Stosowane oznaczenia

Symbole łacińskie

bi - szerokość i-tej ścianki przekroju, długość linii środkowej i-tej ścianki

d - droga po dendrycie przekroju (linii środkowej przekroju); długość pręta tężnika

e0,y, e0,z - strzałka wstępnej imperfekcji łukowej osi pręta w kierunku osi y i z

f0,y, f0,z - strzałka wstępnego wygięcia osi pręta w kierunku osi y i z

fy - granica plastyczności stali

hj - wysokość kondygnacji

hk - wysokość teoretyczna wiązara w kalenicy

h0 - rozstaw osiowy pasów dwuteownika; wysokość teoretyczna wiązara przy podporze

i - indeks albo promień bezwładności

k - giętno-skrętna charakterystyka przekroju [1/cm]

k, ksw - współczynnik amplifikacji ze względu na efekty przechyłowe

k11, k12 - współczynniki sztywności śrub na ścinanie i docisk w metodzie składnikowej [m]

- składowe sztywności śrub na ścinanie i docisk w podatnych połączeniach zakładkowych [kN/m]

ms, my, mz - obciążenie pręta momentem rozłożonym, sprowadzone obciążenie zewnętrzne pobocznicy pręta do środka zginania [kNm/m]

s - współrzędna drogi d mierzonej po dendrycie przekroju (linii środkowej przekroju)

t, t(s), ti - grubość ścianki przekroju, grubość ścianki przekroju uzależniona od współrzędnej s, grubość i-tej ścianki przekroju

l - długość pręta

p - obciążenie poprzeczne pręta

pl,x, pp,x - wypadkowe naprężeń stycznych rozłożonych na płaszczyznach brzegowych - lewej i prawej - elementu cienkościennego

qi - składowe przemieszczeń w MES

qx, qy, qz - obciążenie rozłożone pręta, sprowadzone obciążenie zewnętrzne pobocznicy pręta przyłożone do środka zginania równolegle do osi x, y oraz z [kN/m]

qx(x) - wypadkowa obciążeń podłużnych działających na całym dendrycie przekroju

ux - w prętach o przekroju zwartym przemieszczenie wzdłuż osi pręta

ux - w prętach o przekroju cienkościennym przemieszczenie wzdłuż osi pręta punktów o zerowych wartościach współrzędnych wycinkowych

ui,j - przemieszczenie górnego węzła słupa i na kondygnacji j w układzie ramowym

u0,y, u0,z - wstępne przemieszczenia w kierunku osi y i z

uy, uz - sprężyste przemieszczenia w kierunku osi y i z

y0 - wstępne wygięcie osi pręta w kierunku osi y

yS, zS - współrzędne środka zginania (ścinania, skręcania) w układzie głównych centralnych osi bezwładności

A - pole przekroju [cm2]; wybrany punkt na przekroju

B? - bimoment [kNm2]

C - współczynnik używany w modelach empirycznych węzłów podatnych (parametr regresji)

C1, C2, C3 - stałe dopasowania krzywej

C1, C2, C3, C4 - stałe całkowania

E - moduł Younga

Ei,j - elementy tensora Greena-Lagrange'a

- wycinkowa sztywność spaczenia przekroju, gdzie

G - moduł Kirchhoffa

H - całkowita wysokość teoretyczna ramy

HEd - suma obciążeń poziomych ramy w wartości obliczeniowej [kN]

HEd,eq,i,j - równoważne, obliczeniowe obciążenie (przechyłowe) dla słupa w rzędzie i na poziomie rygla j [kN]

HEd,eq,j - równoważne, obliczeniowe obciążenie (przechyłowe) na poziomie rygla j () [kN]

HEd,w,eq,i,j - suma obciążenia wiatrem i równoważnego obciążenia przechyłowego w górnym węźle słupa w rzędzie i, na poziomie rygla j [kN]

HEd,j - sumaryczne obliczeniowe obciążenie poziome, łącznie z równoważnymi siłami od imperfekcji, przenoszone przez kondygnację j [kN]

Hf - fikcyjne obciążenie poziome [kN]

IT - moment bezwładności swobodnego skręcania [cm4]

I? - wycinkowy moment bezwładności [cm6]

K - parametr (mnożnik momentu) w modelu empirycznym węzła Frye'a i Morrisa

Kst - pozioma sztywność kondygnacji [kN/m]

- sztywność zamocowania pręta na spaczenie

L - rozpiętość

M - punkt początkowy przy obliczaniu charakterystyk giętno-skrętnych; moment zginający

Mf - bipara momentów (para o przeciwnym zwrocie) zginających pasy dwuteownika w ich płaszczyźnie [kNm]

Mj,Ed, Mj,Rd - obciążenie obliczeniowe i nośność zginanego węzła belki ze słupem [kNm]

My, Mz, My(x), Mz(x) - momenty zginające [kNm]

M? - moment giętno-skrętny [kNm]

Ms - moment swobodnego skręcania [kNm]

МT - zewnętrzny moment skręcający [kNm]

N, N(x) - siła osiowa [kN]

NEd - siła osiowa o wartości obliczeniowej (kombinacyjnej) [kN]

Ncr - obciążenie krytyczne pręta, siła krytyczna [kN]

Ni - wielomiany Lagrange'a

Ni,x, Ni,? - funkcje kształtu we współrzędnych kartezjańskich i naturalnych

R - reakcja [kN]

S - środek zginania (ścinania, skręcania)

S? - wycinkowy moment statyczny [cm4]

Sy, Sz - momenty statyczne względem osi y i z [cm3]

Sx,j, Sy,j, Sz,j - składowe sił w prętach dźwigara kratowego oddziałujące na węzeł [kN]

- elementy drugiego tensora naprężeń Pioli-Kirchhoffa

Vy, Vz - siły poprzeczne w przekroju [kN], definiowane jako pochodne momentów zginających

VEd - suma obciążeń pionowych ramy o wartości obliczeniowej [kN]

VEd,j - sumaryczne obliczeniowe obciążenie pionowe przenoszone przez kondygnację j [kN]

W - wskaźnik zginania [cm3]; siła wypadkowa [kN]

Wj - obciążenie wiatrem na poziomie rygla j [kN]

Symbole greckie

?cr - mnożnik obciążenia krytycznego

?cr,sw - mnożnik obciążenia krytycznego odpowiadający przechyłowej postaci wyboczenia

?cr,ns - mnożnik obciążenia krytycznego odpowiadający nieprzechyłowej postaci wyboczenia

? - współczynnik korygujący moment bezwładności swobodnego skręcania z uwagi na wyokrąglenia przekroju; współczynnik sterujący wartością siły osiowej

- funkcje (stałe) materiałowe używane w opisie Lagrange'a

?M0, ?M1, ?M2 - częściowe współczynniki bezpieczeństwa wg PN-EN 1990

? - przesuw w węźle zakładkowym lub nakładkowym przy działaniu siły podłużnej; wstępne i sprężyste wygięcie pręta związane z efektem P-?

?H,Ed,j - wzajemne przemieszczenia poziome góry kondygnacji j względem dołu kondygnacji

? - odkształcenie (ogólnie); przyjęta wartość tolerancji dla residuum w metodzie przyrostowej

?s(x,s) - odkształcenie punktów powierzchni środkowej przekroju cienkościennego

?, ? - stałe Lamego

?i - mnożnik obciążenia krytycznego dla i-tej postaci wyboczenia (stosowany alternatywnie do ?cr,i)

- smukłość względna pręta przy wyboczeniu giętnym

? - współczynnik długości wyboczeniowej; stosunek sztywności początkowej do sztywności siecznej węzła doczołowego

? - współczynnik Poissona

? - krzywizna pręta

?? - naprężenie normalne od bimomentu (wycinkowe naprężenie normalne)

?0,p - naprężenie normalne od siły osiowej

?x - całkowite naprężenie normalne w danym punkcie

?s - naprężenia styczne od momentu swobodnego skręcania

?? - naprężenia styczne od momentu giętno-skrętnego

?S(x) - kąt skręcania osi pręta przechodzącej przez środki zginania (ścinania, skręcania)

- miara spaczenia przekroju

? - wstępny przechył układu ramowego [rad]

?j - wstępny przechył kondygnacji j układu ramowego [rad]

?S - współrzędna wycinkowa (główne pole wycinkowe) [cm2]

? - przesuw węzła w analizie efektu P-?; wartość imperfekcji wykonawczej wg PN-EN 1090-2; przyrost wartości

?', ?" - przemieszczenia poziome węzła I i II rzędu

?u - przyrost przemieszczenia

?l - przyrost długości

Rozdział 1Wprowadzenie

W klasycznej mechanice budowli konstrukcje prętowe składają się z prętów połączonych w węzłach w sposób przegubowy, sztywny lub przesuwnie, przy czym za węzeł uznaje się miejsce geometryczne przecięcia się ich osi, a w przypadku gdy osie prętów nie przecinają się w jednym punkcie, to dowolne miejsce w obszarze konstrukcji węzła. Rzeczywista konstrukcja prętowa różni się od teoretycznej z uwagi na wymiary węzła, jego odkształcalność, wstępne przechyły, wstępne giętne i skrętne odkształcenia osi, mimośrody w połączeniach prętów w węzłach, mimośrody w przekazywaniu obciążeń, a także imperfekcje materiałowe. Różnice te wpływają na stan deformacji konstrukcji i rozkład sił wewnętrznych. W Eurokodach te wieloźródłowe imperfekcje układów prętowych ze względów praktycznych zastąpiono umownymi imperfekcjami geometrycznymi, takimi jak wstępne wygięcie elementów ściskanych czy wstępny przechył układów ramowych.

Zgodnie z normą [N1] analiza statyczna układów prętowych powinna być oparta na modelach obliczeniowych, które z wystarczającą dokładnością odzwierciedlają zachowanie się rzeczywistej konstrukcji w określonym stanie granicznym. Modele te powinny ujmować właściwości materiału, właściwości elementów konstrukcyjnych i ich przekrojów poprzecznych, właściwości wewnętrznych węzłów konstrukcji i węzłów podporowych, a w uzasadnionych przypadkach także interakcję konstrukcji z podłożem gruntowym. O wyborze modelu obliczeniowego może również decydować geometria konstrukcji i geometria jej elementów składowych.

Modele obliczeniowe mogą być geometrycznie i fizycznie liniowe lub nieliniowe, a także geometrycznie nieliniowe przy liniowych związkach konstytutywnych lub też fizycznie nieliniowe, a geometrycznie liniowe. Mogą one też ujmować wpływ imperfekcji geometrycznych pojedynczych elementów takich jak wstępne ich wygięcie czy skręcenie oraz imperfekcji globalnej całej konstrukcji, jak na przykład wstępny przechył ramy.

Nieliniowość geometryczna (kinematyczna) pojawia się wówczas, gdy konstrukcja prętowa cechuje się dużymi odkształceniami lub dużymi przemieszczeniami albo też dużymi odkształceniami i przemieszczeniami jednocześnie, przy czym duże przemieszczenia konstrukcji mogą występować zarówno przy małych, jak i dużych obrotach przekrojów elementów. Przykładami takiej konstrukcji są kratownica Misesa, kopuła mało wyniosła lub wielokondygnacyjna rama przechyłowa.

Drugim obszarem jakościowych zmian w analizie statyczno-wytrzymałościowej ustrojów prętowych jest rekomendowany w Eurokodach model fizyczny materiału nieliniowo-sprężysto-plastycznego oraz szerokie wykorzystanie w obliczeniach inżynierskich twierdzeń teorii plastyczności. Nieliniowość fizyczna może wystąpić zarówno przy małych, jak i dużych odkształceniach i przemieszczeniach. Wynika ona głównie z fizycznych właściwości materiału, przy nieliniowych związkach konstytutywnych. Materiały mogą być nieliniowo-sprężyste, plastyczne i sprężysto-plastyczne. Podatność węzłów na obrót lub/i przesuw traktuje się w kategoriach węzła z materiału fizycznie nieliniowego. W podatnych węzłach mogą dodatkowo wystąpić luzy w połączeniach, które ujawniają się przy określonych siłach wewnętrznych, a po ich pokonaniu następuje tzw. zakleszczenie się węzła i jego charakterystyka jest monotonicznie narastająca do określonego poziomu, po czym następuje duży przyrost deformacji przy niewielkim wzroście sił wewnętrznych.

W rozwiązaniach nieliniowych stosuje się różne uproszczenia, które z reguły przyśpieszają obliczenia statyczne, przy jednoczesnym zmniejszeniu ich dokładności. Przykładowo, w Metodzie Elementów Skończonych (MES) przy małych obrotach przekrojów przyjmuje się uproszczone formuły tensora odkształceń i tensora naprężeń, co ogranicza zakres ich stosowania przy równoczesnym uproszczeniu macierzy sztywności elementu i macierzy sztywności całego układu. Skraca to czas obliczeń. Ograniczenia mogą dotyczyć też ugięć. Przy małych ugięciach znacznie upraszcza się budowę tensora odkształceń i naprężeń.

W programach inżynierskich opartych na MES zazwyczaj stosuje się całkowity opis Lagrange'a (TL), w którym odkształcenia i przemieszczenia odnosi się do konfiguracji nieodkształconej opisanej w układzie początkowym X,Y,Z lub w przypadku konstrukcji quasi-osiowo-symetrycznych w układzie ?,R,Z. Stosuje się przy tym tensor odkształceń Greena-Lagrange'a i drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa.

W przypadku dużych uproszczeń rozwiązanie nieliniowe MES może być zgodne z rozwiązaniem drugiego rzędu uzyskanym metodą przemieszczeń. W równaniach zginania teorii drugiego rzędu uwzględnia się zazwyczaj wpływ ściskania i wygięcia pręta (wstępnego i sprężystego) na osiową i giętną jego deformację, a w równaniu skręcania - wpływ siły osiowej i obciążeń poprzecznych oraz wstępnego i sprężystego skręcenia na skrętną deformację pręta. W uzasadnionych przypadkach, przy mniejszym wpływie efektów drugiego rzędu na zachowanie się układu, dopuszcza się iteracyjne rozwiązanie pierwszego rzędu z korektą współrzędnych układu o sprężyste przemieszczenia z poprzedniego kroku obliczeń.

W przypadku obliczeniowych modeli nieliniowych (fizycznie lub/i geometrycznie), w tym modeli drugiego rzędu, nie obowiązuje zasada superpozycji efektów oddziaływań, a obliczenia wykonuje się dla zadanej kombinacji obciążeń.

W monografii przedstawiono zagadnienia związane z projektowaniem stalowych konstrukcji prętowych. Szeroko omówiono możliwości stosowania teorii pierwszego i drugiego rzędu oraz teorii nieliniowej do analizy globalnej konstrukcji. W monografii nie zajmowano się problematyką związaną z niestatecznością miejscową ścianek pod działaniem naprężeń normalnych i stycznych.

W zakresie teorii pierwszego rzędu w rozdziale 2 szczególną uwagę zwrócono na statykę elementów cienkościennych. Przedstawiono wzory i przykład obliczania charakterystyk geometrycznych przekrojów takich prętów, wybrane zagadnienia ze statyki prętów cienkościennych o przekroju otwartym oraz przykład, w którym pręt rozciągany może być jednocześnie prętem skręcanym w wyniku tego rozciągania. Przedstawiono również przykład belki podsuwnicowej, w którym potraktowano ją jak element cienkościenny i wskazano różnicę między takim podejściem a uproszczonym rozwiązaniem, w którym belkę traktuje się jak element złożony z pionowej belki i poziomego tężnika hamownego oraz ujęciem w Eurokodzie [N7], gdzie moment skręcający belkę rozkłada się na parę sił poziomych działających na pasy.

W rozdziale 3 przedstawiono odchyłki, jakie mogą wystąpić w stalowych konstrukcjach prętowych, oraz omówiono wprowadzone normą [N1] zastępcze imperfekcje geometryczne - globalne i lokalne ujmujące wpływy tych przypadkowych odchyłek. Opisano normowe ujęcie imperfekcji globalnych, tj. wstępnego przechyłu układów ramowych i wstępną, łukową imperfekcję stężeń oraz imperfekcje lokalne, którymi są wstępne imperfekcje łukowe elementów ściskanych narażonych na wyboczenie giętne.

W rozdziale 4 scharakteryzowano teorię drugiego rzędu w ujęciu przemieszczeniowym elementów ze wstępnymi, giętnymi i skrętnymi imperfekcjami. Przedstawiono pełne równania zginania i skręcania oraz ich uproszczone warianty stosowane w inżynierskich programach komputerowych. Omówiono efekty drugiego rzędu: efekt P-? dla ram i pojedynczego pręta, który jest rozumiany jako wpływ zmiany nachylenia cięciwy pręta na wartości sił przywęzłowych oraz efekt P-? dla pręta, a w nim wpływ ściskania wstępnie wygiętego pręta na jego sztywność osiową i giętną. Przedstawiono zasady wymiarowania elementów ściskanych i zginanych wg teorii drugiego rzędu. Dokonano porównania wytężenia prętów ściskanych wg wzorów normowych i wg teorii drugiego rzędu, w zależności od ich smukłości.

W zakresie nieliniowej teorii MES w rozdziale 5 przedstawiono wstępnie zdeformowaną płaską belkę Timoshenki. Na jej przykładzie omówiono stosowane uproszczenia, przydatne w rozwiązaniach komputerowych funkcje kształtu i funkcje wybierające dla elementu wielowęzłowego we współrzędnych naturalnych przyrostowe równania równowagi, kwadratury Gaussa i zasadę doboru punktów Gaussa oraz dokładność rozwiązania. Na przykładzie łuku o małej sztywności porównano ścieżki równowagi uzyskane z rozwiązania liniowego, wg teorii drugiego rzędu w ujęciu przemieszczeniowym i rozwiązania nieliniowego przy różnorakich uproszczeniach. Analizowano wpływ liczby węzłów elementu na zbieżność wyników, a w tym omówiono tzw. blokadę efektu ścinania. Przedstawiono możliwości budowy ścieżki równowagi przy sterowaniu obciążeniem i przemieszczeniem.

Następny rozdział monografii dotyczy węzłów w konstrukcjach prętowych. Omówiono w nim różne modele węzłów, za pomocą których można znacznie przyśpieszyć obliczenia wstępne czy wykonać analizy optymalizacyjne. Przedstawiono model zachowania się węzła w przypadku konstrukcji obciążonych przemiennie, dla którego charakterystyki węzłów M-? i N-? przyjmują postać pętli histerezy. W rozdziale tym zamieszczono algorytm obliczania węzła belki ze słupem, w którym omówiono przypadek jego zniszczenia na skutek zerwania śrub jednego szeregu. Wtedy przy braku możliwości plastycznej redystrybucji sił między poszczególnymi szeregami może być potrzebna redukcja nośności węzła zgodnie z wymaganiami zawartymi w pkt 6.2.4.2 normy [N3]. Zamieszczono wzory dotyczące sztywności różnych połączeń zakładkowych, wynikające ze sztywności części składowych złączy. Przedstawiono przykład zachowania się wieży telefonii komórkowej z podatnymi węzłami, w którym wykazano, że po uwzględnieniu podatności na przesuw montażowych styków krawężników sprężysty obrót krawężnika z anteną radiolinii będzie większy od 0,5o, co zakłóci prawidłowy przekaz sygnałów radiowych między stacjami bazowymi.

W rozdziale 7 zawarto normowe przepisy dotyczące wyboru rodzaju analizy statycznej i wyboru imperfekcji geometrycznych w zależności od wartości mnożnika obciążenia krytycznego oraz warunki nośności (stateczności) elementów przyporządkowane danej analizie. Przedstawiono obecnie obowiązujące przepisy wg [N1] i podejście proponowane w projekcie nowelizacji tej normy [N2]. Szeroko omówiono możliwości inżynierskich programów komputerowych w zakresie wyznaczania mnożnika obciążenia krytycznego i długości wyboczeniowych ściskanych elementów konstrukcji prętowych. Przedstawiono przy tym przykłady dotyczące wpływu rozkładu obciążenia i sztywności węzłów na wartości mnożnika obciążenia krytycznego i długości wyboczeniowe elementów ściskanych.

W ostatnim rozdziale pracy szeroko omówiono imperfekcje w elementach konstrukcji dachów hal oraz genezę pojawiania się obciążeń stabilizujących i zasady ich obliczania wynikające ze statycznej równowagi węzłów zdeformowanego układu. Zaproponowano przy tym możliwe pod względem statycznym uproszczenia wzorów na obciążenie stabilizujące.

Monografia była pisana z myślą, by jak najlepiej służyła projektantom konstrukcji stalowych oraz studentom wyższych uczelni na kierunku budownictwo. Zawarto w niej wiele przydatnych wskazówek, które ułatwią zrozumienie wpływu efektów drugiego rzędu i efektów nieliniowych, a także imperfekcji geometrycznych na stan przemieszczeń i sił wewnętrznych w układzie prętowym. Dzięki temu wybór rodzaju globalnej analizy i wprowadzenia do niej różnych uproszczeń będzie łatwiejszy. Łatwiejsze stanie się również korzystanie z różnych programów komputerowych do analiz konstrukcji stalowych i ich elementów. W monografii wskazano też bogatą literaturę, która może być pomocna w dalszym poszerzaniu wiedzy.

W opisie układów prętowych i pojedynczych elementów o przekroju zwartym zastosowano prawoskrętne układy współrzędnych prostokątnych, tak jak to ma miejsce w algorytmach programów komputerowych. W przypadku układów płaskich i przekrojów trzecią oś znakowano następująco: przy zwrocie do oka na rysunku naniesiono kółko z kropką w środku, a przy zwrocie do kartki kółko ze znakiem x. Z kolei w przypadku opisu elementów o przekroju cienkościennym zastosowano układy lewoskrętne jak w podstawowej literaturze z tego zakresu [7], [53], [67], [80], co miało na celu ułatwienie czytelnikowi korzystania z licznych wzorów zawartych w tych pozycjach.

Rozdział 2Teoria pierwszego rzędu

Najprostszą, powszechnie stosowaną przez inżynierów metodą obliczeń stalowych konstrukcji prętowych jest geometrycznie liniowa analiza konstrukcji ze sztywnymi, przegubowymi, ewentualnie przesuwnymi węzłami, z uwzględnieniem materiału liniowo-sprężystego. Jest to tzw. analiza pierwszego (I) rzędu układów o pełnej ciągłości (ze sztywnymi węzłami) lub układów przegubowych lub/i z węzłami przesuwnymi. W powszechnym rozumieniu jako teorię I rzędu uznaje się rozwiązanie, w którym równania równowagi zapisuje się jak dla elementu nieodkształconego. Obowiązuje tu zasada zesztywnienia. Równania różniczkowe osi odkształconej elementów pryzmatycznych przy prawoskrętnym układzie współrzędnych jak na rysunku 2.1 w węźle mają postać:

(2.1a,b,c)

gdzie: momenty bezwładności względem osi y i z oraz moment bezwładności swobodnego skręcania, pozostałe oznaczenia jak na rysunku 2.1.

W równaniach zginania (2.1a,b) przyjmuje się założenie, że dla małych odkształceń i bardzo małych kątów obrotu krzywizna pręta jest obliczana ze wzoru

(2.1d)

co wynika z założenia, że

Březina, jako teorię I rzędu w pracy [14], uznaje elementarną teorię zginania i swobodnego skręcania pręta, która jest podstawą ogólnej mechaniki budowli, poszerzoną o teorię nieswobodnego skręcania prętów cienkościennych Własowa [80] (podrozdz. 2.1).

Wyniki analizy I rzędu są wystarczające do oceny bezpieczeństwa ram stężonych (rys. 4.3) oraz większości kratownic. W analizie I rzędu nie ujmuje się wpływu deformacji na statykę układu. Ograniczeniem z góry nośności układu obliczanego wg teorii I rzędu jest sprężyste obciążenie krytyczne pręta lub układu prętowego, przy którym dochodzi do zjawiska bifurkacji. Znając wartość krytycznego obciążenia pręta (z analizy bifurkacyjnej), można wyznaczyć jego współczynnik długości wyboczeniowej przy założeniu modelu sprężystego oraz wyboczeniową nośność i porównać z obciążeniem pręta. Będzie to sprawdzenie stateczności pręta ściskanego wg teorii I rzędu.

Analizę I rzędu wykorzystuje się również do analizy granicznej w sensie przegubów plastycznych, tzw. analizy niesprężystej I rzędu, za pomocą której poszukuje się kolejnych przegubów plastycznych aż do ostatniego, przy którym układ zamienia się w łańcuch kinematyczny. W przypadku takiej analizy współczynniki długości wyboczeniowej wyznacza się z uwzględnieniem zredukowanej (przegubami plastycznymi) sztywności układu, przy obliczeniowych wartościach obciążeń (łącznie z momentami granicznymi w przegubach plastycznych), na które konstrukcja jest projektowana [3].

Korzystając z modelu obliczeniowego opartego na teorii I rzędu nie można w czasie obliczeń zmieniać charakterystyk geometrycznych pręta z uwagi na utratę stateczności ścianek, gdyż są one zależne od jego wytężenia, które jest właśnie poszukiwane. W prostych przypadkach, na przykład pojedynczego pręta zginanego, projektanci mogą dokonać przybliżonej oceny tego zjawiska, dzieląc pręt na drobniejsze elementy i do oceny stateczności ścianek tych elementów poszukują sił wewnętrznych za pomocą rozwiązania wg teorii I rzędu, a następnie poza programem oceniają stan naprężeń w przekrojach końcowych i dla uśrednionych naprężeń szacują sposobem normowym efektywne szerokości ścianek i efektywne charakterystyki przekroju. Dla nowych charakterystyk powtarzany jest cały cykl obliczeń. W taki sposób można uzyskać na przykład przybliżone ugięcie pręta.

W przypadku analizy elementów, w których jest istotna nieliniowość geometryczna (np. łuki z blach profilowanych), taka ocena nośności (czy stateczności) może być niewystarczająca, nawet gdy wprowadzi się nową geometrię ustroju wynikającą z sumowania pierwotnych współrzędnych z aktualnymi przemieszczeniami.

Korzystając z teorii I rzędu, można modelować również podatność węzłów zarówno na obrót [10], jak i przesuw, przy założeniu liniowych zależności M-? i N-?. W przypadku algorytmów programów, w których nie ujęto podatności węzłów, konieczne będzie wydzielenie z pręta krótkich przywęzłowych odcinków o odpowiednio dobranej sztywności giętnej i osiowej. W rezultacie zwiększy się liczba węzłów i prętów w układzie, przez co powiększy się jego macierz sztywności i wydłuży czas obliczeń. W drugim etapie obliczeń sprawdza się nośność prętów i węzłów oraz zdolność węzłów do obrotu [N3], po czym, jeśli jest to konieczne, koryguje się obliczenia. Znane są również liniowe rozwiązania oparte na wzorach transformacyjnych metody przemieszczeń, na przykład [10], w których stosuje się superelementy złożone z pręta i dwu obrotowych sprężyn na jego końcach. Za ich pomocą można modelować podatność węzłów o liniowej charakterystyce, podobnie jak przy redukcji sztywności końcowych przekrojów pręta. W monografii [11] zamieszczono wzory transformacyjne metody przemieszczeń w ujęciu teorii I rzędu wyprowadzone dla płaskiego elementu prętowego z podatnymi węzłami, czyli tzw. superelementu.

W programach komputerowych opartych na teorii I rzędu zazwyczaj nie uwzględnia się wpływu sił poprzecznych na deformacje pręta, chociaż w programie Robot v2019 zawarto taką możliwość.

2.1. Pręty cienkościenne o przekroju otwartym

Teoria prętów cienkościennych została szeroko omówiona m.in. w pracach [7], [30], [53], [63], [64], [67], [80]. Poniżej przedstawiono jedynie jej wybrane elementy, niezbędne inżynierowi do poprawnego zaprojektowania konstrukcji z takich elementów.

Pręty cienkościenne to cylindryczne lub pryzmatyczne powłoki, których przekrój poprzeczny składa się z wąskich elementów prosto- lub krzywoliniowych spełniających warunek t ? d/10, gdzie d - większy wymiar przekroju poprzecznego, przy czym wymiar ten nie powinien być większy niż 1/10 długości pręta (d ? 0,1l) [53], [80]. W nowszych publikacjach, na przykład [64], przyjmuje się, że pręt jest cienkościenny, gdy grubość ścianki jest co najmniej ośmiokrotnie mniejsza od najdłuższej drogi mierzonej po linii środkowej przekroju (t/s ? 1/8) oraz, gdy ta droga jest co najmniej ośmiokrotnie mniejsza od długości pręta (s/l ? 1/8) (rys. 2.2a).

Pręty cienkościenne mogą mieć przekrój zamknięty (rys. 2.2b), otwarty (rys. 2.2a) lub mieszany (rys. 2.2c). Praca statyczna prętów o przekroju zamkniętym, przy potraktowaniu przekroju jako nieodkształcalnego, niewiele się różni od pracy prętów o przekroju pełnym [53]. W prętach o przekroju otwartym, z nieodkształcalnym konturem, wpływ cienkościenności jest istotny i uniemożliwia, poza szczególnymi przypadkami obciążenia, stosowanie teorii opartej na założeniu płaskich przekrojów [7]. Różnica między statyką pręta o przekroju cienkościennym a statyką pręta o przekroju zwartym ujawnia się głównie w równaniu skręcania. Może być również istotna dla pręta osiowo obciążonego.

Rys. 2.2. Pręty cienkościenne: a) o przekroju otwartym, b) o przekroju zamkniętym, c) o przekroju mieszanym

W prętach cienkościennych o sztywnym konturze przekroju poprzecznego oprócz typowych składowych przemieszczeń przekrojów (przesunięć wzdłuż osi pręta i obrotów względem tych osi) jest jeszcze jedna składowa - spaczenie, które powoduje, że założenie Bernoullego (płaskich przekrojów) przestaje obowiązywać (rys. 2.3).

Rys. 2.3. Spaczenie przekrojów prętów cienkościennych przy nieskrępowanym skręcaniu (w układzie lewoskrętnym)

Jeśli pominąć spaczenie na grubości ścianki, to spaczeniu nie ulegają pręty o przekroju w formie pęku, jak kątowy, teowy, krzyżowy, a także pręty o przekroju zamkniętym trójkątnym oraz pręty o przekroju w kształcie wieloboku foremnego z jednakową grubością ścianek [7] (rys. 2.4). Pręty cienkościenne o przekroju otwartym w formie pęku mają znacznie mniejszą sztywność na skręcanie w porównaniu z prętami o innych przekrojach otwartych, na przykład dwuteowym, ceowym czy zetowym.

Rys. 2.4. Przekroje, które nie doznają spaczenia: a) otwarte, b) zamknięte

Spaczenie może być swobodne przy skręcaniu swobodnym lub skrępowane przy skręcaniu skrępowanym. W większości przypadków spaczenie jest krępowane całkowicie lub częściowo przez więzy podporowe (rys. 2.5a i 2.5b) lub przez sam sposób obciążenia pręta (rys. 2.5c). Skrępowane skręcanie występuje także wtedy, kiedy moment skręcający zmienia się na długości pręta (rys. 2.5d).

W ogólnym przypadku pręt może być utwierdzony na skręcanie swobodne (podparty widełkowo - rys. 2.6a) lub podparty widełkowo i utwierdzony z uwagi na spaczenie (rys. 2.6b).

Skręcanie skrępowane może pojawić się również w elementach nominalnie rozciąganych, co może wynikać z kształtu przekroju poprzecznego i/lub ze sposobu obciążenia pręta (rys. 2.7).

Rys. 2.5. Skrępowane skręcanie prętów (układ lewoskrętny)

Rys. 2.6. Podparcie belki: a) widełkowe, b) utwierdzenie na spaczenie

Rys. 2.7. Elementy rozciągane, w których wystąpi skręcanie skrępowane

W przypadku skręcania skrępowanego w poprzecznych przekrojach elementu pojawia się układ samorównoważących się naprężeń normalnych ??, które są wywołane tzw. bimomentem B?. Bimoment w dwuteowniku redukuje się do pary przeciwnie skierowanych momentów Mf zginających pasy: Mf = B?/h0, gdzie h0 - osiowy rozstaw pasów (rys. 2.8a). Na rysunku tym przedstawiono dodatnią wartość bimomentu - parę momentów zginających pasy, w układzie lewoskrętnym. Dodatniej wartości bimomentu odpowiada ujemna wartość kąta skręcenia elementu. Korzystając z rysunku 2.8b, można zdefiniować bimoment jak w pracy [64]. Jeśli w układzie lewoskrętnym patrząc z punktu A w prawo lub w lewo widzimy parę sił, która "kręci" zgodnie ze wskazówkami zegara, to wówczas bimoment jest dodatni.

Naprężeniom ?? towarzyszą naprężenia styczne skrępowanego skręcania ??. Wypadkową tych naprężeń jest tzw. moment giętno-skrętny M?, który łącznie z momentem swobodnego skręcania Ms równoważy zewnętrzny moment skręcający MT (rys. 2.9).

Rys. 2.9. Dodatnie wartości momentów skręcających i naprężeń ścinających w układzie lewoskrętnym: a) moment giętno-skrętny M? i naprężenia ??, b) moment swobodnego skręcania Ms i naprężenia ?s, c) rozkład momentu giętno-skrętnego i swobodnego skręcania na długości belki, d) rozkład naprężeń ścinających ?? i ?s na grubości ścianki

2.1.1. Charakterystyki geometryczne przekroju cienkościennego

W opisie przekrojów cienkościennych wprowadzono następujące pojęcia [53], [63], [64], [67], [80]:

- linia środkowa przekroju, tzw. kontur lub dendryt z wyróżnionym punktem początkowym 0, tzw. korzeniem i innymi węzłami, w których stykają się ścianki elementu (rys. 2.10a);

- współrzędna łukowa s mierzona od punktu początkowego 0 (rys. 2.10a,b,c);

Rys. 2.10. Charakterystyki przekroju: a) linia środkowa przekroju - dendryt przekroju ze współrzędnymi s i punktem początkowym 0, b) lokalny krzywoliniowy układ x,s,n, c) współrzędna wycinkowa (pole wycinkowe) w pkt P dla bieguna w pkt B i punktu początkowego w pkt M

- lokalny krzywoliniowy układ ortogonalny x,s,n (rys. 2.10b), który w dowolnym punkcie powierzchni środkowej definiuje się w ten sposób, że pierwsza oś układu jest równoległa do osi x elementu i ma takie samo oznaczenie, druga oś s jest styczna do linii środkowej, a trzecia n - normalna w układzie lewoskrętnym;

- współrzędna wycinkowa ? określana dla dowolnego pkt P usytuowanego na linii środkowej przekroju przy założonym biegunie w pkt B i punkcie początkowym w pkt M, przez którą rozumie się podwójne pole powierzchni ograniczonej łukiem MP, promieniem początkowym łączącym biegun B i usytuowany na konturze punkt początkowy M oraz promieniem wodzącym łączącym biegun B i dowolny punkt P usytuowany na dendrycie (rys. 2.10c); współrzędną wycinkową uważa się za dodatnią, jeśli ruch promienia BM do położenia BP jest zgodny z dodatnim obrotem układu współrzędnych wokół osi x [53]; w układzie lewoskrętnym jak na rysunku 2.10c oś x jest skierowana do oka;

- grubość ścianki t.

Przy takim opisie przekroju jego wybrane charakterystyki wyznacza się ze wzorów:

- pole powierzchni

(2.2)

gdzie d - całkowanie po dendrycie przekroju,

- momenty statyczne względem osi y i z

(2.3)

- momenty bezwładności względem osi y i z

(2.4)

- moment bezwładności swobodnego skręcania

(2.5)

gdzie:

bi i ti - długość linii środkowej i grubość i-tej ścianki,

yi, zi - współrzędne środków odcinków bi,

? - współczynnik korygujący z uwagi na wyokrąglenia przekroju; ? = 1 dla przekroju złożonego z prostokątów o szerokości ścianki kilkakrotnie większej od jej grubości.

Obliczane przy takim założeniu charakterystyki przekrojów cienkościennych różnią się pomijalnie mało od wartości uzyskanych wg wzorów dla figur płaskich. W podręczniku [34] zgodnie z [18] zaleca się wyznaczanie momentu bezwładności swobodnego skręcania dla przekroju rzeczywistego. W przypadku kształtowników walcowanych w [53] proponuje się przyjmować następujące wartości współczynnika ?: dla kątownika - 1,0, dwuteownika - 1,20, ceownika - 1,12.

2.1.2. Środek zginania (ścinania, skręcania)

Charakterystycznym punktem poprzecznego przekroju pręta cienkościennego jest tzw. środek zginania stanowiący biegun obrotu przekroju pręta obciążonego tylko momentem skręcającym. W literaturze środek zginania jest również nazywany środkiem skręcania lub środkiem ścinania. Według [64] właściwszą nazwą jest środek zginania.

Linię środków skręcania (zginania) w prostym elemencie zginanym nazywa się osią skręcania. Jest to prosta równoległa do tworzących. W przypadku, gdy prosta ta jest położona w jednej płaszczyźnie wraz z poprzecznym obciążeniem zewnętrznym i reakcjami, to element jest wyłącznie zginany. Przekroje poprzeczne takiego pręta pozostają płaskie, doznają jedynie przesunięcia i obrotów, co umożliwia obliczanie naprężeń normalnych i stycznych wg wzorów elementarnej teorii zginania prętów o przekroju zwartym. W przypadku dowolnego obciążenia pręta obciążenie należy zredukować do sił przechodzących przez oś skręcania i momentów skręcających. Przekroje poprzeczne takiego pręta, oprócz przekrojów jak na rysunku 2.4, dodatkowo ulegną spaczeniu (które w literaturze nazywa się również deplanacją) i przestają być płaskie [53].

Współrzędne środka zginania S oblicza się w układzie głównych centralnych osi bezwładności ze wzorów [53], [63], [64]:

(2.6)

w których wycinkowe momenty odśrodkowe obliczane względem bieguna pomocniczego B:

(2.7)

gdzie:

współrzędna wycinkowa (pole wycinkowe) dowolnego punktu P usytuowanego na konturze, określona względem dowolnie obranego bieguna B o współrzędnych yB, zB, wyznaczana od dowolnego punktu początkowego M usytuowanego również na konturze (rys. 2.10c),

d - droga po linii środkowej przekroju od punktu początkowego do punktu krańcowego (rys. 2.10a),

t(s) - grubość ścianki elementu,

bi, ti - jak we wzorze (2.5).

Po określeniu położenia środka zginania oblicza się wartości współrzędnych wycinkowych dla bieguna w pkt S i punktu początkowego w przyjętym uprzednio pkt M.

Ostateczne wartości pól wycinkowych (główne pole wycinkowe) uzyskuje się dla bieguna w pkt S i punktu początkowego M w głównym punkcie początkowym (zerowym) M0 (rys. 2.10c). Zgodnie z [64], w głównym punkcie zerowymgdzie wycinkowy moment statyczny całego przekroju dla bieguna w pkt S i punktu początkowego w pkt M

(2.8)

W ogólnym przypadku może wystąpić wiele takich punktów początkowych. Wtedy za główny punkt zerowy uznaje się punkt położony najbliżej środka ścinania.

Wartości współrzędnych głównego pola wycinkowegomożna obliczyć również ze wzoru

(2.9)

2.1.3. Wycinkowy moment bezwładności i wycinkowe momenty statyczne

Wycinkowy moment bezwładności i wycinkowy moment statyczny całego przekroju są określone wzorami:

(2.10)

(2.11)

gdzie d - droga po dendrycie przekroju.

Wycinkowy moment statyczny odciętej części przekroju wyraża się w postaci

(2.11a)

Przez odciętą część przekroju rozumie się część położoną po jednej stronie punktu o współrzędnej s.

Ekstremalne wartości wycinkowych momentów statycznych występują w punktach zerowych głównej współrzędnej wycinkowej.

Znak wycinkowych momentów statycznych na j-tym odcinku linii środkowej przekroju zależy od tego, w jaki sposób zostanie obrany kierunek przyrostu dodatniej współrzędnej s (rys 2.10a). Wybór tego kierunku jest dowolny. Znak ten wskaże, czy zwrot wycinkowego naprężenia stycznego w punkcie o współrzędnej s będzie zgodny z tym kierunkiem, czy przeciwny [53].

Szczegółowy algorytm wyznaczania geometrycznych charakterystyk otwartych przekrojów cienkościennych przedstawiono w liczbowym przykładzie w pkt 2.1.4.

2.1.4. Przykładowe obliczenia charakterystyk przekroju cienkościennego

Obliczyć charakterystyki przekroju cienkościennego dla danych jak na rysunku 2.11. W przykładzie przyjęto wymiary zgodne z przykładem 1-1 w [7], co ułatwi interpretację innych przykładów zawartych w [7].

Rys. 2.11. Przekrój cienkościenny (wymiary w cm)

Pole powierzchni

Położenie środka ciężkości:

Momenty bezwładności względem osi ? i ?:

Moment odśrodkowy

Położenie głównych centralnych osi bezwładności

a stąd oraz .

Główne centralne momenty bezwładności:

Współrzędne charakterystycznych punktów przekroju zestawiono w tabeli 2.1 i na rysunku 2.12.

Tabela 2.1. Współrzędne charakterystycznych punktów przekroju

W układzie osi ?, ? [cm]

Współrzędna

punkty przekroju

1

2

3

4

5

6

?

-7,923

-1,923

14,077

-7,923

-1,923

4,077

?

-11,965

-11,965

-11,965

17,035

17,035

17,035

W układzie osi y, z [cm]

Współrzędna

punkty przekroju

1

2

3

4

5

6

y

-9,9256

-4,0214

11,7233

-4,7653

1,1389

7,0431

z

-10,3642

-11,4319

-14,2789

18,1729

17,1053

16,0377

Rys. 2.12. Wykresy współrzędnych przekroju

Współrzędne poszczególnych punktów przekroju w układzie osi y,z obliczono ze wzorów:

Współrzędne wycinkowe dla bieguna B i punktu początkowego M w punkcie 2

Współrzędne punktu B (rys. 2.12 i 2.13):

yB = -4,0214 cm, zB = -11,4319 cm.

Współrzędne wycinkowe dla bieguna i punktu początkowego w pkt B:

wymiary przekroju - patrz rysunek 2.11.

Wartości wycinkowych momentów odśrodkowychoraz uzyskuje się przez przemnażanie wykresów: (rys. 2.13), y, z (rys. 2.12) oraz b i t (rys. 2.11):

Rys. 2.13. Współrzędne wycinkowe dla bieguna B i punktu początkowego M w pkt 2

Współrzędne środka zginania w układzie osi y, z:

Współrzędne środka zginania w układzie osi ?, ?:

Współrzędne wycinkowe dla bieguna w pkt S i punktu początkowego M w pkt 2:

Rys. 2.14. Charakterystyki przekroju: a) środek zginania - pkt S, b) współrzędne wycinkowe dla bieguna w pkt S oraz pkt M przyjętego w pkt 2

Wycinkowy moment statyczny całego przekroju dla bieguna w pkt S i punktu początkowego M w pkt 2

Ostateczne wartości współrzędnych wycinkowych uzyskuje się dla bieguna w pkt S i głównego punktu początkowego M. Zgodnie z [64], w głównym punkcie zerowym Zgodnie z wykresem (rys. 2.14), w analizowanym przykładzie występują trzy punkty o współrzędnej wycinkowej na górnej i dolnej stopce oraz na środniku.

Wartości głównych współrzędnych wycinkowych oblicza się ze wzoru

Wycinkowy moment bezwładności

Wycinkowe momenty statyczne odciętej części przekroju określono ze wzoru

Ekstremalne wartości wycinkowych momentów statycznych odciętej części przekroju występują w punktach zerowych głównej współrzędnej wycinkowej.

Rys. 2.15. Charakterystyki przekroju: a) główne współrzędne wycinkowe, b) wycinkowe momenty statyczne odciętej części przekroju

Przy wzroście współrzędnej s z pkt 1 do 2, zgodnie z przyjętym na rysunku 2.15b dodatnim kierunkiem s, równanie współrzędnej ? ma postać

Częścią odciętą przekroju będzie część półki od pkt 1 do punktu o współrzędnej s. A zatem

dla s = 6 cm,

Dla odcinka 3-2, przy wzroście współrzędnej s od pkt 3 do pkt 2

Współrzędna s zwiększa się w przeciwnym kierunku do zadeklarowanego na rysunku 2.15b jako dodatni, więc

Dla s = 12,205 cm,

Przy s = 16 cm,

Dla środnika w pkt 2 jako odciętą części przekroju przyjęto półkę 1-3

Przy kierunku s od pkt 1 do pkt 3 zgodnym z przyjętym na rysunku 2.15b jako dodatni

Dla środnika od pkt 2 do pkt 5

Odciętą częścią przekroju jest półka i część środnika od pkt 2 do pkt s. A zatem

Położenie punktu ekstremalnego wystąpi w miejscu zerowej współrzędnej wycinkowej (rys. 2.15a). Można go też uzyskać, przyrównując pochodną równania na do zera.

Dla s = 24,254 cm,

W punkcie 5, dla s = 29 cm,

Dla odcinka 4-5

Kierunek współrzędnej s jest zgodny z dodatnim kierunkiem przyjętym na rysunku 2.15. A zatem

Dla s = 6 cm,

Dla odcinka 6-5

Kierunek s od pkt 6 do pkt 5 jest przeciwny w stosunku do przyjętego na rysunku 2.15 jako dodatni. A zatem

Dla s = 6 cm,

Dla s = 5,895 cm,

2.1.5. Równania różniczkowe równowagi pręta

Założenia teorii prętów cienkościennych odpowiadają założeniom klasycznej, liniowej teorii sprężystości. Przyjmuje się, że materiał jest liniowo-sprężysty, izotropowy i jednorodny oraz zakłada, że przemieszczenia są małe w porównaniu z wymiarami poprzecznymi pręta, a odkształcenia są małe w porównaniu z 1,0 [80].

Teoria Własowa jest oparta na dwóch zasadniczych założeniach kinematycznych:

1) linie środkowe przekrojów poprzecznych pręta ulegają deformacji tylko w kierunku osi x, gdzie x jest podłużną osią pręta - jest to tzw. hipoteza sztywnego przekroju poprzecznego, która oznacza, że rzut przekroju na płaszczyznę prostopadłą do osi pręta nie ulega zmianie; spełnienie tego warunku jest możliwe przy dostatecznie grubych i usztywnionych ściankach lub też przy dostatecznie gęsto rozmieszczonych przeponach, lub innych usztywnieniach przekroju poprzecznego zapobiegających jego dystorsji;

2) odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej są równe zeru, tzn. ?xs= 0; miarą tego odkształcenia jest zmiana kąta prostego między liniami o współrzędnych x = const, s = const - patrz układ lokalny krzywoliniowy x,s,n na rysunku 2.10b; założenie to jest spełnione tylko w przypadku skręcania swobodnego, przy którym naprężenia styczne na linii środkowej przekroju poprzecznego są równe zeru; w przypadku nieswobodnego skręcania naprężenia styczne na linii środkowej nie są równe zeru, okazuje się jednak, że odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej są tak małe, że ich wpływ na rozkład naprężeń wzdłuż osi pręta można pominąć [53].

W teorii prętów cienkościennych nie obowiązuje zasada de Saint Venanta, w myśl której przyjmuje się, że jeśli obciążenie przyłożone na niewielkiej powierzchni, w stosunku do całej powierzchni przekroju, zostanie zastąpione innym statycznie równoważnym obciążeniem, to naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia pozostają takie same z wyjątkiem niewielkiego obszaru zawierającego obciążone pole [64] (rys. 2.16).

Rys. 2.16. Obciążenie elementu cienkościennego przy wypadkowej sile osiowej N = 0

Zgodnie z [53] różniczkowe równania równowagi pręta, przy oznaczeniach jak na rysunku 2.17 oraz biegunie w środku zginania S i pkt M w głównym punkcie początkowym mają postać:

(2.12)

gdzie:

ux - przemieszczenie zerowych punktów współrzędnych wycinkowych przekroju wzdłuż osi x,

uy, uz - przemieszczenia środka zginania (skręcania) wzdłuż osi y i z,

?s - kąt obrotu przekroju względem środka zginania (skręcania) S,

qx, qy, qz, ms, my, mz - sprowadzone obciążenie zewnętrzne pobocznicy pręta p(x,s) do środka zginania,

pl,x, pp,x - wypadkowe naprężeń stycznych rozłożonych na płaszczyznach brzegowych: lewej i prawej.

Rys. 2.17. Siły przekrojowe i obciążenie

Gdy obciążenie zewnętrzne pobocznicy pręta nie ma składowych w kierunku osi x, to znaczy jeśli we wszystkich punktach powierzchni środkowej px(x,s) = 0 oraz jeśli obciążenie krawędziowe pl,x = pp,x = 0, to równania mają postać:

(2.12a)

W wyniku rozwiązania pierwszego równania (2.12) uzyskuje się przemieszczenia ux(x) zerowych punktów współrzędnych wycinkowych przekroju wzdłuż osi x. Równanie drugie i trzecie układów (2.12) i (2.12a) są to równania zginania i określają przemieszczenia uy(x) i uz(x) środków zginania w poszczególnych przekrojach pręta. Równanie czwarte opisuje skręcanie pręta i pozwala na określenie kątów obrotów poszczególnych przekrojów względem środka zginania.

W wyniku rozwiązania tych równań uzyskuje się funkcje ux(x), uy(x), uz(x) oraz ?s(x), które wykorzystuje się do określenia odkształceń, sił przekrojowych i naprężeń.

2.1.6. Odkształcenia i naprężenia normalne, siły przekrojowe

Odkształcenia ?x w punktach leżących na powierzchni środkowej można obliczyć ze wzoru [53], [80]

.

(2.13)

Z pierwszego założenia Własowa wynika, że odkształcenie Pierwszy wyraz z prawej strony wzoru (2.13) wynika z równoległego przesunięcia przekroju wzdłuż osi x. Wyrazy drugi i trzeci ujmują wpływ obrotów przekroju względem osi z i y, a ostatni wyraz - wpływ spaczenia.

W teorii Własowa przyjmuje się, że naprężenia normalne ?x na grubości ścianki są stałe. Oblicza się je dla środkowej linii przekroju

(2.14)

gdzie oraz ? - współczynnik Poissona.

Siły wewnętrzne definiuje się w postaci:

(2.15)

W przypadku bieguna w pkt S i głównego punktu początkowego M w głównym punkcie zerowym:

(2.16)

Podstawiając czwarte równanie (2.16) do czwartego równania (2.12a), uzyskuje się

(2.16a)

Równanie (2.16a) stosuje się wtedy, gdy dane są statyczne warunki brzegowe, a czwarte równanie układu (2.12a) jest dogodniejsze przy kinematycznych warunkach brzegowych. Bimoment B?, podobnie jak pozostałe siły wewnętrzne, jest funkcją zmiennej x. Jego wymiarem jest jednostka siły przemnożona przez kwadrat jednostki długości (kNm2).

Najczęściej stosowane kinematyczne warunki podparcia przedstawiono na rysunku 2.18, gdzie jako MT oznaczono zewnętrzny moment skręcający.

Rys. 2.18. Warunki podparcia prętów cienkościennych [22] (porównaj też rys. 2.6)

Statyczne warunki brzegowe występują w tych przypadkach, gdy jest znany rozkład naprężeń normalnych na końcu pręta, na przykład przy obciążeniu jak na rysunku 2.19, dla którego wartość brzegowa bimomentu zgodnie z jego definicją wynosi (patrz wyrażenie 4 w układzie (2.15))

(2.16b)

gdzie współrzędna wycinkowa w pkt A.

Rys. 2.19. Obciążenie skupione na końcu pręta [22]

Wzór na naprężenia normalne w zależności od sił wewnętrznych N, My, Mz i B? oraz uogólnionych współrzędnych y, z i ? odniesionych do linii środkowej przekroju (rys. 2.20) uzyskuje się po podstawieniu (2.16) do (2.14)

(2.17)

Pierwsze znane trzy składniki tego wzoru przedstawiające naprężenia normalne w przekroju obciążonym siłą osiową i składowymi momentów zginających zostały określone na podstawie hipotezy płaskich przekrojów, a ostatni składnik to naprężenia normalne wywołane spaczeniem przekroju spowodowanym nieswobodnym skręcaniem. Składnik ten tworzy układ naprężeń samorównoważących się, tzn. siła normalna i momenty zginające pochodzące od tych naprężeń zawsze są równe zeru. Naprężenia te są nazywane wycinkowymi naprężeniami normalnymi ??, a iloczyn nazywa się wycinkową sztywnością spaczenia przekroju.

Rys. 2.20. Naprężenia normalne w cienkościennym przekroju dwuteowym

W teorii Własowa przyjmuje się, że naprężenia normalne ?x na grubości ścianki są stałe, a zatem naprężenia określone ze wzoru (2.17) dla jego linii środkowej obowiązują na całej grubości ścianek.

2.1.7. Naprężenia styczne, siły przekrojowe

Teoria Własowa, podobnie jak teoria prętów zwartych, jest niekonsekwentna w zakresie drugiego założenia, na podstawie którego można wnioskować, że naprężenia styczne ?xs = 0. Wtedy jednak nie byłyby spełnione równania równowagi dla elementu jak na rysunku 2.21.

Rys. 2.21. Element o wymiarach dx.ds.t(s)

Z sumy rzutów na oś x wyprowadza się wyrażenie na średnie naprężenia styczne (stałe na grubości ścianki) w punkcie o współrzędnej s linii środkowej przekroju [53]

(2.18)

gdzie:

obciążenie liniowe na krawędzi w pkt s = 0,

składowa x zewnętrznego obciążenia powierzchniowego w pkt od 0 do s,

pole powierzchni przekroju na długości 0-s dendrytu przekroju,

momenty statyczne odciętej części przekroju w pkt s,

wycinkowy moment statyczny odciętej części przekroju dla pkt s.

Wyrażenie (2.18), można doprowadzić do postaci [53]

(2.19)

gdzie:

wypadkowa obciążeń podłużnych działających na całym dendrycie przekroju (porównaj rys. 2.10b),

siły poprzeczne definiowane jako pochodne momentów zginających.

Pierwszy składnik wzoru (2.19) wynika z brzegowych obciążeń pręta na krawędzi s = 0, drugi - ze składowej w kierunku osi x powierzchniowego obciążenia pręta, a trzeci zależy od pochodnej siły osiowej. Dwa kolejne wyrazy ujmują wpływ sił poprzecznych. Ostatni wyraz przedstawia naprężenia styczne spowodowane nieswobodną deplanacją przekroju. Nazywa się je wycinkowymi naprężeniami stycznymi

(2.20)

Ich wypadkowa jest nazywana momentem giętno-skrętnym

(2.21)

Pozostałe zależności między siłami wewnętrznymi mają postać:

(2.22)

Całkowity moment skręcający МT jest sumą momentu giętno-skrętnego M? i momentu czystego skręcania Ms

MT = M? + Ms,

(2.23)

gdzie

Wzór na średnie naprężenia styczne, przy braku obciążeń pręta wzdłuż jego osi, przyjmuje postać

(2.24)

Przykładowy rozkład średnich naprężeń stycznych dla ceownika przedstawiono na rysunku 2.22.

Rys. 2.22. Rozkład średnich naprężeń stycznych w ceowniku; a) od poziomej składowej obciążenia poprzecznego, b) od składowej pionowej obciążenia poprzecznego, c) od momentu giętno-skrętnego

Na naprężenia styczne, równomiernie rozłożone na grubości ścianki, od momentu giętno-skrętnego M? nakładają się naprężenia styczne od swobodnego skręcania momentem Ms, zmieniające się liniowo na grubości ścianki, których ekstremalne wartości oblicza się ze wzoru (porównaj rys. 2.9b oraz d)

(2.25)

Przykładowy rozkład naprężeń w przekroju dla przypadku swobodnego skręcania przedstawiono na rysunku 2.23. Maksymalna wartość naprężeń od swobodnego skręcania wystąpi w ściance o największej grubości.

W dostępnej literaturze technicznej można znaleźć wiele rozwiązań układu równań (2.12) dla różnych przypadków obciążeń i różnych warunków brzegowych, na przykład [7], [30], [53], [63], [64], [67]. Korzystając z tych rozwiązań, można uzyskać wzory na bimomenty, momenty giętno-skrętne, momenty swobodnego skręcania oraz kąty obrotu dla prętów cienkościennych.