Rozdział 4. Gdy wiedziemy życie bez żadnych ograniczeń

W życiu nie zawsze możemy robić to, na co w danej chwili mamy ochotę. Jesteśmy ograniczani przez różnego rodzaju nakazy i zakazy: ograniczenia dopuszczalnej prędkości, limity kaloryczne, dolne czy górne granice wieku... W tym rozdziale nie obowiązują nas jednak żadne limity czy ograniczenia. Przyjrzymy się wyborom konsumentów, które nie są niczym ograniczane. Taka sytuacja nie ma wiele wspólnego z rzeczywistością, ale pozwala ekonomistom lepiej zbadać zachowanie konsumentów, którzy nie muszą iść na trudne kompromisy, związane np. z brakiem czasu czy pieniędzy (ale nie martw się, w rozdziale 5. wprowadzimy ograniczenia).

W rozdziale 2. omówiliśmy model wyborów konsumenta, którzy ekonomiści wykorzystują do badania ludzkich preferencji. Wprowadziliśmy tam najważniejsze narzędzia, które taką analizę umożliwiają, na przykład krzywe obojętności czy samą koncepcję użyteczności (która określa wartość, jaką reprezentatywny konsument uzyskuje w związku z konsumpcją określonych dóbr). W tym rozdziale spojrzymy na koncepcję użyteczności z trochę innej perspektywy. W większym stopniu posłużymy się matematyką, która umożliwi nam opisanie użyteczności konsumenta za pomocą tzw. funkcji użyteczności. Jest to narzędzie bardzo często stosowane przez ekonomistów, ponieważ ułatwia zrozumienie tego, co kształtuje popyt i podaż na danym rynku. Samo w sobie jest więc narzędziem o dużej... użyteczności.

Stworzymy matematyczny obraz tego, w jaki sposób użyteczność motywuje określone wybory typowego konsumenta. Zaczniemy od analizy tego, jak ludzie dokonują wyborów, kiedy nie są one w żaden sposób ograniczane (w rozdziale 5. opowiemy więcej o różnego rodzaju ograniczeniach, zaś w rozdziale 6. będziesz miał okazję się przekonać, jak zmieni się obraz naszego konsumenta, kiedy te ograniczenia włączymy do modelu). Opowiemy również o tym, jak oszacować użyteczność, jaką zapewnia sobie konsument, dokonując tych czy innych wyborów. Do tego celu wykorzystamy koncepcję użyteczności krańcowej, która oznacza dodatkową użyteczność związaną z konsumpcją dodatkowej jednostki jakiegoś dobra. Aby analiza była stosunkowo prosta, założymy przy tym, że wybory konsumenta nie są niczym ograniczone.

Jemy, aż rozbolą nas brzuchy: zakładamy, że więcej oznacza zawsze lepiej

Ogólnie rzecz biorąc, ekonomiści zakładają, że ludzie zawsze będą woleli więcej niż mniej - jeśli tylko da się im wolność wyboru. Biorąc na zdrowy rozum, to założenie może mieć sens. Przynajmniej do pewnego poziomu. To znaczy do momentu, gdy osiągniemy już pewien poziom konsumpcji i nasz apetyt zostanie zaspokojony.

Jeżeli kiedykolwiek próbowałeś zjeść dziesiąty batonik i nie byłeś w stanie się przemóc, znajdowałeś się dokładnie w tej sytuacji, o której mowa. Ekonomiści mówią o malejącej użyteczności krańcowej, mając na myśli to, że kiedy konsumujemy coraz większą ilość danego dobra, użyteczność związana z konsumpcją każdej kolejnej jego jednostki jest coraz mniejsza. Prędzej czy później spadnie wręcz do zera. Wtedy nie będziesz już czerpał żadnego zadowolenia z dalszej konsumpcji danego dobra. A nie jest wykluczone, że przyrost użyteczności stanie się ujemny i dalsza konsumpcja zacznie przynosić dyskomfort. (Tak, to możliwe! Choć większość z nas lubi czekoladę, po zjedzeniu kilku batoników możemy poczuć mdłości i nie będziemy w stanie więcej na nią spojrzeć).

Ale nie zmienia to faktu, że dopóki nie osiągniemy tego szczególnego stanu "nasycenia", aktualne pozostaje założenie, że wolimy dostać więcej niż mniej. Tej kwestii przyjrzymy się z bliska w podrozdziale "Decydujemy, jak daleko się posuniemy: użyteczność krańcowa". Teraz przyjmiemy po prostu założenie, że więcej znaczy lepiej, i wprowadzimy kilka pojęć, którymi posługują się ekonomiści. Punktem wyjścia będzie dla nas koncepcja koszyka konsumpcyjnego. Czym jest koszyk konsumpcyjny, wiesz już z grubsza po przeczytaniu rozdziału 2. Jednak za chwilę przyjrzymy mu się nieco dokładniej.

Kiedy zrozumiesz w pełni, czym jest dla ekonomistów użyteczność, będziesz mógł zacząć układać w jedną całość poszczególne elementy układanki, którą nazywamy modelowaniem. W tym rozdziale zaprezentujemy pewne pojęcia, za pomocą których ekonomiści wyrażają preferencje konsumentów i które pozwalają im upewnić się, że modele są wewnętrznie spójne.

Dokonujemy wyboru: koszyk konsumpcyjny

Koszyk konsumpcyjny to zestaw dóbr (usług), które konsument może zdecydować się zakupić. Wyobraź sobie, że na świecie istnieją tylko dwa dobra: herbata i kawa. W takiej sytuacji koszyk dowolnego konsumenta będzie się składał wyłącznie z jakiejś kombinacji tych dwóch rodzajów napojów, zatem koszyk konsumenta możemy zapisać symbolicznie jako:

(herbata, kawa)

Koszyk, który zawiera jedną filiżankę herbaty i jedną filiżankę kawy, moglibyśmy symbolicznie zapisać następująco:

(1 herbata, 1 kawa)

A teraz wyobraź sobie, że oprócz herbaty i kawy możemy włożyć do naszego koszyka cokolwiek. Każdy taki produkt (a także usługę) oznaczymy symbolicznie przez xi, gdzie i oznacza numer kolejnego artykułu w koszyku. Ogólnie więc możemy zapisać nasz koszyk tak:

(x1, x2, x3, ..., xn)

Litera n oznacza liczbę artykułów w koszyku - liczbę wszystkich dóbr, które potencjalnie moglibyśmy skonsumować.

Choć koszyk złożony z pewnej liczby (n) dóbr wydaje się realistyczny (w tym sensie, że w którymś momencie każdy artykuł zacznie konkurować z innym o dostęp do Twojego portfela, przez co n nie będzie przyrastało w nieskończoność), nie jest szczególnie wygodny w analizie. Aby ułatwić sobie pracę, ekonomiści zwykle posługują się koszykiem złożonym z zaledwie dwóch artykułów. Jeden reprezentuje dobro, które w danej chwili interesuje nas najbardziej, a drugi - wszystkie pozostałe dobra (możemy po prostu uznać, że dobro numer dwa to pieniądze). Dalej będziemy stosować to uproszczone podejście. Jeżeli jednak wolałbyś uogólnić analizę na dowolną liczbę dóbr, próbuj śmiało!

A zatem dysponujemy poniższym koszykiem konsumpcyjnym, w skład którego wchodzą dwa dobra:

(x1, x2)

Niech na wykresach dobro x1 będzie odkładane na osi poziomej, zaś dobro x2 na osi pionowej.

Zakładamy też, że koszyki konsumpcyjne podlegają regułom preferencji (które omówiliśmy w rozdziale 2.). Oznacza to, że jeśli mamy trzy koszyki: A, B oraz C, i jeżeli preferujemy koszyk A względem B oraz B względem C, musimy jednocześnie preferować koszyk A względem C.

Jeżeli przyjmiemy, że gusta i preferencje konsumenta spełniają warunki regularności określone w rozdziale 2. (kompletność, zwrotność i przechodniość), każdy koszyk konsumpcyjny można będzie przypisać do jakiejś krzywej obojętności. A jak pewnie pamiętasz, każda krzywa obojętności łączy ze sobą koszyki, które zapewniają konsumentowi ten sam poziom użyteczności. Jeżeli więc weźmiemy dwa koszyki leżące na tej samej krzywej (nazwijmy je P oraz Q), konsumentowi będzie całkowicie obojętne to, na który z nich się zdecyduje. Oznaczamy to następująco:

P ~ Q

Inne spojrzenie na użyteczność: koszyki dopuszczalne

Na problem koszyków konsumpcyjnych oraz preferencji konsumenta możemy spojrzeć także przez pryzmat zbioru decyzji dopuszczalnych, tzn. wszystkich możliwych wyborów, jakich może dokonać konsument. Jeżeli wykreślimy zbiór decyzji dopuszczalnych na rysunku, dość łatwo przekonamy się, jakie warianty będzie preferował nasz konsument. Rysunek 4.1 przedstawia przykładową krzywą obojętności dla wszystkich koszyków konsumpcyjnych, które dostarczają Robertowi ten sam poziom użyteczności. Dwa z takich koszyków oznaczyliśmy literami A i B. Obszar zacieniowany oznacza zbiór wszystkich tych koszyków konsumpcyjnych, które mogłyby dostarczyć Robertowi wyższą użyteczność niż koszyk A czy B. Załóżmy więc, że proponujemy Robertowi skorzystanie z koszyka C, który położony jest właśnie w tym obszarze. Za pomocą znanych Ci już symboli możemy to wyrazić w formie skróconej:

C B, C  A

Rysunek 4.1. Koszyki konsumpcyjne preferowane przez Roberta: koszyk C zapewnia wyższą użyteczność niż koszyk A czy B, dlatego jest to koszyk preferowany

Ten symboliczny zapis potwierdza, że koszyk C jest ściśle preferowany względem koszyka B czy A. Na rysunku 4.1 koszyk C należy do znajdującego się na prawo od krzywej obojętności zacieniowanego obszaru, który zawiera wszystkie koszyki ściśle preferowane względem A i B. Ponieważ mówimy wprost o ścisłej preferencji (zajrzyj do rozdziału 2.), sama krzywa obojętności do tego obszaru nie należy. Gdyby tak było, Robert uzyskiwałby z konsumpcji koszyka C co najmniej tę samą użyteczność co z B czy A, podczas gdy założyliśmy, że uzyskuje użyteczność wyższą.

Wykreślamy funkcję użyteczności

Jak wspomnieliśmy w rozdziale 2., każdy konsument posiada wiele krzywych obojętności, a każda z nich reprezentuje inny poziom użyteczności konsumenta (który jest stały dla danej krzywej). Załóżmy więc teraz, że naszym celem jest porównanie koszyków znajdujących się na różnych krzywych obojętności. Jak tego dokonać? To proste! Wykreślimy zbiór takich krzywych, startując od początku układu współrzędnych (punkt 0). Każda będzie grupowała koszyki dóbr zapewniające identyczny poziom użyteczności, przy czym im dalej na prawo, tym ten poziom będzie wyższy! Spójrz na rysunek 4.2.

Rysunek 4.2. Krzywe obojętności leżące bardziej na prawo dostarczają Robertowi wyższej użyteczności

To graficzne przedstawienie koncepcji preferencji ma bardzo przyjemną cechę: jeżeli poprowadzisz linię przechodzącą przez dokładnie jeden punkt każdej krzywej obojętności i jeżeli krzywe te reprezentują dobrze się zachowujące preferencje, uzyskasz w efekcie graficzny obraz funkcji użyteczności. Dokładnie tak, jak na rysunku 4.3, na którym nowa linia startuje z początku układu współrzędnych i przecina każdą krzywą obojętności.

Rysunek 4.3. Użyteczność odczuwana przez Roberta rośnie, gdy przechodzi on na wyżej położoną krzywą obojętności

No dobrze, ale przecież każdy z tych punktów reprezentuje inną kombinację dóbr znajdujących się w koszyku. I co wtedy? Cóż, przypomnij sobie, że jeżeli koszyki złożone na przykład z trzech filiżanek herbaty i czterech filiżanek kawy oraz pięciu filiżanek herbaty i dwóch kawy znajdują się na jednej krzywej (np. krzywej I1), wówczas Robert będzie wobec nich obojętny - nie będzie mu robiło różnicy, który z nich wybierze. Z drugiej strony, jeżeli koszyk złożony z sześciu filiżanek herbaty i dwóch filiżanek kawy znajduje się na krzywej I2, będzie on koszykiem ściśle przez Roberta preferowanym. Czy to Ci coś mówi?

Odpowiedź ma fundamentalne znaczenie dla funkcji użyteczności. Otóż kiedy preferencje konsumenta należą do klasy dobrze się zachowujących, to niemal każdy koszyk z krzywej obojętności może być częścią funkcji użyteczności! (A to oznacza, że istnieje niemal nieskończona liczba dopuszczalnych, spójnych funkcji użyteczności, które można by wykreślić dla danego zestawu krzywych obojętności. Dopóki konsument w ten czy inny sposób nie ujawniłby, którą funkcją właśnie się posługuje, nie byłoby łatwo tego odgadnąć!)

Absolutnie podstawowy wniosek, który musisz zapamiętać, brzmi: dobrze się zachowujące preferencje pozwalają wykreślić dobrze się zachowujące funkcje użyteczności.

Decydujemy, jak daleko się posuniemy: użyteczność krańcowa

Musisz zdawać sobie sprawę z różnicy między użytecznością całkowitą a użytecznością krańcową. Całkowita użyteczność (łączna użyteczność związana z konsumpcją określonych dóbr) to interesująca koncepcja, ale ekonomiści są bardziej zainteresowani tym, jak zmienia się użyteczność konsumenta w reakcji na (niewielkie) zmiany poziomu konsumpcji. Na to właśnie pytanie odpowiada miara zwana użytecznością krańcową. Mówi ona o tym, o ile wzrośnie użyteczność konsumenta związana z konsumpcją dodatkowej jednostki danego dobra.

Ostatni będą pierwszymi, czyli o przyroście krańcowym

Analiza krańcowa to jedna z najważniejszych technik dostępnych mikroekonomistom. Stosowana jest do analizy niemal wszystkich decyzji podejmowanych przez producentów i konsumentów. Na przykład w rozdziale 7. za jej pomocą pokazujemy, że firmy optymalizują wielkość produkcji na takim poziomie, przy którym następuje zrównanie krańcowego przychodu z krańcowym kosztem. Podobnie jest w przypadku decyzji podejmowanych przez konsumentów: użyteczność krańcowa to klucz do zrozumienia dokonywanych przez nich wyborów. Czym więc ona tak naprawdę jest? Cieszymy się, że zadałeś to pytanie!

Przyrost krańcowy to ostatnia, dodatkowa jednostka pewnej wielkości, np. kosztu, przychodu, zysku czy użyteczności.

Wyobraź sobie, że Jola, znana ze swojego zamiłowania do czekolady, rozważa w myślach sześć różnych koszyków, z których każdy kolejny zawiera o jeden batonik więcej niż poprzedni. W tabeli 4.1 zdefiniowaliśmy przykładową użyteczność (całkowitą) związaną z konsumpcją każdego z tych sześciu koszyków. Podobnie jak w rozdziale 2. opisaliśmy ją za pomocą umownych jednostek, a w oddzielnej kolumnie umieściliśmy szacunki tego, o ile wzrośnie (lub zmniejszy się!) dla Joli użyteczność związana z konsumpcją kolejnego batona. Jest to właśnie użyteczność krańcowa, tzn. krańcowy przyrost użyteczności związany z konsumpcją wyłącznie jednego dodatkowego batona; nie interesuje nas użyteczność, której źródłem były pozostałe batony, a jedynie jej przyrost związany z konsumpcją przez Jolę tego jednego batona.

Tabela 4.1. Użyteczność całkowita i użyteczność krańcowa z konsumpcji batoników przez Jolę

Liczba batoników (numer koszyka)

Użyteczność całkowita

Użyteczność krańcowa

1

5

5

2

11

6

3

16

5

4

19

3

5

19

0

6

17

-2

W tabeli 4.1 wykorzystaliśmy koncepcję użyteczności kardynalnej (wróć do rozdziału 2., jeśli potrzebujesz przypomnieć sobie to pojęcie), dzięki czemu możesz łatwo zorientować się, co jest grane - wystarczy spojrzeć na liczby. Załóżmy, że konsumpcja pierwszego batona zapewnia Joli użyteczność na poziomie 5 jednostek. Drugi baton zwiększa zadowolenie Joli w jeszcze większym stopniu, dostarczając jej aż 6 jednostek użyteczności. Jednak już przy trzecim Jola zaczyna widzieć oczami wyobraźni, jak jej brzuch rośnie od nadmiaru słodyczy. Dlatego trzeci i czwarty baton dają jej mniejsze zadowolenie, a piąty nie przynosi go już wcale. Myśląc o szóstym, Jola zaczyna mieć mdłości, przez co ten właśnie baton przynosi użyteczność ujemną - zadowolenie z konsumpcji nie rekompensuje cierpienia związanego z mdłościami.

Na rysunku 4.4 przedstawiliśmy ten sam zestaw informacji w formie graficznej. Jak widzisz, użyteczność rośnie do pewnego momentu, w którym następuje - jak mawiają ekonomiści - nasycenie. Po jego przekroczeniu poziom użyteczności całkowitej konsumenta zaczyna się zmniejszać. Szczytowy poziom użyteczności przypada gdzieś między czwartym a piątym batonem. Jeżeli przyjmiemy, że Jola jest konsumentem racjonalnym (a przy tym nie dotyczą jej żadne inne ograniczenia), w tym właśnie momencie powinna zakończyć konsumpcję.

Rysunek 4.4. Funkcja użyteczności całkowitej i funkcja użyteczności krańcowej Joli

Nie pomyl użyteczności krańcowej z krańcową stopą substytucji (MRS), o której pisaliśmy w rozdziale 2. (i która jest równa współczynnikowi nachylenia krzywej obojętności w danym punkcie). Użyteczność krańcowa to przyrost (także ujemny!) użyteczności wynikający z konsumpcji dodatkowej jednostki jakiegoś dobra. Krańcowa stopa substytucji mówi zaś o tym, jak wiele jednego dobra będziesz musiał poświęcić, by zwiększyć konsumpcję innego dobra i zachować ten sam poziom użyteczności.

Trochę matematyki

W rozdziale 2. wspomnieliśmy, że użyteczność konsumenta jest trudno mierzalna i raczej odczytujemy ją z samego jego zachowania (niejako po fakcie). Gdybyśmy jednak wiedzieli, w jakiej proporcji dany konsument wymienia jedno dobro na inne (pozostając na tej samej krzywej obojętności), moglibyśmy dowiedzieć się czegoś więcej o przyroście całkowitej użyteczności tego konsumenta, wynikającym z konsumpcji dodatkowej jednostki danego dobra.

Przyrost użyteczności związany z konsumpcją dodatkowej jednostki jakiegoś dobra możemy wyrazić za pomocą formuł matematycznych. Zacznijmy od symbolicznego zapisania funkcji użyteczności (U) związanej z konsumpcją koszyka złożonego z dwóch dóbr: x1 oraz x2:

U(x1, x2)

Jeżeli teraz przypiszemy tak zdefiniowanej użyteczności określony poziom, np. U(x1, x2) = K, gdzie K oznacza pewną stałą, uzyskamy kompletny opis krzywej obojętności konsumenta. Innymi słowy, opiszemy wszystkie koszyki konsumpcyjne (x1, x2), które zapewniają konsumentowi ten sam poziom użyteczności, równy K. Mówiąc jeszcze inaczej, podobnie jak wcześniej wyznaczyliśmy funkcję użyteczności na podstawie krzywych obojętności konsumenta, tak teraz odwróciliśmy kolejność - zdefiniowaliśmy krzywą obojętności, wychodząc od funkcji użyteczności U.

A teraz rozważmy przyrost użyteczności U wywołany zmianą konsumpcji dobra x1. I tylko tego dobra! Zdefiniujmy miarę MU1, wyrażającą zmianę użyteczności całkowitej w następstwie zwiększenia konsumpcji x1 o jednostkę. Posiłkując się analizą matematyczną, możemy zapisać:

No dobrze, a teraz możemy rozwinąć licznik powyższego ułamka, korzystając z faktu, że znamy postać funkcji U, zarówno w wersji przed zmianą wielkości konsumpcji dobra x1, jak i po tej zmianie:

?U = U(x1 + ?x1,x2) - U(x1, x2)

I tyle właśnie równa będzie krańcowa użyteczność MU1, przy założeniu, że przyrost ?x1 = 1!

A teraz coś, co powinno wydać Ci się szczególnie interesujące. Kilka akapitów wyżej ostrzegaliśmy Cię, abyś nie mylił krańcowej stopy substytucji (MRS) z użytecznością krańcową (MU). Prawda jest jednak taka, że obie te wielkości są ze sobą w szczególny sposób powiązane. Przypomnij sobie raz jeszcze, że krańcowa stopa substytucji w danym punkcie jest równa współczynnikowi nachylenia krzywej obojętności w tym punkcie oraz że wszystkie punkty leżące na danej krzywej zapewniają konsumentowi ten sam poziom użyteczności. Wyobraź sobie teraz, że zmieniamy wielkość konsumpcji obu dóbr, zachowując użyteczność na niezmienionym poziomie. Innymi słowy, stary i nowy koszyk należą do tej samej krzywej obojętności. Oznacza to, że jeżeli zmiana wielkości konsumpcji jednego z dóbr, np. x1, spowodowała wzrost użyteczności całkowitej, musiał on zostać skompensowany przez równoważny spadek użyteczności związany ze zmianą wielkości konsumpcji drugiego dobra, x2. W ostatecznym rozrachunku całkowity przyrost użyteczności musiał być równy 0, co możemy zapisać również tak:

MU1?x1 + MU2?x2 = ?U = 0

Cóż, napięcie powoli rośnie! Jak być może pamiętasz z lekcji matematyki, nachylenie krzywej w danym punkcie zapisujemy symbolicznie jako ?x2/?x1.Wystarczy więc, że przekształcimy powyższe równanie tak, by wyznaczyć ten ułamek, uzyskując w wyniku: ?x2/?x1 = -MU1/MU2. A ponieważ MRS jest równe właśnie współczynnikowi nachylenia krzywej obojętności w danym punkcie, możemy zapisać:

Voila! Używając prostej (no dobrze, nieco wyższej) matematyki, zdołaliśmy powiązać wielkość, którą trudno zmierzyć (użyteczność), z miarą jak najbardziej mierzalną (MRS). I na tym właśnie polega mikroekonomia!

Decyzje Joli spełniają podstawowe założenia modelu wyboru konsumenta, dlatego jej preferencje zaliczamy do klasy dobrze się zachowujących, a przez to względnie łatwo poddających się analizie. Gdyby tak jednak nie było, wyciąganie wniosków na temat jej zachowania byłoby zadaniem znacznie trudniejszym. Porównaj zachowanie Joli do... Ciasteczkowego Potwora, bohatera popularnej kreskówki. Zjada on ciasteczka bez względu na to, ile zadowolenia mu ta czynność dostarcza. W jego przypadku nie możemy mówić o dobrze się zachowujących preferencjach, dlatego też trudno jest wyciągać jakiekolwiek wnioski na temat krańcowej stopy substytucji czy użyteczności tego specyficznego konsumenta.