały jakieś wyróżnienie, Champollion pomyślał, że symbole w kasetach reprezentowały imię władcy Ptolemeusza, wymienianego w greckim tekście. Champollion zabezpieczył także kopię inskrypcji na obelisku i na jego podstawie, z File. Podstawa miała grecką dedykację na cześć Ptolemeusza i jego żony Kleopatry (nie tej słynnej Kleopatry, która źle skończyła). Na samym obelisku, który był wyrzeźbiony hieroglifami, były dwie kasety obok siebie, więc wyglądało to jak wyróżnienie egipskich odpowiedników imion własnych. Co więcej, jedno z nich zawierało te same znaki hieroglificzne, które wypełniały kasetę kamienia z Rosetty. Było to na tyle zgodne, że pozwoliło Champollionowi na wstępne odszyfrowanie. Na podstawie królewskich nazwisk przyjął korelację pomiędzy poszczególnymi hieroglifami a literami greckimi. W chwili gdy hieroglify odsłoniły swoją nierozwiązywalną zagadkę, Champollion, wyczerpany latami bezustannego wysiłku, jak głosi plotka, wykrzyknął "Mam to!" i zemdlał.

Ukoronowaniem życiowych studiów było napisanie przez Champollina pracy Grammaire Egyptienne en Encriture Hieroglyphique, opublikowanej pośmiertnie w 1843 roku. Sformułował on w niej system gramatyki i ogólne odszyfrowanie, które stanowi podstawę, na której później pracowali wszyscy egiptolodzy. Kamień z Rosetty dostarczył klucz do zrozumienia jednej z wielkich cywilizacji przeszłości.

2.2. Egipska arytmetyka

Wczesne egipskie mnożenie

Papirus Rhinda zaczyna się od odważnego założenia. Jego zawartość dotyczy "dogłębnej analizy wszystkich rzeczy, spojrzenia ma wszystko, co istnieje, wiedzy o niejasnych tajemnicach". Wkrótce staje się oczywiste, że mamy do czynienia z praktycznym podręcznikiem ćwiczeń matematycznych, a jedynymi "tajemnicami" są mnożenie i dzielenie. Niemniej 85 problemów w nim zawartych daje dość jasny pogląd na temat charakteru egipskiej matematyki. Była ona w zasadzie "addytywna", co oznacza sprowadzenie mnożenia i dzielenia do powtarzalnych dodawań. Mnożenie dwóch liczb zostaje osiągnięte przez kolejne podwajanie jednej z liczb, a potem dodawanie odpowiednich duplikatów, aby uzyskać iloczyn. Aby, na przykład, znaleźć iloczyn 19 i 71, załóżmy, że mnożnikiem jest 71, podwajamy więc:

1 71

2 142

4 284

8 568

16 1136

W tym miejscu kończymy podwajanie, gdyż kolejny krok da nam mnożnik większy niż 19. Ponieważ 19 = 1 + 2 + 16, sprawdźmy te mnożniki, aby wskazać, że należy je dodać. Zadanie mnożenia 19 razy 17 będzie więc wyglądać tak:

Przez dodanie w prawej kolumnie tych liczb, które są zaznaczone, egipski matematyk otrzyma wymaganą odpowiedź 1349. Czyli:

1379 = 71 + 142 + 1136 = (1 + 2 + 16) - 71 = 19 - 71.

Gdyby wybrać jako mnożnik liczbę 19, a 71 jako mnożną, praca miałaby poniższą postać:

Ponieważ 71 = 1 + 2 + 4 + 64, trzeba tylko dodać te wielokrotności 19, aby ponownie otrzymać 1349.

Metoda mnożenia przez podwajanie i sumowanie działa, gdyż każda liczba całkowita (dodatnia) może być przedstawiona jako suma potęg liczby 2, czyli jako suma składników 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Nie wydaje się, aby starożytni Egipcjanie udowodnili ten fakt, ale ich przekonanie było prawdopodobnie oparte na wielu zrealizowanych przykładach. Schemat podwajania i połowienia jest nazywany czasami mnożeniem rosyjskim, gdyż był on używany przez rosyjskich chłopów. Oczywista zaletą jest fakt, że nie trzeba zapamiętywać tabliczki mnożenia.

Egipskie dzielenie można opisać jako proces odwrotny do mnożenia - gdzie dzielnik jest podwajany, aby dać dzielną, Aby, na przykład, podzielić 91 przez 7, szukana jest liczba x taka, że 7x = 91: znajdujemy ją, podwajając 7, aż do otrzymania sumy 91. Procedura pokazana jest poniżej.

Stwierdzenie, że 7 + 28 + 56 = 91, wymaga dodawania potęg 2 odpowiadających zaznaczonym liczbom, a konkretnie 1 + 4 + 8 = 13, co daje pożądany iloraz. Egipska procedura dzielenia ma tę pedagogiczną zaletę, że nie wygląda na nowe działanie.

Dzielenie nie zawsze jak tak proste jak na powyższym przykładzie i trzeba wprowadzać ułamki, aby, powiedzmy, podzielić 35 przez 8. Skryba zacząłby od podwajania dzielnika 8 do momentu, gdy następne podwojenie przekroczyłoby dzielną 35. Następnie zacząłby dzielić dzielnik, aby znaleźć resztę. Obliczenia mogłyby wyglądać więc tak:

Podwojenie 16 daje 32, wiec brakuje 35 - 32 = 3. Najpierw bierzemy połowę 8, aby otrzymać 4, potem połowa 4 daje 2, a wreszcie połowa tego doprowadza nas do 1. Gdy dodamy jedną czwartą i jedną ósmą liczby, otrzymujemy potrzebne 3. Tak więc wymagany iloraz to .

W innym przykładzie dzielenie 16 przez 3 może dać taki efekt:

Suma pozycji z kolumny po lewej stronie, przy których są zaznaczenia, daje iloraz . Niezwykłe jest, że aby otrzymać jedną trzecią liczby, Egipcjanie najpierw znajdowali dwie trzecie liczby, a potem brali połowę wyniku. Pojawia się to na papirusie Rhinda w więcej niż tuzinie miejsc.

Gdy matematyk egipski chciał wykonywać obliczenia z ułamkami, napotykał wiele trudności wynikających z odmowy uzyskania ułamka jak . Jego praktyka obliczeniowa pozwalała mu na przyjęcie tylko tak zwanych ułamków jednostkowych, czyli takich, które maja postać 1/n, gdzie n jest liczbą naturalną. Egipcjanie pisali ułamek jednostkowy, umieszczając wydłużony owal nad hieroglifem liczby całkowitej, która miała pojawić się w mianowniku, czyli była pisana jako , a jako . Nie obejmowało to , dla którego był oddzielny symbol . Poza tym wszystkie ułamki musiały być przedstawiane jako sumy ułamków jednostkowych, każdy o różnym mianowniku. Tak więc na przykład było przedstawiane jako

Wprawdzie można go również zapisać w postaci

ale Egipcjanie uważaliby taką reprezentację za absurd i sprzeczność. W ich oczach jest jedna i tylko jedna część, która może być jedną siódmą czegoś. Starożytny skryba znalazłby prawdopodobnie ułamek odpowiadający , wykonując konwencjonalne dzielnie 6 przez 7:

Tabela ułamków jednostkowych

Musiało istnieć wiele tabel, aby ułatwić taki rozkład na ułamki jednostkowe, z których najprostsze bez wątpienia odwoływały się do pamięci. Na początku papirusu Rhinda jest taka tabela pokazująca rozkład na ułamki z licznikiem 2 i mianownikiem w postaci liczb nieparzystych od 5 do 101. Tabela ta, która zajmuje około jednej trzeciej całej rolki o długości 5,5 metra, to najbardziej rozwinięta tabela arytmetyczna znaleziona wśród starożytnych papirusów egipskich, które do nas dotrwały. Skryba stwierdził najpierw, że została wybrany rozkład 2/n, a potem, stosując zwykłe mnożenie, udowodnił, że jego wybór wartości był poprawny. Czyli pomnożył wybrane wyrażenia przez nieparzysta liczbę całkowitą n, aby otrzymać 2. Nigdzie nie ma żadnego elementu techniki pozwalającej na uzyskanie rozkładu.

Ułamki 2/n, których mianowniki są podzielne przez 3, są zgodne z następującą zasadą:

Typowy jest tu wpis (przypadek dla k = 5), który jest wyrażony jako:

Jeśli zignorujemy reprezentację ułamków w postaci 2/(3k), to pozostała część tabeli 2/n ma postać pokazaną poniżej.

Od czasu, gdy pojawiło się pierwsze tłumaczenie zwoju papirusów, matematycy próbowali wyjaśnić, jaką metodą skryba przygotował tę tabelę. Z wielu możliwych redukcji ułamków jednostkowych, dlaczego dla n = 19 wybrano

,

zamiast powiedzmy:

Nie znaleziono żadnej konkretnej reguły, która dałaby wyniki zawarte w tej tabeli.

Ostatnia pozycja w tabeli, którą jest 1 podzielone przez 101, ma postać

Jest to jedyny możliwy rozkład na nie więcej niż cztery różne ułamki jednostkowe, gdzie wszystkie mają mianowniki mniejsze niż 1000. Jest to szczególny przypadek ogólnego wzoru

Wzór ten umożliwia utworzenie całkiem nowej tabeli 2/n złożonej w całości z wyrażeń o czterech składnikach:

Mimo że skryba był tego najpewniej świadomy, nigdzie nie zaakceptował tych wartości dla tej tabeli (poza ostatnim przypadkiem dla ), gdyż dostępnych było tak wiele innych, "prostszych" reprezentacji. Dla współczesnego umysłu wydaje się nawet, że skryba przestrzegał określonych zasad przy tworzeniu tej listy. Zauważamy, że:

1. Preferowane są małe mianowniki, nie większe niż 1000.

2. Im mniej ułamków jednostkowych, tym lepiej i nigdy nie ma ich więcej niż cztery.

3. Mianowniki, które są parzyste, są bardziej pożądane od nieparzystych, zwłaszcza w pierwszym wyrazie.

4. Mniejsze mianowniki są na początku, a żadne nie powtarzają się.

5. Mały pierwszy mianownik może być zwiększony, jeśli wielkość pozostałych zostanie dzięki temu zredukowana (na przykład jest wybierany zamiast ).

Nie potrafimy stwierdzić dlaczego - a nawet czy - te zasady zostały wybrane.

Przykład. Jako ilustrację mnożenia z ułamkami znajdźmy iloczyn oraz . Zauważmy, że podwojenie da , co egipski matematyk zapisałby jako . Praca może zostać zorganizowana w następujący sposób:

.

Matematycy wiedzieli, że podwojony ułamek jednostkowy 1/(2n) to ułamek jednostkowy 1/n, więc odpowiedź będzie miała postać .

Przykład. Przyjrzyjmy się trudniejszemu dzieleniu z wykorzystaniem ułamków, które pojawia się w zadaniu 33 papirusu Rhinda. Trzeba tu podzielić 37 przez . W standardowej postaci dzielenia egipskiego obliczenia rozpoczynają się tak:

przy wartości zapisanej jako . Teraz suma jest bliska 37. Ale ile nam brakuje? Czy też, jak powiedziałby skryba: "Co uzupełnia do 1"? We współczesnej notacji, trzeba uzyskać ułamek x, dla którego

,

lub, ujmując problem w inny sposób, szukamy licznika y, który spełni:

,

gdzie mianownik 84 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników 3, 4 i 28. Pomnożenie obu stron tego równania przez 84 daje 56 + 21 + 3 + y = 84, więc y = 4. Dlatego reszta, którą trzeba dodać do , aby otrzymać 1, wynosi , czyli . Kolejnym krokiem jest określenie przez co powinniśmy pomnożyć , aby otrzymać wymagane . Oznacza to rozwiązanie poniższego równania względem z:

.

Pomnożenie przez 42 daje nam 97z = 2, czyli z = , co egipski skryba określił jako równe . Tak więc całe obliczenia przyjmą poniższą postać:

.

Wynik podzielenia 37 przez wynosi .

Reprezentacja liczb wymiernych

Istnieje siedem współczesnych sposobów rozwinięcia ułamka z licznikiem innym niż 2 jako sumy ułamków jednostkowych. Przypuśćmy, że mamy rozwinąć . Ponieważ 9 = 1 + 4 - 2, jedna z procedur może polegać na przekształceniu do postaci:

.

Ułamek można zredukować, korzystając z tabeli 2/n, a wyniki przedstawić jako sumę niepowtarzających się ułamków jednostkowych:

.

Odpowiedź końcowa ma postać:

.

Tym co sprawia, że ten przykład działa, jest podzielność mianowników 8, 52 i 104 przez 4. Nie zawsze możemy mieć takie szczęście.

Wprawdzie nie będziemy tego robić, ale można dowieść, że każda dodatnia liczba wymierna może być wyrażona za pomocą sumy skończonej liczby różnych ułamków jednostkowych. Taki rozkład zrobić za pomocą dwóch systematycznych procedur. Z braku lepszych nazw, nazwijmy je metodą podziału i metodą Fibonacciego. Metoda podziału opiera się na tak zwanej tożsamości podziału

,

która pozwala na zastąpienie jednego ułamka jednostkowego sumą dwóch innych. Na przykład możemy rozłożyć , pisząc najpierw

,

a potem dzieląc jeden z ułamków na 1/20 i 1/19 - 20, tak że

.

W przypadku metoda ta zaczyna się od

,

i dzieli każdy z ułamków jednostkowych na 1/6 i 1/5 - 6, czyli

.

W tym miejscu mamy otwartych kilka dróg. Ignorując oczywiste uproszczenia, że i , rozdzielmy zamiast tego i odpowiednio na sumy , aby uzyskać rozkład:

.

Ogólnie metoda jest jak niżej. Zaczynając od ułamka m/n, piszemy najpierw

.

Teraz wykorzystujemy podział tożsamości, aby zastąpić m - 1 instancji ułamka jednostkowego 1/n przez

,

otrzymując stąd

.

Kontynuujemy w taki sam sposób. W kolejnym etapie, dzieląc tożsamość, jak w tym zastosowaniu

,

otrzymujemy w wyniku

.

Wprawdzie liczba ułamków jednostkowych (a więc prawdopodobieństwo powtórzeń) rośnie z każdym etapem, można wykazać, że ostatecznie ten proces kończy się.

Druga technika, którą chcemy rozpatrzeć, jest przypisywana włoskiemu matematykowi z XIII wieku Leonardowi z Pizy, lepiej znanemu pod swoim patronimikiem Fibonacci. W 1202 roku opublikował on algorytm wyrażania dowolnej liczby wymiernej pomiędzy 0 a 1 jako sumy różnych ułamków jednostkowych. Został on na nowo odkryty i głębiej przeanalizowany w 1880 r. przez J.J. Sylvestra. Idea jest następująca. Przypuśćmy, że dany jest ułamek a/b, gdzie 0 < a/b < 1. Najpierw znajdujemy liczbę całkowitą n1 spełniającą równanie

lub, co sprowadza się do tego samego, określamy n1 w taki sposób, że n1 - 1 < b/a ? n1. Z tych nierówności wynika, że n1a - a < b ? n1a, a więc n1a - b < a. Odejmijmy 1/n1 od a/b i wyraźmy różnicę jako ułamek, określając go jako a1/b1:

.

To pozwala nam zapisać a/b jako

.

Ważnym punktem jest, że a1 = n1a - b < a. Innymi słowy, licznik a1 tego nowego ułamka jest mniejszy niż licznik a oryginalnego ułamka.

Jeśli a1 = 1, to nie mamy nic więcej do zrobienia. W przeciwnym razie powtarzamy proces przy a1/b1 pełniących teraz rolę a/b, aby otrzymać

, gdzie a2 < a1.

W każdym kolejnym etapie licznik pozostającego ułamka maleje. Musimy w końcu dojść od ułamka ak/bk, w którym ak = 1. Dla ściśle malejącego ciągu 1 ? ak < ak - 1 < ... < a1 < a nie możemy kontynuować tego w nieskończoność. Tak więc pożądana reprezentacja a/b zostaje osiągnięta jako

,

suma ułamków jednostkowych.

Przeanalizujmy kilka przykładów ilustrujących metodę Fibonacciego.

Przykład. Przyjmijmy a/b = . Aby znaleźć n1, zauważmy, że 9 < < 10, a więc , a stąd n1 = 10. Odejmowanie daje nam

.

Możemy więc przedstawić , jako .

Przykład. Dla bardziej szczegółowej ilustracji wracamy ponownie do ułamka a/b = . Podzielnie 9 przez 13 daje nam 1 < < 2, co prowadzi do . Stąd n1 = 2. Oznacza to, że pierwszy ułamek jednostkowy w rozkładzie , to . Teraz

,

z czego wynika

.

Zgodnie z oczekiwaniem licznik pozostałego ułamka jest mniejszy niż licznik danego ułamka, czyli 5 < 9. Powtarzamy cały proces z ułamkiem . Ponieważ 5 < < 6, otrzymujemy oraz n2 = 6. Po przeprowadzeniu działań arytmetycznych mamy

,

a w konsekwencji

.

Składając wszystkie elementy, otrzymujemy rozwinięcie :

.

2.3. Cztery problemy z papirusu Rhinda

Metoda fałszywej linii prostej

Papirus Rhinda zawiera kilka problemów z "uzupełnieniami". Zwykle zaczynają się one od sumowania ułamków jednostkowych i szukania dalszych ułamków jednostkowych do dodania, aby otrzymać wartość 1. Przykładowo, w problemie 22 trzeba uzupełnić , tak aby otrzymać sumę 1. We współczesnej notacji skryba wykonuje obliczenia, wybierając najpierw wygodną liczbę N oraz ułamki jednostkowe 1/n1, ..., 1/nk, aby uzyskać spełnienie równania

.

Wynikałoby z tego, że rozszerzona suma jest równa 1. Przyjmując N równe 30, bo jest to wspólna wielokrotność danych mianowników, skryba zauważył, że

,

czyli brakuje 9 do pożądanych 30. Ale

.

Dodanie tych dwóch równań daje

,

a więc pożądane uzupełnienie to

.

W papirusie Rhinda wiele miejsca zajmują problemy praktyczne dotyczące równego podziału bochenków chleba między określoną liczbę ludzi lub określenie ilości ziarna potrzebnego do warzenia piwa. Problemy te były proste i nie wychodziły poza równanie liniowe z jedną niewiadomą. Na przykład problem 24 mówi: "Pewna wartość i jej dodane do siebie dają 19. Jaka to wartość?". Dziś przy zastosowaniu symbolizmu algebraicznego zapiszemy x oznaczające szukaną wielkość i rozwiązywane równanie przyjmie postać:

.

Ahmes uważał, że choć jego notacja nie obejmuje ułamka , "8 musi być pomnożone tyle samo razy, aby otrzymać 19, ile musi być pomnożone 7, aby dać poprawną liczbę". Skryba używał najstarszej i najbardziej uniwersalnej procedury traktowania równań liniowych, metody fałszywej linii prostej (regula falsi). W skrócie metoda ta wymaga założenia dowolnej dogodnej wartości dla pożądanej ilości, a przez wykonywanie działań nad problemem, wyznaczenia liczby, którą można następnie porównać z daną liczbą. Rzeczywista odpowiedź ma ten sam związek z zakładaną odpowiedzią, co dana liczba ma z liczbą tak obliczoną.

Przykładowo, przy rozwiązywaniu równania x + x/7 = 19 zakłada się fałszywie, że x = 7 (wybór jest wygodny, gdyż x = 7 jest łatwo obliczyć). Lewa strona równania przyjmie postać 7 + = 8, w miejsce wymaganej odpowiedzi 19. Ponieważ 8 trzeba pomnożyć przez , aby otrzymać pożądane 19, poprawna wartość x jest uzyskiwana przez pomnożenie fałszywego założenia, a konkretnie 7, przez . Wynik to

.

W istocie moglibyśmy wstawić dowolną wartość jako niewiadomą, powiedzmy x = a. Jeśli a + a/7 = b oraz bc = 19, to x = ac spełnia równanie x + x/7 = 19, gdyż jak można łatwo zobaczyć

.

Widzieliśmy, że Egipcjanie przewidywali, przynajmniej w postaci podstawowej, ulubioną metodę średniowiecza, regula falsi. Gdy metoda została poznana dzięki Arabom, odegrała ważną rolę w tekstach matematyki europejskiej, od Liber Abaci (1202) Fibonacciego do arytmetyki XVI wieku. W miarę rozwoju symbolizmu algebraicznego regula falsi zniknęła z bardziej zaawansowanych prac. Oto przykład z Liber Abaci: mężczyzna ma kupić 7 jajek za 1 denara i sprzedawać je po 5 za 1 denara, zyskując 19 denarów. Pytanie brzmi: Ile pieniędzy zainwestował? Algebraicznie ten problem wyraża poniższe równanie:

.

Procedura wynikająca z regula falsi składa się tu z założenia, że niewiadoma wynosi 5, następnie - 5 - 5 = 2. Ta wartość 2 w ekspresyjnym języku Fibonacciego "byłaby jak 19" (czyli jest powiązana z 19 jak 5 z szukaną liczba). Ponieważ 2() = 19, poprawna odpowiedź to

.

Zauważmy, że liczba postulowana przez Fibonacciego jako niewiadoma nie została wybrana arbitralnie - gdy współczynnik niewiadomej jest ułamkiem, liczba przyjmowana za zmienną jest mianownikiem ułamka.

Do tej pory rozpatrywaliśmy regula falsi, w której stawiano pojedynczą hipotezę, ale istnieje wariant, w którym trzeba dokonać dwóch prób i zanotować błąd wynikający z każdej z nich. Niewygodną zasadę podwójnej regula falsi, jak czasami jest określana, można wyjaśnić jak niżej. Aby rozwiązać równanie ax + b = 0, przyjmijmy, że g1 i g2 to dwie hipotezy dotyczące wartości x, i niech f1 i f2 będą odpowiednimi błędami, czyli mamy wartości ag1 + b oraz ag2 + b równe zeru, jeśli hipotezy były poprawne. Następnie

(1) ag1 + b = f1 oraz (2) ag2 + b = f2.

Przy odejmowaniu jest jasne, że

(3) a (g1 - g2) = f1 - f2.

Pomnożenie równania (1) przez g2 oraz równania (2) przez g1 daje w wyniku

ag1 g2 + bg2 = f1 g2 oraz ag2 g1 + bg1 = f2 g1.

Gdy te dwa ostatnie równania odejmiemy od siebie, otrzymamy

(4) b (g2 - g1) = f1 g2 - f2 g1.

Aby zakończyć argumentację, podzielmy równanie (4) przez równanie (3), co da

.

Ponieważ x = -b/a, wartość x można znaleźć jako:

.

Podsumowując, umieściliśmy dwie fałszywe wartości na x w wyrażeniu ax + b i na podstawie tych prób udało nam się otrzymać poprawne rozwiązanie równania ax + b = 0.

Aby sprawę ukonkretnić, przyjrzyjmy się na przykład równaniu

lub równoważnemu .

Stawiamy dwie hipotezy na temat wartości x, powiedzmy g1 = 7 i g2 = 14. Wtedy

i .

Wynika stąd, że prawdziwa wartość x wynosi

Wydaje się to skomplikowane, ale jest w tej prymitywnej regule pewien element prostoty i trudno się dziwić, że była ona używana nawet w końcu XIX wieku, W swoim Grounde of Artes Robert Recorde (1510-1558) napisał, że zaskakiwał przyjaciół, stawiając trudne pytania, a potem za pomocą regula falsi znajdując prawdziwy wynik na podstawie przypadkowych odpowiedzi "dzieci lub idiotów, którzy byli pod ręką".

Ciekawy problem

Wracając do papirusu Rhinda, możemy rozpatrzeć problem 28, czyli najwcześniejszy przykład problemu "pomyśl o liczbie". Przedstawmy problem i rozwiązanie Ahmesa we współczesnej terminologii, dodając kilka wyjaśniających szczegółów.

Przykład. Pomyśl jakąś liczbę i dodaj do niej tej liczby. Od tej sumy odejmij wyniku dodawania i podaj odpowiedź. Przypuśćmy, że odpowiedzią jest 10. Odejmijmy od tych 10, co daje 9. To jest właśnie pomyślana liczba.

Dowód. Jeśli oryginalną liczbą było 9, to jej daje 6, co po dodaniu daje 15. Następnie z 15 to 5, które po odjęciu daje 10. Tak to robimy.

W tym problemie skryba tak naprawdę ilustrował tożsamość algebraiczną

na prostym przykładzie, wykorzystując w tym przypadku liczbę n = 9. Ujawniając ten "nieznany sekret", dodał tradycyjną frazę końcową, "Tak to robimy".

Problem 79 jest niezwykle zwięzły i zawiera dziwny zbiór danych - przypominający sumę szeregu geometrycznego:

Ten katalog różnych rzeczy sugeruje pewne fantazyjne domysły. Według niektórych autorytetów słowa te oznaczają symboliczną terminologię nadaną pierwszym potęgom 7. Dla tych po prawej mamy sumowanie 7, 72, 73, 74 oraz 75. Po lewej suma tego samego szeregu jest podana jako 7 - 2801, z mnożeniem wykonywanym znaną metodą podwajania. Ponieważ 2801 = (75 - 1)/(7 - 1) wynik

jest dokładnie taki sam, jaki otrzymalibyśmy przez podstawienie we współczesnym wzorze na sumę n składników szeregu geometrycznego, Sn:

.

(Zauważmy, że w problemie, który jest przed nami, a = r = 7 oraz n = 5). Czy taki wzór, nawet w prostszych przypadkach, był znany Egipcjanom? Nie ma konkretnych dowodów, że tak było. Bardziej wiarygodną interpretacją intencji jest coś w tym rodzaju: "W każdym z siedmiu domów jest siedem kotów, a każdy kot zabija siedem myszy. Każda mysz zjadłaby siedem snopków pszenicy, a każdy snopek pszenicy może dostarczyć nam siedem hekatów miar ziarna. Ile ziarna zostanie uratowanie?" Lub też możemy wybrać pytanie "Domy, koty, myszy, snopki i hekaty zboża - ile ich tam było?"

Jakieś 3000 lat po Ahmesie, Fibonacci włączył taki sam szereg geometryczny siódemek z jednym dodatkowym wyrazem do swojej Liber Abaci:

Siedem starych kobiet szło drogą do Rzymu.

Każda kobieta miała siedem osłów.

Każdy osioł niósł siedem toreb.

Każda torba zawierała siedem bochenków chleba.

Do każdego bochenka było siedem noży.

Każdy nóż miał siedem futerałów.

Jaka jest suma?

Ta czynność związana z liczbą 7 przypomina starą angielską dziecięcą rymowankę, której jedną z wersji wypisano poniżej:

As I was going to Saint Ives,

I met a man with seven wives.

Each wife had seven sacks;

Every sack had seven cats;

Every cat had seven kits;

Kits, cats, sacks, and wives,

How many were going to Saint Ives?[2]

Sugeruje się tu także, że należy obliczyć całkowitą sumę szeregu geometrycznego, ale w słownictwie pierwszego i ostatniego wiersza znajduje się joker. Chociaż zaskakujące pytanie końcowe jest prawdopodobnie wkładem anglosaskim, można raczej zobaczyć, jak ten sam rodzaj problemu powtarza się na przestrzeni wieków.

Papirus Rhinda zamyka poniższa modlitwa, wyrażająca podstawowe obawy społeczności rolniczej: "Złap szkodnika i myszy, wypleń szkodliwe chwasty, módl się do Boga Ra o ciepło, wiatr i wysoką wodę".

Matematyka egipska jako matematyka stosowana

Patrząc na istniejące egipskie manuskrypty matematyczne jako całość, odnajdujemy w nich jedynie zbiór problemów praktycznych z rodzaju powiązanych z transakcjami biznesowymi i administracyjnymi. Nauka sztuki obliczeń wydaje się być podstawowym elementem tych problemów. Wszystko jest podawane w kategoriach konkretnych liczb i nigdzie nie można znaleźć śladu czegoś, co można by nazwać twierdzeniem lub ogólną procedurą. Jeśli jako kryterium matematyki naukowej określimy istnienie pojęcia dowodu, starożytni Egipcjanie ograniczali się do "matematyki stosowanej". Zapewne najlepszym wyjaśnieniem, dlaczego Egipcjanie nigdy nie wyszli poza dość prymitywny poziom, jest fakt, że mieli naturalny, ale niezbyt szczęśliwy pomysł, aby dopuszczać tylko ułamki o liczniku jeden. Wtedy nawet najprostsze obliczenia stawały się powolne i pracochłonne. Trudno powiedzieć, czy to symbolizm zapobiegł używaniu ułamków o innych licznikach, czy też wyłączne korzystanie z liczników jednostkowych do wyrażania ułamków spowodowało symbolizm. Postępowanie z ułamkami zawsze pozostawało specjalną sztuką matematyki egipskiej i można ją najlepiej określić jako siłę opóźniającą procedury obliczeniowe.

Fragment papirusu Rhinda

(Źródło: Wikimedia Commons)

Jak dowodzi papirus z Akhmin (nazwany tak od miasta w górnym biegu Nilu, gdzie go odnaleziono), okazuje się, że metody skryby Ahmesa były nadal w modzie wiele wieków później. Ten dokument, napisany po grecku gdzieś między rokiem 500 a 800 n.e., bardzo przypomina papirus Rhinda. Jego autor, podobnie jak antyczny poprzednik Ahmes, podaje tabele rozkładu ułamków na ułamki proste. Dlaczego matematycy egipscy pozostali tak niezmienni przez ponad 2000 lat? Zapewne Egipcjanie wkroczyli w swoje odkrycia poprzez święte księgi, a w latach późniejszych modyfikacja metody lub wyniku była uważana za herezje. Niezależnie od wyjaśnienia matematyczne osiągnięcia Ahmesa były takie jak jego przodków i potomków.

2.3. Zadania

1. Wykorzystaj egipską metodę podwajania do obliczenia następujących iloczynów:

(a) 18 - 25: (b) 26 - 33:

(c) 85 - 21: (d) 105 - 59:

2. Znajdź, w stylu egipskim, następujące ilorazy:

(a) 184 ÷ 8.

(b) 19 ÷ 8.

(c) 47 ÷ 9.

(d) 1060 ÷ 12:

(e) 61 ÷ 8:

3. Użyj metody egipskiej mnożenia do obliczenia poniższych iloczynów:

(a) .

(b) .

(c) .

4. (a) Pokaż, że iloczyn przez jest równy (problem 12 z papirusu Rhinda).

(b) Pokaż, że iloczyn przez jest równy (problem 15 z papirusu Rhinda).

5. W problemie 30 z papirusu Rhinda czytelnik proszony jest o znalezienie wielkości takiej, że część z niej da w wyniku 10. Należy wykonać to tak, jak to robili Egipcjanie, potwierdzając najpierw, że

,

a potem określając przez co trzeba pomnożyć , aby otrzymać .

6. (a) Pokaż, że

,

czyli 2/n można wyrazić jako sumę ułamków jednostkowych, jeśli n jest podzielne przez 5.

(b) Wykorzystaj część (a), aby otrzymać rozkład na ułamki jednostkowe liczb , oraz , jak to pokazano w papirusie Rhinda.

7. (a) Pokaż, że

,

czyli 2/n można wyrazić jako sumę ułamków jednostkowych, jeśli n jest podzielne przez 3.

(b) Wykorzystaj część (a), aby otrzymać rozkład na ułamki jednostkowe liczb oraz .

8. Pokaż, że

,

gdzie liczba k = (m + n)/2. Wykorzystaj to, aby otrzymać rozkład na ułamki jednostkowe liczb oraz , jak to pokazano w papirusie Rhinda.

9. Sprawdź czy

,

i wykorzystaj, aby otrzymać rozkład na ułamki jednostkowe liczby , jak to pokazano w papirusie Rhinda.

10. Przypuśćmy, że n jest podzielne przez 7. Znajdź wzór podobny do problemu 6 (a), który będzie reprezentował 2/n jako sumę ułamków jednostkowych.

11. Wykorzystując tabelę 2/n, zapisz oraz jako sumy niepowtarzających się ułamków jednostkowych.

12. Przedstaw oraz jako sumy różnych ułamków jednostkowych, wykorzystując (a) metodę podziału tożsamości, (b) metodę Fibonacciego.

13. Pokaż, że jeśli m + 1 jest podzielne przez n, to ułamek n/m można zawsze zapisać jako sumę dwóch funkcji jednostkowych. Pokaż to na konkretnym przykładzie.

14. Wykorzystując podzieloną tożsamość, rozwiń jako sumę różnych ułamków jednostkowych.

15. Znajdź reprezentację w postaci sumy ułamków jednostkowych obejmującą co najmniej sześć składników. Zrób to samo dla .

16. Wykorzystując metodę Fibonacciego, przedstaw oraz jako sumy różnych ułamków jednostkowych.

17. Metoda zapisywania 2/n, gdzie n jest liczbą nieparzystą, jako sumy ułamków jednostkowych ma następująca postać. Mając daną wartość całkowitą m, przyjmij, że 2/n = 2m/(nm). Jeśli spośród dzielników nm można wybrać zbiór, którego suma jest równa 2m, przyjmij te dzielniki jako liczniki ułamków, których mianowniki to mn. Wynikiem jest rozkład na ułamki jednostkowe 2/n. Dla możemy przyjąć m = 19, tak że . Wykorzystując dzielniki 1, 2, 3, 4, 6, 12, 19, ... liczby 228, można znaleźć cztery zbiory liczb całkowitych, których suma jest w każdym przypadku 24. Konkretnie:

.

Wykorzystując je, otrzymamy:

Stosując tę technikę, uzyskaj wyrażenia w ułamkach jednostkowych dla oraz . Przyjmij odpowiednio m = 4 i m = 12.

18. Rozważmy następujące odmiany problemu 17 na zapisanie 2/n jako sumy ułamków jednostkowych. Wybierz liczbę całkowitą N o zestawie dzielników, których suma wynosi 2N - n, powiedzmy

oraz

Następnie

,

gdzie 2/n można rozłożyć jako:

.

W przypadku możemy przyjąć n = 18, tak aby

18 = 2 - 9 = 6 - 3 = 9 - 2

oraz

2 - 18 = 19 + 2 + 6 + 9.

Wykorzystując te związki, otrzymujemy

Zastosuj tę technikę do otrzymania rozwinięcia w postaci ułamków jednostkowych oraz . (Wskazówka: Przyjmij N = 12 oraz N = 36).

19. Problemy 3-6 z papirusu Rhinda opisują cztery problemy praktyczne: podział 6, 7, 8 i 9 bochenków po równo na 10 ludzi. Rozwiąż każdy z tych problemów za pomocą regula falsi, wyrażając odpowiedzi w ułamkach jednostkowych.

20. Problemy 25, 26 i 27 z papirusu Rhinda są następujące:

Problem 25: Wielkość i jej dodane do siebie dały 16. Jaka to wielkość?

Problem 26: Wielkość i jej dodane do siebie dały 15. Jaka to wielkość?

Problem 27: Wielkość i jej dodane do siebie dały 21. Jaka to wielkość?

Rozwiąż każdy z tych problemów za pomocą regula falsi, wyrażając odpowiedzi w ułamkach jednostkowych.

21. Problem 31 z papirusu Rhinda mówi: wielkość, jej , jej i jej dodane do siebie dają 33. Jaka to wielkość? Wykorzystując współczesną notację, mamy do rozwiązania równanie

.

Pokaż, że odpowiedź skryby

jest poprawna. (Wskazówka: x = .)

22. Rozwiąż problem z papirusu Rhinda, który mówi: wielkość, jej i jej dodane do siebie dają 2. Jaka to wielkość? Wyraź odpowiedz na sposób egipski.

23. W problemie 70 z papirusu Rhinda zadano pytanie o znalezienie ilorazu, gdy 100 zostaje podzielone przez . Wykonaj to. [Wskazówka: W pewnym punkcie obliczeń weź z . Zauważ też, że ze związku 8() = 63 wynika ]

24. Problem 40 z papirusu Rhinda dotyczy szeregu arytmetycznego o pięciu składnikach. Mówi on: podziel 100 bochenków między 5 ludzi, tak aby suma trzech największych udziałów była 7 razy większa od sumy dwóch najmniejszych.

(a) Rozwiąż ten problem za pomocą współczesnych technik.

(b) Wykorzystując regula falsi, skryba założył wspólną różnicę jako , a najmniejszy udział jako 1 (czyli pięć udziałów to i 23). Na podstawie tych założeń uzyskaj poprawną odpowiedź.

2.4. Egipska geometria

Aproksymacja powierzchni okręgu

Ogólnie akceptowany opis podstaw geometrii pochodzi ze starożytnego Egiptu, gdzie coroczne wylewy Nilu wymagały, aby mierzyć wielkość własności ziemskich w celach podatkowych. W istocie nazwa "geometria" to złożenie dwóch greckich słów oznaczających "ziemię" i "pomiar", co wydaje się wskazywać, że przedmiot ten wyrósł z potrzeby pomiarów ziemskich. Grecki historyk Herodot, który odwiedził Nil w latach 46-455 p.n.e., opisał jak dokonywano pierwszych obserwacji geometrycznych.

Powiedziano też, że ten król [Senuseret] podzielił ziemię pomiędzy wszystkich Egipcjan tak, by każdemu dać czworobok o równej wielkości i by od każdego czerpał dochody, przez nałożenie podatku pobieranego corocznie. Jednak każdy, z którego części coś wyrwała rzeka, musiał udać się do niego i powiadomić o tym, co się stało. Wysyłał wtedy nadzorców, którzy musieli pomierzyć, o ile zmniejszył się obszar ziemi, aby właściciel mógł zapłacić za to, co pozostało, proporcjonalnie do całego nałożonego podatku. W ten sposób, jak mi się wydaje, powstała geometria.

Niezależnie od opinii przyjętej w kwestii pierwszych kroków w geometrii, wydaje się, że można bezpiecznie zakładać, iż w kraju, w którym uprawianie nawet najmniejszego fragmentu ziemi było przedmiotem troski, pomiary ziemi stawały się coraz ważniejsze. Trzeba tu przyznać, że Egipcjanie osiągnęli zadziwiające wyniki w matematyce.

Zadanie pomiarów było wykonywane przez specjalistów, których Grecy nazwali później rozciągającymi liny lub mocującymi liny, gdyż głównym narzędziem była lina z węzłami i znakami umieszczonymi w równych odstępach. We fragmencie napisanym około 420 roku p.n.e. grecki filozof Demokryt (460-370 p.n.e.) stwierdza, że w jego czasach egipscy mierniczy nadal mieli wysoką pozycję wśród największych geometrów, posiadając umiejętności niemal równe jego własnym. Dumnie się przechwalał: "Nikt nie może dorównać mi w budowie figur na płaszczyźnie, nawet Egipcjanie zwani rozciągaczami lin".

Co zajmowało egipskich geometrów jakieś 4000 lat temu? Matematyczne papirusy, które dotrwały do naszych czasów, zawierają, bez podawania jakiejkolwiek motywacji teoretycznej, wiele konkret-nych przykładów reguł, tak jakby recept na określanie obszarów i objętości najbardziej znanych figur na płaszczyźnie i w przestrzeni. Takie reguły obliczeniowe należy traktować jako wyniki ściśle empiryczne, powstające na przestrzeni lat doświadczeń metodą prób i błędów i obserwacji. Egipcjanie poszukiwali użytecznych faktów związanych z pomiarami, bez konieczności pokazywania ich za pomocą jakiegoś procesu rozumowania dedukcyjnego. Niektóre z ich wzorów były poprawne tylko w przybliżeniu, ale dawały wyniki wystarczające do akceptacji na potrzeby praktyczne w życiu codziennym.

W dużej inskrypcji dedykacyjnej pochodzącej z roku około 100 p.n.e. w świątyni Horusa w Edfu mamy odwołania do wielu czworobocznych pól, które były darami dla świątyni. Dla każdej z nich otrzymywano powierzchnię, wykorzystując iloczyn średnich dwóch par przeciwległych boków, czyli według wzoru:

,

gdzie a, b, c i d są długościami kolejnych boków. Wzór jest oczywiście niepoprawny. Daje dość dokładną odpowiedź, gdy powierzchnia jest w przybliżeniu prostokątna. Co ciekawe ten sam błędny wzór na powierzchnię czworoboku pojawił się 3000 lat wcześniej w starożytnej Babilonii.

W algorytmie Rhinda problemy geometryczne mają numery od 41 do 60 i przede wszystkim dotyczą ilości zboża przechowywanego w prostokątnych lub cylindrycznych spichlerzach. W geometrii dwuwymiarowej największym zapewne osiągnięciem Egipcjan była ich metoda znajdowania powierzchni okręgu, która pojawia się w problemie 50:

Przykład okrągłego pola o średnicy 9 khetów. Jaka jest jego powierzchnia? Odejmijmy średnicy, czyli 1, a resztę pomnóżmy przez 8. Pomnóżmy 8 razy 8, co daje 64. Dlatego zajmuje ono 64 setaty ziemi.

Proces znajdowania powierzchni okręgu opisany przez skrybę można prosto ująć tak: Odejmij od średnicy jej dziewiątą część i podnieś resztę do kwadratu. We współczesnym zapisie sprowadza się to do wzoru

,

gdzie d oznacza długość średnicy okręgu. Jeśli porównamy to z rzeczywistym wzorem na powierzchnię okręgu, czyli ?d 2/4, to

,

a więc otrzymujemy

dla egipskiej wartości stosunku obwodu okręgu do jego średnicy. Jest to dość bliskie przybliżenie , co wielu uczniów może uznać za wystarczająco dobre w praktyce.

W okresie starej Babilonii (około 1800-1600 p.n.e.) obwód okręgu znajdowano jako trzykrotność jego średnicy. Zrównując to z ?d, widzimy, że ich obliczenie jest równoważne użyciu 3 jako ?. Hebrajczycy wykorzystywali w Starym Testamencie tę samą wartość, na przykład w I Księdze Królewskiej 7:23, gdzie są opisane wymiary łaźni w świątyni Salomona. Wersety te były napisane ok. 650 roku p.n.e., a wiele z nich wzięto z zapisów w świątyni pochodzących z 900 roku p.n.e. Pisze się tam "Następnie sporządził odlew 'morza' o średnicy dziesięciu łokci, okrągłego, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci [...] na trzydzieści łokci otaczały 'morze' w krąg.".[3] Tabliczka klinowa odkryta w 1936 roku przez francuską ekspedycję w Susie (której interpretacja została opublikowana w 1950 roku) wydaje się wskazywać, że babiloński pisarz przyjął jako wartość ? [3;7,30] lub . Nie odbiega to jakością od przybliżenia znalezionego przez Egipcjan.

Nie mamy bezpośredniej wiedzy na temat tego, jak powstał wzór na pole koła A = (8d/9)2, ale możliwe, że problem 48 z papirusu Rhinda daje nam wskazówkę. W tym problemie zwykłe stwierdzenie, co proponuje do wykonania autor, zostało zastąpione przez rysunek, który choć narysowany dość zgrubnie, silnie sugeruje, że jest to kwadrat z czterema trójkątami na wierzchołkach, W środku rysunku znajduje się demotyczny znak oznaczający 9.

Wydaje się więc, że skryba utworzył ośmiokąt z kwadratu o bokach 9 jednostek przez podzielenie boków na trzy i odcięcie czterech równoramiennych trójkątów na jego rogach (przy czym każdy trójkąt ma pole powierzchni jednostek kwadratowych). Skryba mógł dojść do wniosku, że ośmiokąt był w przybliżeniu równy polu koła wpisanego w kwadrat, gdyż pewne części wpisanego okręgu leżą na zewnątrz ośmiokąta, a inne wewnątrz i wydają się one z grubsza równe.

Teraz pole powierzchni ośmiokąta jest równe polu powierzchni oryginalnego kwadratu pomniejszego o pole powierzchni czterech równobocznych trójkątów tworzących obcięte rogu. Czyli

.

Jest to niemal taka wartość, jaką otrzymano, przyjmując w wyrażeniu (8d/9)2 wartości d = 9. Tak więc możliwe wyjaśnienie wzoru na pole A = (8d/9)2 jest takie, że pojawiło się dzięki uznaniu ośmiokąta za pierwsze przybliżenie okręgu wpisanego w kwadrat.

Problem 52 z papirusu Rhinda dotyczy znalezienia pola trapezoidu (opisanego jako ścięty trójkąt) o bokach o widocznie jednakowym nachyleniu. Podano długość 6 i 4 boków równoległych i długość 20 dla ściany skośnej.

Obliczenia są przeprowadzone według wzoru

A = ?(b + b? )h.

Czy autor papirusu uważał, że pole trapezoidu było połową sumy długości boków równoległych razy nachylona wysokość, czy też jeden ukośny bok miał być prostopadły do boków równoległych? W tym ostatnim przypadku miałby rację. Nie jest wcale wykluczone, że ten diagram, który jest dość zgrubnym szkicem, jest źle narysowany i jeden z na pozór równych boków jest w rzeczywistości prostopadły do boków równoległych.

Objętość ostrosłupa ściętego

W papirusie moskiewskim jest tylko 25 problemów, ale jeden z nich dotyczy arcydzieła starożytnej geometrii. Problem 14 pokazuje, że około roku 1850 p.n.e. Egipcjanie znali poprawny wzór na objętość ostrosłupa ściętego o kwadratowej podstawie (czyli bryły ściętej). W naszej notacji ma to postać:

,

gdzie h jest wysokością, zaś a i b to długości boków kwadratu podstawy i kwadratu wierzchołkowego.

Rysunek powiązany z problemem 14 wygląda jak trapezoid równoramienny,

ale obliczenia wskazują, że chodzi o ostrosłup ścięty o podstawie kwadratu. Dokładny tekst opisujący ten problem podano tak:

Przykład obliczania ostrosłupa ściętego. Jeśli zostało powiedziane: dany jest ostrosłup ścięty o wysokości 6, podstawie 4 na dole i 2 na górze. Masz podnieść do kwadratu to 4, a wynik 16. Masz podwoić 4, a wynik 8. Masz podnieść do kwadratu to 2, a wynik 4. Masz dodać 16 i 8 i 4, a wynik 28. Masz wziąć z 6, a wynik 2. Masz podwoić 28, a wynik 56. Masz oto 56. A wynik jest poprawny.

Wprawdzie to rozwiązanie dotyczy konkretnego problemu, a nie ogólnej teorii, i tak zapiera dech. Niektórzy historycy matematyki chwalili to osiągnięcie jak największe z egipskich piramid.

Ogólnie przyjmuje się, że Egipcjanie znali wzór na objętość ostrosłupa o kwadratowej podstawie i zapewne był on poprawny:

.

Przez analogię do wzoru na powierzchnię trójkąta, Egipcjanie zapewne odgadli, że objętość ostrosłupa to stała razy ha2. Możemy nawet przypuszczać, że odgadli oni tę stałą jako . Ale wzór

nie za bardzo mógł być odgadnięty. Mógł zostać otrzymany tylko na podstawie pewnej analizy geometrycznej lub algebraicznie z V = (h/3)a2. Rekonstrukcja metody, dzięki której mogli wydedukować wzór na ostrosłup ścięty na podstawie materiałów, jakimi dysponowali, nie jest jednak łatwym zadaniem.

Spekulacje na temat Wielkiej Piramidy

Każda analiza matematyki Egipcjan powinna obejmować krótkie odwołanie do Wielkiej Piramidy z Gizy, wzniesionej około roku 2600 p.n.e. przez Chufu, którego Grecy zwali Cheopsem. Daje ona monumentalny dowód doceniania formy geometrycznej i dość dobrze rozwiniętej inżynierii konstrukcyjnej, nie mówiąc już o niezwykłej społecznej i rządowej organizacji. Według Herodota przy jej budowie pracowało 400 tys. robotników rocznie przez 30 lat - cztery oddzielne grupy po 100 tys., a każda grupa zatrudniona przez trzy miesiące. (Obliczenia wskazują, że nie więcej niż 36000 ludzi mogło pracować jednocześnie przy piramidzie bez przeszkadzania sobie wzajemnie w ruchach.)

Fragment ze skórzanego zwoju zawierającego proste zależności między ułamkami takimi jak

(Za zgodą British Museum)

Dziesięć lat trwała budowa drogi do kopalni wapienia odległej o kilka mil, a po tej drodze przeciągnięto 2,3 mln bloków kamiennych ważących po ton i mających około metra wielkości w każdym kierunku. Bloki te były dopasowywane tak idealnie, że w spoiny nie można wcisnąć ostrza noża.

Tym co na ludziach w kolejnych latach robiło największe wrażenie, nie była estetyczna jakość Wielkiej Piramidy, lecz jej rozmiary. Był to największy budynek starożytności i jeden z największych kiedykolwiek wzniesionych. Gdy była nienaruszona wznosiła się na 145 metrów (brakuje teraz górnych 9 metrów), a jej boki są nachylone pod kątem około 51o i 51? względem ziemi. Podstawa zajmuje 13 akrów - powierzchnię równą połączonym podstawom katedr we Florencji i Mediolanie, Św. Piotra w Rzymie i Św. Pawła w Londynie i Westminster Abbey w Londynie. Jeszcze bardziej zadziwiająca jest dokładność, z którą zostało to wszystko ułożone. Podstawa jest niemal idealnym kwadratem, a żaden z czterech boków nie różni się od średniej długości 226,74 m o więcej niż 11,5 cm. Dzięki wykorzystaniu jednego z ciał niebieskich budowniczy piramidy Cheopsa potrafili zorientować jej boki niemal dokładnie z czterema kardynalnymi punktami kompasu, z błędem stanowiącym jedynie ułamki 1o.

Wielka Piramida do dnia dzisiejszego rozpala umysły w najdzikszych spekulacjach. Ci mistycy piramid (lub jak są oni czasem niedelikatnie nazywani piramidioci) przypisują starożytnym budowniczym metafizyczne intencje i wiedzę ezoteryczną. Wśród niezwykłych rzeczy, jakie są podawane, jest to, że piramidy zostały zbudowane tak, że połowa średnicy podstawy podzielona przez wysokość powinna być równa dokładnie ?. Wprawdzie różnica między tymi dwiema wartościami

? = 3,1415926... oraz = 3,14123...

wynosi tylko 0,00036... ich bliskość jest wyłącznie przypadkowa i nie ma podstaw w żadnym matematycznym prawie.

Egipscy kapłani, według fikcji, która zakradła się do współczesnej literatury, powiedzieli Herodotowi, że wymiary Wielkiej Piramidy były wybrane tak, aby powierzchnia każdego boku była taka sama jak powierzchnia kwadratu o bokach równych wysokości piramidy. Oznaczając 2b jako długość krawędzi podstawy, a jako wysokość przedniego trójkąta oraz h jako wysokość piramidy, dochodzimy do wniosku, że relacja Herodota jest wyrażona równaniem

Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że ponieważ a jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o bokach b i h, więc h2 + b2 = a2, czyli h2 = a2 - b2. Wykorzystując oba wyrażenia na h2, otrzymujemy:

a2 - b2 = ab.

Gdy podzielimy obie strony przez a2, ostatnie równanie przyjmuje postać

lub po przekształceniu .

Teraz wartość dodatniego pierwiastka równania kwadratowego x 2 + x = 1 to x = . Wtedy otrzymujemy stosunek

,

odwrotność "złotego podziału", czyli wartość, która wiele razy okazała się znacząca w matematyce i jej zastosowaniach.

W jakim stopniu budowniczym piramid udało się osiągnąć złoty poddział (jeśli to istotnie było ich celem)? Sprawdzenie za pomocą rzeczywistych pomiarów Wielkiej Piramidy daje nam

co prowadzi do wartości

Teorię, że Egipcjanie celowo użyli złotego podziału jako podstawy teoretycznej przy budowie Wielkiej Piramidy po raz pierwszy, jak się wydaje, sformułował John Taylor, który w 1859 roku opublikował The Great Pyramid, Why Was It Built and Who Built It?. Taylor, matematyk-amator, spędził 30 lat, zbierając i porównując pomiary podawane przez kolejnych odwiedzających piramidę. Wprawdzie wykonał kilka modeli piramidy w skali, nigdy nie widział jej na własne oczy. Ponieważ jedyny fragment w Historii Herodota dotyczący rozmiarów mówi: "Jej podstawa to kwadrat, z każdej strony ma 800 stóp długości, a jej wysokość jest taka sama", uzasadnienie twierdzenia Taylora wymaga nieco wiary. Co więcej, wymiary zapisane przez Herodota same daleko odbiegają od rzeczywistości.

Inna teoria, która jest często przyjmowana jak Ewangelia, mówi, że całkowita powierzchnia piramidy może być wyrażona w sposób, który prowadzi do złotego podziału, czyli powierzchnia podstawy ma się tak do sumy powierzchni trójkątnych ścian jak ta suma do sumy powierzchni ścian i podstawy. Ponieważ suma powierzchni czterech trójkątnych ścian wynosi oraz powierzchnia podstawy to (2b)2, twierdzenie to sprowadza się do założenia, że

lub w równoważnej postaci

.

Użycie w miejsce a obliczonej wcześniej wartości pozwala na ustalenie, że

,

gdzie ilorazy b/a oraz a/a + b są prawie takie same. Można spekulować, czy jest to kwestia przypadku czy też projektu.

Istnieją jeszcze dziwniejsze teorie. Niektórzy utrzymywali, na przykład, że Egipcjanie wznieśli piramidy jako wały ochronne zapobiegające ruchom piasku z pustymi i osłaniające uprawiane obszary wzdłuż Nilu. Popularne w średniowieczu było przekonanie, że były to spichlerze, które pojmani Hebrajczycy byli zmuszeni zbudować w celu przechowywania kukurydzy podczas lat obfitości. Legenda ta została utrwalona na mozaikach wykonanych około roku 1250 n.e. w kościele Św. Marka w Wenecji. Część narracji obrazkowej historii Józefa pokazuje jego brata wysłanego do zebrania wozów ziarna z piramid. Spekulacje zaczęły przyjmować bardziej naukową postać w 1864 r., gdy jeden wysoko ceniony profesor astronomii (Charles Piazzi Smyth, królewski astronom ze Szkocji) stworzył dla własnej satysfakcji jednostkę miary dla Wielkiej Piramidy, którą nazwał calem piramidy, równą 1,001 zwykłego cala. Wykorzystując mistyczny "cal piramidy" do pomiaru wybrzuszeń i pęknięć wzdłuż ścian wewnętrznych przejść i komnat, doszedł do wniosku, że Wielka Piramida została zaprojektowana przez Boga jako instrument proroctw, tak zwana Biblia w kamieniu. (Brytyjski egiptolog Flinders Petrie napisał, że raz nakrył jednego z czcicieli piramidy, gdy ten ukradkiem szlifował wypukłość kamienną, aby pomiary zgadzały się z jego teorią). Gdyby wiadomo było, jak odczytać ich przesłanie, w piramidach można by znaleźć różnego rodzaju informacje o historii i przyszłości ludzkości: potop, narodziny Chrystusa, początek i koniec I wojny światowej i tak dalej. Gdy Smyth określił datę I wojny światowej na rok 1913, jego wyznawcy triumfalnie wskazali, że pomylił się "tylko o jeden rok". Smyth i jego wyznawcy snuli dziwne, ekstrawaganckie teorie o "tajemnicach" zamkniętych w wymiarach Wielkiej Piramidy. Pomimo ich niewielkiej pomyłki w dacie I wojny światowej te entuzjastyczne spekulacje muszą zostać odrzucone jako zabawa i nonsens.

Chociaż możemy być pewni, że budowniczowie piramid mieli już niezłą wiedzę na temat geometrii, niezwykle mało matematyki z tamtego okresu dotrwało do naszych czasów. Nasze dwa podstawowe papirusy matematyczne, wprawdzie z różnych lat, można uznać za reprezentację stanu przedmiotu w czasach 2000-1750 p.n.e. Po sprawdzeniu wszystkiego jesteśmy zmuszeni do wyciągnięcia wniosku, że geometria egipska nigdy nie wyszła poza stan intuicyjny, w którym podstawowym zadaniem były pomiary namacalnych obiektów. W geometrii tego okresu nie było struktury dedukcyjnej - nie było wyników teoretycznych, ani ogólnych reguł postępowania. Otrzymywano jedynie obliczenia, a te były czasami przybliżone, problemów, które miały praktyczne znaczenie w konstrukcji i miernictwie.

2.4. Zadania

1. Rozwiąż następujące problemy geometryczne z papirusu Rhinda,

(a) Problem 41. Cylindryczny spichlerz o średnicy 9 łokci i wysokości 10 łokci, Jaka ilość zboża do niego się zmieści? [Wskazówka: Aby otrzymać odpowiedź skryby, użyj egipskiej wartości na ?, a konkretnie ].

(b) Problem 51. Przykład trójkątnego pola. Przypuśćmy, że powiedziano wam, jakie jest pole trójkąta o boku 10 khetów i podstawie 4 khetów? [Wskazówka: Rysunek na papirusie przy tym problemie jest pokazany jako trójkąt prostokątny.]

(c) Problem 58. Jeśli piramida o podstawie kwadratu ma kubitów wysokości, a bok jej podstawy ma 140 kubitów, jakie jest jej nachylenie. [Wskazówka: Mając trójkąt równoramienny o podstawie s i wysokości h, wiemy, że nachylenie jest równe s/2h, co w trygonometrii odpowiada cotangensowi. W tym problemie nachylenie jest powiązane z kątem boków drugiej piramidy z Gizy.]

2. (a) Babilończycy ogólnie określali powierzchnię okręgu, przyjmując, że jest równa kwadratu obwodu okręgu. Pokaż, że jest to równoważne przyjęciu ? = 3.

(b) Babilońska tabliczka wydobyta w 1936 roku stwierdza, że gdy potrzebne jest bardziej dokładne określenie powierzchni, wartość musi zostać pomnożona przez 0;57,36, czyli . Jaką przy tej poprawce otrzymujemy wartość ??

3. Archimedes (około 287-212 p.n.e.) stwierdza w swojej książce O wymierzaniu koła: Pole koła tak ma się do kwadratu jego średnicy jak 11 do 14. Pokaż, że ta reguła geometryczna prowadzi do jako wartości ?.

4. Arjabhata, hinduski matematyk z VI wieku, miał następującą procedurę znajdowania powierzchni okręgu: Połowa obwodu pomnożona przez połowę średnicy to powierzchnia okręgu. Jak dokładna jest ta reguła?

5. Babilończycy znali także wzór na objętość ściętej piramidy o podstawie kwadratowej, a konkretnie

,

gdzie h to wysokość, zaś a i b to długości boków kwadratu w podstawach górnej i dolnej. Pokaż, że redukuje to wzór do postaci z papirusu moskiewskiego.

6. Została odkryta babilońska tabliczka, na której objętość ściętego stożka jest określona za pomocą (błędnego) wzoru:

,

gdzie h jest wysokością, a r oraz R to promienie podstaw. Przyjmij h = 6, r = 4 oraz R = 2 i porównaj wynik babiloński z wynikiem z poprawnego wzoru

.

7. Heron z Aleksandrii (ok. 75 rok n.e.) znalazł objętość stożka ściętego dzięki obliczeniom równoważnym do wzoru

,

gdzie h jest wysokością, a r oraz R to promienie podstaw. Jeśli jako ? przyjąć , jaką odpowiedź otrzymałby Heron dla h = 6, r = 4 oraz R = 2?

8. Tekst problemu 10 z papirusu moskiewskiego w niektórych miejscach jest nieczytelny, ale obliczenia są wykonane przy zastosowaniu ekwiwalentu wzoru

,

który wydaje się być zaprojektowany tak, aby wyznaczyć pole powierzchni hemisferycznego koszyka o średnicy . Pokaż, że jeśli zostanie przyjęte jako ?, daje to poprawny wzór na powierzchnię hemisfery, a konkretnie ? d 2/2.

9. (a) Rozpoczynając od wzoru na powierzchnię trójkąta na podstawie dwóch boków i kąta miedzy nimi, wykorzystaj pokazany rysunek do wyprowadzenia wzoru

na pole powierzchni czworokąta.

(b) Pokaż, że jeśli A reprezentuje powierzchnię czworokąta z części (a), to

przy czym równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy czworobok jest prostokątem. Zatem, starożytny wzór na pole powierzchni czworokąta przeszacowuje pola wszystkich czworościanów, które nie są prostokątne, tak że poborcy podatkowi mogli nadal używać tego wygodnego wzoru długo potem, jak zaczęli podejrzewać, że nigdy nie spowoduje niedoszacowania czworokątnych pól.

10. (a) Udowodnij, że wśród trójkątów mających dwa dane boki o długości a i b największe możliwe pole powierzchni ma ten, w którym te boki tworzą kąt prosty.

(b) Inny wzór na pole powierzchni dowolnego czworoboku ma postać

A2 = (S - a) (S - b) (S - c) (S - d ) - T

gdzie jest połową średnicy, a

T = abcd cos2(A + C )/2,

gdzie A i C to para kątów przy przeciwległych wierzchołkach czworoboku. Pokaż, że maksymalne możliwe pole powierzchni odpowiadające danym wartościom a, b, c i d występuje, gdy kąty A i C (a więc także B i D) są uzupełniające.

11. Podczas pomiarów Wielkiej Piramidy Charles Piazzi Smyth (nazwany po swoim ojcu chrzestnym, Charlesie Piazzim, odkrywcy pierwszej znanej asteroidy, Ceres) znalazł niszę w komnacie królowej, która miała długość 185 cali piramidowych. Użyj tego wymiaru, aby zweryfikować dokładność następujących założeń Smytha zawartych w jego książce Nasze dziedzictwo Wielkiej Piramidy:

(a) Długość wielkiej niszy pomnożoną przez 10? jest równa wysokości Wielkiej Piramidy.

(b) Pierwiastek kwadratowy z 10-krotnej wysokości północnej ściany komnaty królowej (182,4 cale piramidowe) podzielony przez długość wielkiej niszy jest równy ?, czyli

.