1Ogólne zasady projektowania powłok z uwagi na stateczność
Jakub Marcinowski
1.1. Wstęp
Korzyści wynikające z zastosowania w konstrukcji zakrzywionego płata powierzchniowego (powłoki) były znane od dawna. Współcześnie stosowane metody obliczeniowe, materiały i technologie kształtowania elementów konstrukcyjnych sprawiły, że ten typ konstrukcji stosowany jest relatywnie często. Niestety konstrukcje powłokowe takie jak zbiorniki, zasobniki czy silosy należą do konstrukcji cechujących się dużą awaryjnością. Główną przyczyną większości awarii jest utrata stateczności. Kryterium wyboczeniowe, jako decydujące, jest głównym przedmiotem rozważań zamieszczonych w tym rozdziale.
Płaski płat powierzchniowy, płyta, charakteryzuje się dużą wiotkością i relatywnie małą zdolnością do przenoszenia obciążeń działających poprzecznie do jego powierzchni środkowej (rys. 1.1a). Zakrzywienie płata powierzchniowego pozwala uzyskać istotny wzrost jego zdolności do przenoszenia obciążeń zewnętrznych (rys. 1.1b). Ten zabieg ma też swoje konsekwencje: w powierzchni środkowej tak utworzonego, zakrzywionego płata powierzchniowego, nazywanego powłoką, powstają ściskające siły błonowe, które mogą doprowadzić do utraty stateczności. Relatywnie mała grubość powłok metalowych oraz obecność naprężeń ściskających i ścinających (rys. 1.1c) sprzyjają utracie stateczności, która może przyjmować różny charakter.
Rysunek 1.1. Efekt zakrzywienia płata powierzchniowego
Lokalna, miejscowa utrata stateczności nie musi skutkować utratą zdolności do przenoszenia obciążeń zewnętrznych (rys. 1.2). W pewnych przypadkach może wręcz prowadzić do wzmocnienia konstrukcji.
Rysunek 1.2. Miejscowa utrata stateczności w zbiornikach walcowych na wino (https://shellbuckling.com/presentations/buckledShells/pages/page_13.html)
Najbardziej niebezpieczne są formy, które skutkują natychmiastową redukcją nośności i prowadzą do globalnej katastrofy budowlanej. Konsekwencje utraty stateczności stożkowego odcinka podpory wieżowego zbiornika na wodę po pierwszym jego wypełnieniu pokazano na rys. 1.3. Na rysunku 1.4 pokazano wyboczenie rury poddanej zginaniu, a na rys. 1.5 i 1.6 przykłady awarii silosów na materiały sypkie, spowodowanych utratą stateczności.
Rysunek 1.3. Zniszczenie wieżowego zbiornika na wodę (https://shellbuckling.com/presentations/buckledShells/pages/page_6.html)
Rysunek 1.4. Wyboczenie rury poddanej zginaniu (http://karamanos.mie.uth.gr/index.php/structural-integrity-of-steel-hydrocarbon-pipelines-with-local-wall)
Rysunek 1.5. Awaria silosu z kukurydzą (http://farminjuryresource.com/2018/04/18/grain-silo-accident-kills-father-and-son/)
Rysunek 1.6. Zniszczenie silosu spowodowane wystąpieniem podciśnienia (http://www.silosupplier.com/how-to-prevent-steel-silo-collapse/)
Poprawne zaprojektowanie metalowej konstrukcji powłokowej, zbiornika, silosu, rurociągu, polega na niedopuszczeniu do wystąpienia utraty stateczności w jakiejkolwiek formie. To kryterium jest eksponowane w normach przedmiotowych dotyczących projektowania stalowych konstrukcji powłokowych: PN-EN 1993-3-2 - kominy [N10], PN-EN 1993-1-6 - konstrukcje powłokowe [N6], PN-EN 1993-4-1 - silosy [N11], PN-EN 1993-4-2 - zbiorniki [N12], PN-EN 1993-4-3 - rurociągi [N13].
W podrozdziałach 1.2, 1.3 i 1.4 zaprezentowano materiały dotyczące utraty stateczności wybranych przypadków obciążenia powłok walcowych, stożkowych i sferycznych. Poza klasycznymi rozwiązaniami problemu stateczności początkowej tych powłok najczęściej spotykanych w praktyce inżynierskiej przedstawiono także sposób oszacowania ich nośności wyboczeniowej zgodnie z zaleceniami normy PN-EN 1993-1-6 [N6].
W podrozdziale 1.5 przedstawiono w możliwie szerokim zakresie reguły sprawdzania nośności powłok zgodnie ze stanami granicznymi zdefiniowanymi w normie PN-EN 1993-1-6 [N6]. Najbardziej uniwersalną metodą szacowania nośności wyboczeniowej powłok dowolnego kształtu jest metoda określana w normie skrótem GMNIA (ang. geometrically and materially nonlinear analysis with imperfections explicitly included). W punkcie 1.4.5 zamieszczono obszerny przykład zastosowania analiz GMNIA do oszacowania nośności wyboczeniowej wycinka powłoki sferycznej obciążonego ciśnieniem.
Zamieszczone w tym rozdziale ogólne i szczegółowe zasady projektowania konstrukcji powłokowych ze względu na kryterium stateczności, w zamiarze autora, powinny stanowić cenną pomoc dla projektantów zbiorników, silosów czy rurociągów. Zagadnienia te będą przedmiotem rozważań zawartych w kolejnych rozdziałach tej monografii.
1.2. Nośność wyboczeniowa powłoki walcowej
1.2.1. Powłoka walcowa poddana ściskaniu osiowemu
1.2.1.1. Wprowadzenie
Problem wyboczenia powłoki walcowej ściskanej osiowo (rys. 1.7) jest bodaj pierwszym rozwiązaniem analitycznym z zakresu stateczności sprężystej powłok znanym od wczesnych lat 20. XX wieku (R. Lorentz [13] i [14], S. Timoshenko [24], R.V. Southwell [23]). To klasyczne rozwiązanie zaczerpnięte z monografii Timoshenko i Gere [25] oraz Flügge [9] przedstawione jest w kolejnym punkcie 1.2.1.2.
Projektant bardzo często musi zmierzyć się z koniecznością oszacowania nośności powłoki walcowej ściskanej wzdłużnie. W przypadku względnie smukłych powłok walcowych to właśnie kryterium stateczności rozstrzyga o nośności. Znajomość klasycznego rozwiązania problemu stateczności stanowi istotne wskazanie co do poziomu nośności, ale jest oczywiście niewystarczająca. Konieczne jest sięgnięcie po zalecenia projektowe (norma PN-EN 1993-1-6 [N6],
Rysunek 1.7. Ściskana wzdłużnie powłoka walcowa
EDR 5th [6]), gwarantujące bezpieczne projektowanie, a sformułowane na podstawie doświadczeń wielu projektantów i wyników prac naukowych wielu ośrodków zajmujących się tą dziedziną.
Aby wyeksponować najważniejsze problemy związane ze statecznością powłok walcowych ściskanych osiowo, rozważymy pewien przypadek szczególny powłoki tego kształtu. Na wstępie wyznaczymy obciążenie krytyczne i określimy formę wyboczenia rozważanej powłoki. Problem stateczności początkowej rozwiążemy najpierw metodą analityczną (p. 1.2.1.2), z wykorzystaniem procedury odpowiadającej ściśle propozycji Flüggego [9] łącznie z graficznym sposobem wyznaczenia obciążenia krytycznego z krzywej girlandowej. Obciążenie krytyczne wyznaczymy także numerycznie (p. 1.2.1.3) z wykorzystaniem systemu COSMOS/M [7], [32] z opcją wyboczenia początkowego (ang. linear buckling analysis, LBA). W punkcie 1.2.1.4 oszacowano nośność wyboczeniową rozważanej powłoki na podstawie aktualnej normy PN-EN 1993-1-6 [N6] i zaleceń projektowych ECCS EDR 5th [6]. W punkcie 1.2.1.5 przedstawiono także wyniki autorskich badań eksperymentalnych trzech powłok walcowych podpartych przegubowo, zgodnie z warunkami uwzględnionymi w klasycznym rozwiązaniu Lorentza, Timoshenki i Southwella. Otrzymaną w eksperymencie nośność skonfrontowano z miarą nośności wynikającą z zaleceń projektowych EDR 5th [6].
Na koniec w p. 1.2.1.6 rozważona jest w pełni nieliniowa analiza stateczności ściskanych osiowo powłok walcowych. Zaprezentowano zbiorcze wyniki badań powłok zrealizowanych na przestrzeni wielu lat XX i XXI wieku. Na ich tle wyeksponowano trafność zaleceń normowych w odniesieniu do trzech różnych klas jakości wykonania powłoki.
1.2.1.2. Stateczność powłoki walcowej ściskanej osiowo. Rozwiązanie analityczne
Prezentowany poniżej tok postępowania, oparty na rozwiązaniu analitycznym, zaczerpnięto z monografii Flügge [9]. Prezentowane w [9] równania stateczności powłoki walcowej zostały wyprowadzone przy założeniu wystąpienia dodatkowych przemieszczeń korespondujących z poszukiwaną formą wyboczenia. Założenie to sprawia, że warunki równowagi płata powierzchni powłoki, w którym działają siły stanu błonowego, muszą być uzupełnione o dodatkowe człony niewystępujące przy założeniu zasady zesztywnienia. Oznacza to zastosowanie teorii drugiego rzędu, co jest konieczne w przypadku rozwiązywania problemów stateczności.
Rozwiązanie polega na znalezieniu mnożnika obciążenia referencyjnego, przy którym pojawi się inna niż początkowa forma deformacji. Podstawą prezentowanego tu rozwiązania jest założenie, że do chwili wyboczenia powłoka zachowa swój pierwotny kształt gładkiego walca, a w chwili wyboczenia jej powierzchnia walcowa ulegnie deformacji, przyjmując n półfal w kierunku wzdłużnym i m pełnych fal w kierunku obwodowym. W przypadku wyłącznego działania siły osiowej P (precyzyjniej: rozłożonego obciążenia krawędziowego działającego w kierunku południkowym) (rys. 1.7) rozwiązanie prezentowane w postaci bezwymiarowego obciążenia osiowego q2 przyjmuje postać następującą (por. równanie (7-13) z [9]):
(1.1)
gdzie
(1.2)
t - grubość powłoki, l - długość powłoki walcowej, a - promień powłoki walcowej, n - liczba półfal na długości powłoki, m - liczba pełnych fal na obwodzie, P - rozłożone obciążenie południkowe (rys. 1.7), E - moduł Younga, ? - współczynnik Poissona.
Dla ustalonej geometrii powłoki (znane l, a i t) oraz materiału (znane E i ?) wartość q2 zależy od pary liczb całkowitych m i n. Oczywiście poszukiwana jest minimalna wartość q2.
W prezentacji wyników wykorzystamy nową zmienną pomocniczą x zależną od liczby półfal n
(1.3)
Dalsze szczegółowe rozważania oparte są na następujących danych geometrycznych i materiałowych powłoki: E = 193 GPa, ? = 0,3, l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm (por. rys. 1.7). Dla tych danych zmienna x przyjmuje wartość l/(na) = 2/n.
Na rysunkach 1.8 i 1.9 pokazano charakterystyki q2 dla m z przedziału 0 do 15 w funkcji zmiennej x = 2/n. Rysunek 1.8 wykonano, korzystając ze skali logarytmicznych, natomiast rys. 1.9 dla lepszej czytelności wykonano, skalując obie osie w zmiennych rzeczywistych.
Rysunek 1.8. Zbiór rozwiązań dla różnych m w funkcji zmiennej x
Rysunek 1.9. Krytyczne wartości q2. Szczegół z rys. 1.8
Wyznaczenie obciążenia krytycznego polega na znalezieniu takiej pary liczb całkowitych m i n, dla której wartość q2 jest minimalna. Wykresy i obliczenia wykonano z wykorzystaniem pakietu MathematicaTM (S. Wolfram [26]).
Warto zwrócić uwagę, że wprowadzenie zmiennej x w postaci (1.3) oznacza, że mamy do czynienia ze zmienną całkowitą (n jest liczbą półfal na długości cylindra) i wykres należałoby zakończyć dla x = 2 (wtedy n = 1), uwzględniając jego dyskretne wartości dla kolejnych n. Sekwencję najniższych wartości q2 i odpowiadające im liczby m i n pokazano na rys. 1.9.
Otrzymane wartości krytyczne bezwymiarowej siły osiowej q2 przedstawiono w tablicy 1.1 wraz z liczbą pełnych fal na obwodzie m i liczbą półfal na długości n. W tablicy tej podano również wartości rozłożonego obciążenia osiowego P powłoki oraz krytycznych naprężeń wzdłużnych.
Tablica 1.1. Otrzymane wartości krytyczne i formy wyboczenia
Wyniki
Numer formy
1
2
3
4
m, n
8, 1
11, 2
13, 3
15, 4
q2-103
1,0713
1,0860
1,0904
1,0959
P = q2-D [kN/m]
90,88
92,13
92,50
92,97
?x,cr = P/t [MPa]
227,21
230,33
231,26
232,43
Z rozwiązania tego wynika (rys. 1.9), że q2cr = 1,0713 - 10-3, a forma wyboczenia odpowiada jednej półfali na długości i ośmiu falom na obwodzie.
Otrzymana minimalna wartość q2 jest poszukiwanym obciążeniem krytycznym, a para m i n określa formę wyboczenia korespondującą z pierwotnym punktem bifurkacji, mamy tu do czynienia bowiem z bifurkacyjną utratą stateczności (por. J. Marcinowski [15]).
Obciążenie rozłożone działające na krawędź powłoki wyznaczyć można z zależności
(1.4)
a południkowe naprężenia krytyczne określić jako
(1.5)
Wartości P i ?x,cr podano w tablicy 1.1 dla pierwszej i kolejnych form wyboczenia. Cztery pierwsze formy wyboczenia pokazano na rys. 1.10. Wygenerowano je w programie MathematicaTM [26].
Rysunek 1.10. Cztery pierwsze formy wyboczenia
Sekwencja rozwiązań przedstawionych na rys. 1.8 pokazuje, że dla większej liczby n półfal na długości powłoki bezwymiarowe obciążenie wzdłużne q2 przyjmuje niemal stałą wartość. Rozważania przedstawione w monografii Flügge [9] przekonują, że dla powłok walcowych, których geometria spełnia warunki
(1.6)
można przyjąć
(1.7)
Powłoka, która jest przedmiotem szczegółowych rozważań, spełnia warunek (1.6) dla n > 4, gdyż l/a = 400/200 = 2. Zgodnie ze wzorem (1.5) otrzymuje się następujące wyrażenie na krytyczne naprężenia wzdłużne:
(1.8)
Dla ? = 0,3 wzór ten przyjmuje postać
(1.9)
Jest to znany z literatury wzór na przybliżoną wartość naprężenia krytycznego (prawdziwy dla powłok z materiału o współczynniku Poissona ? = 0,3) (por. [9], [25]). Można go zastosować dla przypadku analizowanej powłoki
(1.10)
Jest to wartość o ok. 2,6% większa od wartości ścisłej wyznaczonej wyżej (wzór (1.5)). Przytoczone rozwiązanie potwierdza, że wzór (1.9) może być stosowany w praktyce inżynierskiej. Wzór ten jest wykorzystywany w normie PN-EN 1993-1-6 [N6] z korektą wynikającą z długości powłoki i jej warunków podparcia.
1.2.1.3. Stateczność powłoki walcowej ściskanej osiowo. Rozwiązanie numeryczne
W celach porównawczych problem stateczności początkowej rozważanej powłoki rozwiązano także numeryczne za pomocą systemu COSMOS/M [7], [32] bazującego na metodzie elementów skończonych. W tym celu zamodelowano jedynie połowę cylindra, przyjmując odpowiednie warunki brzegowe na płaszczyźnie symetrii przyjętej w połowie wysokości cylindra (warunki symetrii albo antysymetrii) oraz na jego górnej krawędzi. Przyjęto dane geometryczne i materiałowe wykorzystane w rozwiązaniu analitycznym przedstawionym w p. 1.2.1.2.
Wyznaczone numerycznie wartości naprężeń krytycznych oraz korespondujące z nimi formy wyboczenia przedstawiono w tablicy 1.2. Na rysunku 1.11 przestawiono trzy pierwsze formy wyboczenia analizowanej powłoki.
Tablica 1.2. Naprężenia krytyczne i formy wyboczenia otrzymane numerycznie
Numer formy
1
2
3
?cr [MPa]
228,6
232,6
232,3
m, n
8, 1
11, 2
13, 3
Rysunek 1.11. Trzy pierwsze formy otrzymane numerycznie
Zgodność z rozwiązaniem analitycznym, dla trzech pierwszych form wyboczenia, zarówno co do wartości ciśnienia krytycznego, jak i co do formy jest bardzo dobra.
Przedstawiony przykład symulacji numerycznych dla konkretnej powłoki walcowej potwierdza, że tą metodą można skutecznie rozwiązywać problem stateczności początkowej nie tylko powłok walcowych, ale także powłok o innych kształtach spotykanych w praktyce inżynierskiej. Nakład związanej z tym pracy jest niemały, ale to podejście gwarantuje, że także w przypadkach powłok, dla których brak jest rozwiązań analitycznych, problem stateczności początkowej można rozwiązać.
1.2.1.4. Oszacowanie nośności wyboczeniowej powłoki walcowej ściskanej osiowo na podstawie zaleceń normowych
Podany tutaj sposób określenia nośności wyboczeniowej walcowej powłoki ściskanej wzdłużnie jest zgodny z punktem 8.5 normy PN-EN 1993-1-6 [N6] oraz rozdziałem 10.2.2 zaleceń projektowych ECCS EDR 5th [6].
Dane geometryczne i materiałowe powłoki należy uzupełnić o granicę plastyczności materiału fy,k = 241 MPa, która w przypadku problemu stateczności początkowej nie była potrzebna. Przyjmijmy ponadto, że powłokę wykonano zgodnie z wymaganiami dla zwykłej klasy jakości wykonania, czyli dla parametru Q =16 odpowiadającego tej klasie (Table 10.2 z ECCS EDR 5th [6]).
Procedura rozpoczyna się od określenia bezwymiarowego parametru długości powłoki
(1.11)
(1.12)
Warunek, że 1,7 < ? < 250 (warunek (10.3) z ECCS EDR 5th [6]), jest spełniony. Oznacza to, że powłoka jest powłoką średniej długości, a zatem należy przyjąć Cx = 1,0.
Naprężenia krytyczne określa się ze wzoru (10.2) z ECCS EDR 5th [6] (por. (1.9))
(1.13)
Bezwymiarowa smukłość w kierunku tworzącej
(1.14)
gdzie podstawiono fy,k =241 MPa, zgodnie z danymi.
W dalszej kolejności obliczyć należy południkowy, sprężysty współczynnik imperfekcji (wzór (10.14) z ECCS EDR 5th [6])
(1.15)
Przyjmuje się ponadto, zgodnie z zaleceniem EDR 5th: ?x0 = 0,2, ? = 0,6, ? = 1,0 (wzór (10.16) z ECCS EDR 5th [6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (9.6) z ECCS EDR 5th [6]: . Zachodzi ewidentnie ?x > ?x,p , stąd wnioskujemy, że nasz przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (9.5) ECCS EDR 5th [6])
(1.16)
Wartość charakterystyczną naprężeń krytycznych określa się ze wzoru (9.2) z ECCS EDR 5th [6]
(1.17)
a wartość obliczeniową z zależności (9.1) z ECCS EDR 5th [6]
(1.18)
Jest to wartość ponad siedmiokrotnie mniejsza od wartości naprężeń krytycznych wynikającej z rozwiązania problemu stateczności początkowej.
Kształt charakterystyki ?(?) dla rozważanego przypadku powłoki walcowej przedstawiono na rys. 1.12. Wyeksponowano punkt, który definiuje miarę nośności wyboczeniowej powłoki. Hiperbola 1/?2 pokazana na tym rysunku odpowiada stanom krytycznym sprężystej powłoki idealnej. Redukcja wyrażona współczynnikiem ? jest bardzo duża (krzywa zielona) i oddaje faktyczną wrażliwość ściskanej wzdłużnie powłoki walcowej na imperfekcje.
Rysunek 1.12. Krzywa nośności ?(?)
1.2.1.5. Badania laboratoryjne nośności ściskanych wzdłużnie powłok walcowych
Powłoki o danych geometrycznych i materiałowych przedstawionych wyżej poddano także badaniom eksperymentalnym. Na rysunku 1.13 pokazano stanowisko badania nośności na ściskanie walcowych segmentów wykonanych ze stali nierdzewnej. Sposób przekazania obciążenia z górnej ruchomej trawersy maszyny wytrzymałościowej zrealizowano za pomocą sztywnej płyty i trzpienia przegubowego (por. rys. 1.13b). Rozwiązanie to zapewniało równomierny rozkład nacisków na górną krawędź powłoki.
Rysunek 1.13. Stanowisko badawcze. Płyta podstawy (a) oraz pierwsze deformacje poprzeczne powłoki (b)
Aby wyeliminować wstępną owalizację wiotkiej powłoki, na obu krawędziach skrajnych zastosowano wkładki w kształcie krążków o średnicy równej wewnętrznej średnicy walca i grubości 1 mm. Krążki te przyklejano do płyt stalowych, za pomocą których przekazywano naciski na skrajne krawędzie powłoki (rys. 1.13a).
Próby ściskania realizowano w trybie quasi-statycznym. Prędkość pionowego przesuwu górnej głowicy maszyny wytrzymałościowej wynosiła 0,01 mm/s.
Maksymalne siły ściskające, jakie udało się zrealizować w tych próbach, oraz odpowiadające im naprężenia krytyczne przedstawiono w tablicy 1.3. Przykładowy wykres zależności wartości siły ściskającej w funkcji przemieszczeń trawersy maszyny wytrzymałościowej zamieszczono na rys. 1.14. Gwałtowny spadek wartości siły nastąpił w chwili miejscowego wyboczenia górnego fragmentu powłoki. Formę deformacji w fazie całkowitego wyczerpania nośności pokazano na rys. 1.15.
Tablica 1.3. Eksperyment. Siły krytyczne i odpowiadające im naprężenia
Cylinder 1
Cylinder 2
Cylinder 3
Fcr [kN]
15,5
32,1
27,0
?cr [MPa]
30,9
63,9
53,7
Rysunek 1.14. Zależność siła-przemieszczenie dla cylindra nr 3
Rysunek 1.15. Cylinder nr 3 w fazie wyczerpania nośności
Duża rozbieżność zarejestrowanych w eksperymentach naprężeń krytycznych jest spowodowana zapewne istniejącymi, choć nie pomierzonymi, imperfekcjami geometrycznymi badanych powłok. Badania przeprowadzone na trzech pozornie identycznych powłokach potwierdzają bardzo silną wrażliwość ściskanych powłok walcowych na imperfekcje. Tendencję tę eksponują autorzy monografii [9], [11], [37], [39], przywołujący badania eksperymentalne wielu autorów.
Porównajmy wartości naprężeń krytycznych ściskanej powłoki o przyjętej geometrii (l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm) i wykonanej z materiału o parametrach: E = 193 GPa, ? = 0,3, fy = 241 MPa. Zestawienie pokazane w tablicy 1.4 potwierdza, że pozornie niedoszacowana nośność normowa (kolumna 4 w tabl. 1.4) jest bezpieczną miarą nośności wyboczeniowej powłoki walcowej. Naprężenia krytyczne odpowiadające bifurkacyjnej utracie stateczności powłoki idealnej siedmiokrotnie (w tym przypadku) przekraczają tę wartość i za miarę nośności wyboczeniowej oczywiście nie mogą być przyjmowane.
Tablica 1.4. Otrzymane wartości naprężeń krytycznych
Eksperyment
Stateczność bifurkacyjna
(teoria)
Stateczność bifurkacyjna
(rozwiązanie numeryczne)
Oszacowanie normowe
(PN-EN 1993-1-6 [N6])
1
2
3
4
?cr [MPa]
30,9-63,9
227,21
228,6
32,16
Bardzo niska wartość naprężeń krytycznych otrzymana w jednej z prób eksperymentalnych nie podważa poprawności oszacowania normowego, lecz sugeruje, że w tym szczególnym przypadku imperfekcje były większe od dopuszczalnych klasą C jakości wykonania.
1.2.1.6. Stateczność powłoki walcowej ściskanej osiowo - stany pokrytyczne
Rozwiązanie problemu stateczności początkowej zaprezentowane w p. 1.2.1.2 jest wstępnym etapem pełnego rozwiązania problemu stateczności powłoki walcowej ściskanej wzdłużnie. Seria precyzyjnych eksperymentów i coraz bardziej zaawansowane symulacje numeryczne dają pełniejszy i dużo bardziej skomplikowany obraz utraty stateczności tej powłoki (por. [9] i [27]). Na rysunku 1.16 pokazano zależność p(?) (siła osiowa w funkcji zbliżenia krawędzi końcowych powłoki ściskanej wzdłużnie) otrzymaną w efekcie analiz numerycznych fizycznie i geometrycznie nieliniowych oraz w eksperymentach. Liniowa zależność p(?) w zakresie początkowym (odcinek OA na rys. 1.16a) jest oczywista. W punkcie A mamy do czynienia ze zbiorem punktów bifurkacji korespondujących z formami wyznaczonymi w liniowym rozwiązaniu klasycznym. Jest to tzw. klaster rozwiązań, a jest ich tyle, ile form wyboczenia stwierdzono w rozwiązaniu. Próba kontynuacji rozwiązania powyżej punktu A jest niemożliwa. Dalszy przebieg badanego zjawiska zależy od sposobu sterowania eksperymentem faktycznym czy numerycznym. Przy sterowaniu przemieszczeniem, co odpowiada powolnemu ruchowi trawersy maszyny wytrzymałościowej, dojdzie do gwałtownego przeskoku z punktu A do punktu D, przy czym powłoka zdeformuje się w sposób pokazany schematycznie na rys. 1.16a. Dalszemu wzrostowi ? będzie towarzyszył monotoniczny wzrost obciążenia aż do punktu E i wyżej do wyczerpania nośności materiałowej. Gdyby zdecydować się na odciążenie z tego poziomu, przy ciągłym sterowaniu przemieszczeniem, to wędrówka w dół skończy się w punkcie B gwałtownym przeskokiem do punktu F, pod warunkiem, że wcześniej nie doszło do trwałych deformacji plastycznych. Dalsze odciążenie będzie przebiegało po linii prostej w dół od punktu F aż do punktu O, czyli do pełnego odciążenia.
Rysunek 1.16. Zależność obciążenie-przemieszczenie wzdłużne w zakresie przed- i pokrytycznym: a) powłoka idealna, b) powłoka z imperfekcjami wstępnymi
Sterowanie obciążeniem rzadziej jest realizowane w eksperymentach laboratoryjnych, a częściej występuje w realnej konstrukcji. W tym przypadku po osiągnięciu punktu A dojdzie do gwałtownego przeskoku zobrazowanego poziomą linią na wykresie. Osiągnięcie punktu E będzie się wiązało z przyjęciem kształtu zdeformowanego podobnego do kształtu pokazanego na rys. 1.16. Dalszy wzrost obciążenia będzie możliwy aż do wyczerpania nośności materiałowej powłoki. Ewentualne odciążenie będzie przebiegało monotonicznie aż do punktu C. Na tym poziomie dojdzie do gwałtownego przeskoku do punktu G i powrotu do kształtu wolnego od jakichkolwiek zaklęśnięć, pod warunkiem, że w czasie całej histerezy nie doszło do miejscowych, trwałych deformacji plastycznych.
Należy zwrócić uwagę, że na odcinkach OA i CE występują konfiguracje stateczne, natomiast odcinek ABC to zbiór konfiguracji niestatecznych.
Opisy przedstawione powyżej dotyczą ściskania powłoki wolnej od jakichkolwiek imperfekcji. Jest to więc idealizacja niemożliwa do odtworzenia w eksperymencie laboratoryjnym. Faktyczny przebieg ścieżki równowagi, czyli charakterystyki p(?), zależy od wielkości imperfekcji i wygląda tak, jak to naszkicowano na rys. 1.16b liniami przerywanymi (por. [9], [11], [25], [27]) odpowiadającymi różnym amplitudom założonych imperfekcji wstępnych. Zamiast nieosiągalnego, wielokrotnego punktu bifurkacji A pojawia się punkt graniczny A?, i to na tym poziomie dojdzie do gwałtownego przeskoku przy sterowaniu obciążeniowym z punktu A? do punktu E?.
Należy zwrócić uwagę na pewne cechy wspólne ścieżek imperfekcyjnych. Pierwsza z nich dotyczy znacznej redukcji poziomu pierwotnej konfiguracji krytycznej z punktu A (wielokrotny punkt bifurkacji powłoki idealnej) do punktu A? - górnego punktu granicznego. Dolny punkt graniczny zmienia swoje położenie z pozycji C do pozycji C? i jest to relatywnie niewielka zmiana. Równie niewielkiemu przesunięciu ulega gałąź pokrytyczna C?E?, co świadczy o niewielkim wpływie amplitudy imperfekcji na przebieg ścieżki równowagi w tym zakresie.
Zaprezentowany na rys. 1.16b przebieg imperfekcyjnych ścieżek rodzi naturalne pytanie: jaką wielkość przyjąć za miarę nośności wyboczeniowej powłoki? Bezpieczną miarą nośności ściskanej powłoki walcowej może być dolny punkt graniczny C obniżony dodatkowo ze względu na możliwość wystąpienia imperfekcji o amplitudach określonych dla danej klasy jakości wykonania. Nie gwarantuje to jednak bezpiecznego oszacowania nośności dla wszystkich przypadków powłok walcowych. Alternatywą jest procedura zaproponowana najpierw w EDR 5th [6], a następnie wprowadzona do eurokodu PN-EN 1993-1-6 [N6]. Jej trafność potwierdza zestawienie wyników badań pokazane na rys. 1.17, zaczerpniętym z EDR 5th [6].
Rysunek 1.17. Porównanie wyników badań doświadczalnych z zaleceniami normowymi dla trzech różnych klas jakości wykonania (na podstawie EDR 5th [6])
W przypadku przedstawionych wyżej badań powłoki walcowej ?x = 1,016, a dla fy,k = 241 MPa i sił krytycznych otrzymanych w eksperymentach (15,5, 32,1 i 27,0 kN) współczynniki redukcyjne przyjmują wartości ?x = 0,128, 0,265, 0,223. Punkty te naniesiono na wykresie na rys. 1.17. Tylko w jednym przypadku punkt leży nieznacznie poniżej granicy wyznaczonej krzywą C dla zwykłej jakości wykonania. Należy zwrócić uwagę, że we wzorze (1.18) na wartość obliczeniową naprężeń pojawia się współczynnik ?M1 = 1,1, który jeszcze bardziej obniża zalecaną normą nośność wyboczeniową.
Pokazane na rys. 1.17 porównanie dostępnych wyników badań z trzema granicznymi krzywymi normowymi potwierdza, że dla znaczącego zakresu smukłości zalecenia te prowadzą do bezpiecznego oszacowania nośności wyboczeniowej walcowej powłoki ściskanej osiowo. Tę tendencję potwierdziły także wyniki uzyskane dla trzech zbadanych, ściskanych powłok walcowych.
Pewną wątpliwość budzą wyniki otrzymane dla powłok o smukłościach rzędu ?0. Przyczyną jest niejednoznaczne określenie granicy plastyczności w przypadku materiałów nieciągliwych. Dodatkowa seria badań wykonanych przez Herberta Schmidta (por. [21], [22]) na powłokach wykonanych ze stali wykazującej wyraźną granicą plastyczności potwierdziła poprawność założonego przebiegu krzywych A, B i C także w tym zakresie smukłości.
1.2.2. Powłoka walcowa poddana ściskaniu promieniowemu
1.2.2.1. Wprowadzenie
Innym przypadkiem obciążenia wywołującego utratę stateczności powłoki walcowej jest ściskanie równomiernie rozłożonym ciśnieniem promieniowym (rys. 1.18). Jest to przypadek równie często spotykany w praktyce inżynierskiej jak ściskanie osiowe (p. 1.2.1). Jest on przedstawiony najpierw w zakresie klasycznego rozwiązania analitycznego (p. 1.2.2.2), a następnie rozwiązania numerycznego (p. 1.2.2.3). Zalecany normą PN-EN 1993-1-6 [N6] i przepisami EDR 5th [6] sposób oszacowania nośności wyboczeniowej dla tego przypadku obciążenia powłoki walcowej podano w p. 1.2.2.4.
Rysunek 1.18. Powłoka walcowa ściskana promieniowo
1.2.2.2. Rozwiązanie analityczne
Rozwiązanie analityczne problemu stateczności powłoki walcowej ściskanej promieniowo (rys. 1.18) można znaleźć w monografii Flügge [9]. Jeśli jedynym obciążeniem powłoki jest ciśnienie p działające na pobocznicę walca w kierunku promieniowym, to wyrażenie na krytyczną wartość bezwymiarowego ciśnienia promieniowego q1 przyjmuje postać (por. Flügge [9], s. 439)
(1.19)
We wzorze tym:
(1.20)
gdzie: t - grubość powłoki, l - długość powłoki walcowej, a - promień powłoki walcowej, n - liczba półfal na długości powłoki, m - liczba pełnych fal na obwodzie, p - ciśnienie promieniowe, E - moduł Younga, ? - współczynnik Poissona.
Dalsza szczegółowa analiza jest oparta na danych geometrycznych i materiałowych jak w p. 1.2.1.2: l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm, E = 193 GPa, ? = 0,3. Jak poprzednio (wzór (1.3)) wprowadzamy zmienną pomocniczą
(1.21)
Dla rozważanej powłoki zmienna .
Na rysunku 1.19a przedstawiono rodzinę rozwiązań q1(x) dla różnych wartości m. Ponieważ n jako liczba naturalna nie może być mniejsze od 1, interesujący jest fragment pokazany na rys. 1.19b. Widać wyraźnie, że zdecydowanie najmniejszą wartość q1 otrzymuje się dla n = 1. Wystarczy więc sporządzić wykres q1(m) dla n = 1 (rys. 1.19c). Wyraźne minimum otrzymuje się dla m = 9. Wynosi ono q1 = 3,8277-10-5 (rys. 1.19c).
Rysunek 1.19. Rozwiązanie analityczne. Bezwymiarowe ciśnienie krytyczne w funkcji m i n
Ciśnienie promieniowe otrzymuje się ze wzoru (1.20)
(1.22)
Formę wyboczenia pokazano na rys. 1.20. Przypomina ona tę z rys. 1.10a, ale w kierunku obwodowym pojawia się nie osiem, lecz dziewięć fal, czyli 18 półfal.
Rysunek 1.20. Forma wyboczenia powłoki obciążonej ciśnieniem promieniowym wygenerowana w programie Mathematica [26]
1.2.2.3. Rozwiązanie numeryczne
Problem stateczności powłoki walcowej ściskanej promieniowo można rozwiązać także numerycznie, wykorzystując system COSMOS/M (por. [7] i [N13]). W analizie stateczności początkowej (LBA) wykorzystano te same dane geometryczne i materiałowe. Otrzymana numerycznie wartość ciśnienia krytycznego wyniosła 16,69 kPa, a forma wyboczenia przyjęła postać dziewięciu pełnych fal na obwodzie i jednej półfali na długości (rys. 1.21).
Rysunek 1.21. Forma wyboczenia powłoki obciążonej ciśnieniem promieniowym
Wartość obliczona zgodnie z procedurą Flüggego (pcr = 16,24 kPa) jest bardzo bliska wartości otrzymanej numerycznie (pcr = 16,69 kPa). W pełni zgodne są też otrzymane formy wyboczenia.
1.2.2.4. Oszacowanie nośności wyboczeniowej na podstawie zaleceń normowych
Sposób obliczenia krytycznych naprężeń ścinających w powłoce walcowej poddanej ściskaniu promieniowemu jest podany również w normie PN-EN 1993-1-6 [N6] i EDR 5th [6]. Wzór na naprężenia krytyczne zależy od bezwymiarowego parametru długości ? i przyjmuje formy podane w tablicy 1.5, przy czym
(1.23)
Tablica 1.5. Wzory na obwodowe naprężenia krytyczne
Powłoka krótka
Powłoka średniej długości
Powłoka długa
C?s z tablicy D.4
C? z tablicy D.3
C? z tablicy D.3
Współczynniki C? oraz C?s zależą od warunków podparcia krawędzi powłoki i zostały zestawione w tablicach D.3 i D.4 normy PN-EN 1993-1-6 [N6].
Wzory te można wykorzystać do obliczenia krytycznych naprężeń obwodowych analizowanej powłoki: l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm, E = 193 GPa, ? = 0,3, fy = 241 MPa.
Podstawiamy kolejno:
(1.24)
Ewidentnie zachodzi przypadek powłoki średniej długości (por. tabl. 1.5). Współczynnik C? przyjmuje wartość 1 zgodnie z tablicą D.3 (warunki brzegowe BC2 - czyli przegubowo podparte obie krawędzie, a precyzyjniej przemieszczenie promieniowe blokowane, przemieszczenie południkowe możliwe, obrót względem stycznej do konturu brzegu - możliwy). Obwodowe naprężenia krytyczne oblicza się ze wzoru
(1.25)
Ciśnienie krytyczne korespondujące z tą wartością naprężeń obwodowych jest równe pcr = ??,Rcr-t/r = 15,88 kPa i jest mniejsze niż ciśnienie krytyczne otrzymane w p. 1.2.2.2 metodą analityczną (pcr = 16,24 kPa) i ciśnienie krytyczne otrzymane w p. 1.2.2.3 metodą numeryczną (pcr = 16,69 kPa). Oznacza to, że wzór normowy (1.25) skutkuje zachowawczą oceną nośności wyboczeniowej.
Kolejny krok procedury normowej wymaga obliczenia smukłości obwodowej powłoki ze wzoru
(1.26)
oraz przyjęcia parametrów krzywej wyboczeniowej ?? = 0,5 (dla klasy C, zwykłej jakości wykonania), ??0 = 0,4, ? = 0,6, ? = 1,0 (por. wzór (10.27) z EDR 5th [6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (9.6) z ECCS EDR 5th [6]
(1.27)
Zachodzi ewidentnie ?? > ??,p, stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (9.5) ECCS EDR 5th [6])
(1.28)
Wartość charakterystyczną obwodowej nośności naprężeniowej określa się ze wzoru (9.2) z ECCS EDR 5th [6]
(1.29)
a wartość obliczeniową tych naprężeń z zależności (9.1) z ECCS EDR 5th [6]
(1.30)
Jest to wartość niemal dwukrotnie mniejsza od obwodowych naprężeń krytycznych obliczonych wzorem (1.25).
Ciśnienie promieniowe korespondujące z tą wartością oblicza się ze wzoru
(1.31)
Otrzymana wartość jest miarą nośności wyboczeniowej rozpatrywanej powłoki na działanie ciśnienia promieniowego. Kryterium bezpiecznego projektowania powłoki obciążonej wyłącznie ciśnieniem promieniowym można zapisać w postaci
(1.32)
gdzie pEd jest obliczeniową wartością obciążenia ciśnieniem.
Oczywistym jest, że można dopuścić tylko ciśnienie mniejsze od wartości pRd określonej wzorem (1.31).
1.2.3. Powłoka walcowa poddana skręcaniu
1.2.3.1. Wprowadzenie
Kolejnym przypadkiem obciążenia powłoki walcowej, który może doprowadzić do jej wyboczenia, jest skręcanie. W przedstawionych rozważaniach zakłada się, że jedynym obciążeniem powłoki jest rozłożone obciążenie T działające na krawędź górną powłoki równoważone adekwatną reakcją na krawędzi dolnej (rys. 1.22). Naprężenia styczne występujące w powierzchni środkowej powłoki, podobnie jak naprężenia w płycie ścinanej w jej płaszczyźnie, wywołują rozciągania w jednym kierunku i ściskania w kierunku przeciwnym. Naprężenia ściskające mogą doprowadzić do wyboczenia powłoki, objawiającego się zafalowaniem jej powierzchni z jednoczesnym skręcaniem powstałej struktury.
Rysunek 1.22. Powłoka walcowa skręcana
Podobnie jak poprzednio rozpatruje się kolejno rozwiązanie analityczne (p. 1.2.3.2), rozwiązanie numeryczne (p. 1.2.3.3) oraz normowy sposób oszacowania nośności wyboczeniowej dla tego przypadku obciążenia powłoki walcowej (p. 1.2.3.4).
1.2.3.2. Rozwiązanie analityczne
Przypadek skręcania powłoki walcowej przeanalizowano, korzystając z rozwiązania przedstawionego przez Flügge [9]. W klasycznym rozwiązaniu zakłada się formę wyboczenia w postaci m fal na obwodzie i n półfal na długości powłoki. Flügge wyróżnia dwa odrębne przypadki: przypadek m = 2 i przypadek m = 1. Ten pierwszy jest istotniejszy z praktycznego punktu widzenia i dlatego zanalizowano go szczegółowo.
Bezwymiarowa siła tnąca q3 dla przypadku m = 2 przyjmuje postać
(1.33)
We wzorze tym
(1.34)
gdzie: t - grubość powłoki, l - długość powłoki walcowej, a - promień powłoki walcowej, n - liczba półfal na długości powłoki, T - błonowa siła tnąca, E - moduł Younga, ? - współczynnik Poissona.
W przypadku powłok długich parametr ? przyjmuje bardzo małe wartości. Po pominięciu we wzorze (1.33) wszędzie ?2 wobec jedności (uproszczenie uprawnione dla długich powłok) q3 przyjmie prostszą postać
(1.35)
Minimalizując je względem ? z warunku
(1.36)
otrzymuje się
(1.37)
Podstawiając tę wartość ? do (1.35), otrzymamy
(1.38)
Krytyczne siły styczne otrzymuje się z zależności
(1.39)
a krytyczne naprężenia styczne ze wzoru
(1.40)
Wzór ten podają także Timoshenko i Gere [25], zaznaczając, że jest on prawdziwy dla nieskończenie długiego walca skręcanego o dowolnych warunkach na brzegach końcowych. W monografii Timoshenko i Gere [25] można znaleźć wzory na styczne naprężenia krytyczne dla innych przypadków skręcanych powłok walcowych.
Dla powłok krótkich, sztywno zamocowanych na końcach
(1.41)
Dla powłok krótkich, przegubowo podpartych na końcach
(1.42)
lub alternatywnie, dla powłok krótkich o dowolnie zamocowanych brzegach
(1.43)
W przypadku analizowanej powłoki (l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm, wykonanej z materiału o parametrach: E = 193 GPa, ? = 0,3, fy = 241 MPa) wzory (1.40), (1.41), (1.42) i (1.43) prowadzą do następujących wyników: 4,37 MPa, 48,03 MPa, 43,67 MPa, 43,10 MPa, przy czym ta pierwsza wartość jest nieadekwatna do rozpatrywanego przypadku powłoki skręcanej.
W monografii Grigoliuk i Kabanov [11] rekomendowany jest następujący wzór na styczne naprężenia krytyczne:
(1.44)
oraz następujący wzór na liczbę fal obwodowych:
(1.45)
Wzory te są prawdziwe dla przegubowo podpartych powłok średniej długości, przy czym forma wyboczenia odpowiada jednej półfali na długości.
Podstawienie danych do wzorów (1.44) i (1.45) prowadzi do wyników: ?kr = 45,31 MPa, mkr = 13,87, co oznacza, że możliwe są formy z 13 i 14 falami na obwodzie.
1.2.3.3. Rozwiązanie numeryczne
Warto porównać wyniki otrzymane ze wzorów analitycznych z wynikami numerycznej analizy LBA wykonanej systemem COSMOS/M [7] dla tej samej powłoki. Otrzymany w numerycznej analizie LBA wynik ?kr = 47,46 MPa przewyższa nieco wyniki uzyskane ze wzorów teoretycznych i potwierdza, że wzór normowy (1.49) daje bezpieczne oszacowanie naprężeń krytycznych.
Otrzymaną numerycznie formę wyboczenia rozpatrywanej powłoki walcowej pokazano na rys. 1.23 i 1.24. Liczba 14 fal na obwodzie koresponduje z wynikiem uzyskanym ze wzoru (1.45).
Rysunek 1.23. Powłoka walcowa skręcana. Forma wyboczenia
Rysunek 1.24. Forma wyboczenia skręcanej powłoki walcowej
1.2.3.4. Oszacowanie nośności wyboczeniowej na podstawie zaleceń normowych
Sposób obliczenia krytycznych naprężeń ścinających w powłoce walcowej poddanej skręcaniu jest podany również w normie PN-EN 1993-1-6 [N6]. Wzór na naprężenia krytyczne zależy od bezwymiarowego parametru długości ? i przyjmuje postać
(1.46)
gdzie:
(1.47)
a wartości współczynnika C? należy przyjąć z tablicy 1.6 zaczerpniętej z PN-EN 1993-1-6 [N6].
Tablica 1.6. Wzory na C?
Powłoka krótka
Powłoka średniej długości
Powłoka długa
Wykorzystując podane wzory do obliczenia stycznych naprężeń krytycznych w powłoce walcowej o rozważanej poprzednio geometrii i danych materiałowych: l = 400 mm, a = 200 mm, t = 0,4 mm, E = 193 GPa, ? = 0,3, fy = 241 MPa, otrzymujemy kolejno:
(1.48)
Wartość współczynnika C? należy przyjąć z tablicy 1.6 zaczerpniętej z PN-EN 1993-1-6 [N6].
Zachodzi przypadek powłoki średniej długości (por. tabl. 1.6). Współczynnik C? przyjmuje wartość 1. Styczne naprężenia krytyczne oblicza się ze wzoru
(1.49)
Warto zwrócić uwagę, że wartość stycznych naprężeń krytycznych otrzymana ze wzoru normowego (1.49) jest mniejsza od wartości krytycznych otrzymanych z klasycznych rozwiązań problemu stateczności początkowej powłoki walcowej skręcanej (por. p. 1.2.3.2, ?kr = 43 do 48 MPa) i wartości otrzymanej numerycznie (?kr = 47,46 MPa). Jest to równoznaczne z pewną zachowawczością procedury normowej.
Kolejny krok procedury normowej wymaga obliczenia smukłości postaciowej powłoki ze wzoru
(1.50)
oraz przyjęcia parametrów krzywej wyboczeniowej: ?? = 0,5 (dla klasy C, zwykłej jakości wykonania), ?t0 = 0,4, ? = 0,6, ? = 1,0 (por. wzór (10.38) z EDR 5th [6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (9.6) z ECCS EDR 5th [6]
(1.51)
Zachodzi ?? > ??,p, stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (9.5) z ECCS EDR 5th [6])
(1.52)
Wartość charakterystyczną stycznej nośności wyboczeniowej określa się ze wzoru (9.2) z ECCS EDR 5th [6]
(1.53)
a wartość obliczeniową tych naprężeń z zależności (9.1) z ECCS EDR 5th [6]
(1.54)
Jest to wartość ponad dwukrotnie mniejsza od naprężeń stycznych w powłoce odpowiadających stateczności początkowej (por. wzór (1.49)). W przypadku wyłącznego działania skręcania naprężenia styczne w powłoce nie mogą przekroczyć tej wartości. Kryterium bezpiecznego projektowania skręcanej powłoki walcowej można zapisać w postaci
(1.55)
gdzie ?Ed jest obliczeniową wartością błonowych naprężeń stycznych wywołanych skręcaniem.
1.3. Nośność wyboczeniowa powłoki stożkowej
1.3.1. Wprowadzenie
Powłokowa stożkowa jest wykorzystywana w budowlanych konstrukcjach inżynierskich jako część zbiornika, najczęściej jako dach, dno lub strefa przejściowa między dwoma fragmentami walcowymi (rys. 1.25). Typowym zastosowaniem powłoki tego kształtu jest lej zsypowy w silosach czy bunkrach.
Rysunek 1.25. Przykłady konstrukcji, w których występują powłoki stożkowe
Kryterium bezpiecznego projektowania ze względu na stateczność dotyczy oczywiście także powłok tego kształtu. W kolejnych punktach zaprezentowano rozwiązania teoretyczne problemu stateczności początkowej powłoki stożkowej ściskanej wzdłuż jej osi symetrii (p. 1.3.2), obciążonej ciśnieniem działającym poprzecznie do powierzchni bocznej powłoki (p. 1.3.3) oraz powłoki obciążonej momentem skręcającym (p. 1.3.5). Poza wzorami znanymi z literatury przedstawiono także symulacje numeryczne tych samych przypadków (p. 1.3.6) oraz propozycje normowe oceny nośności wyboczeniowej (p. 1.3.7).
1.3.2. Stateczność powłoki stożkowej ściskanej osiowo
Ściskanie powłoki stożkowej w kierunku osiowym, przy warunkach podparcia gwarantujących wystąpienie stanu błonowego (rys. 1.26), skutkuje pojawieniem się ściskających sił południkowych o wartości
(1.56)
Rysunek 1.26. Powłoka stożkowa ściskana osiowo
W tym przypadku nie występują siły równoleżnikowe. Podstawienie wyrażenia na siły południkowe do równań stateczności powłoki stożkowej (szczegóły w monografii Grigoliuk i Kabanov [11]) prowadzi do następującego wyrażenia na krytyczne siły południkowe:
(1.57)
gdzie: E - moduł Younga, ? - współczynnik Poissona, t - grubość powłoki; współrzędną bieżącą s i kąt ? pokazano na rys. 1.26.
Najmniejszą wartość siły południkowej, przy której dojdzie do utraty stateczności, otrzymuje się dla s = r2/sin?, czyli tuż przy krawędzi dolnej stożka. Wzór na krytyczne siły południkowe przy dolnej krawędzi przegubowo podpartej powłoki stożkowej pokazanej na rys. 1.26 przyjmuje postać następującą:
(1.58)
Podstawiając to wyrażenie do równania (1.56), otrzymuje się wzór na krytyczną siłę ściskającą powłokę stożkową
(1.59)
Wzór ten wykorzystamy do obliczenia siły krytycznej powłoki stożkowej o następujących parametrach geometrycznych i materiałowych: r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3.
Podstawienie tych danych do wzorów (1.58) i (1.59) prowadzi do wyników: n? = 357,33 N/mm, ?? = n?/t = 119,11 MPa, Pkr = 1796,8 kN.
Analiza numeryczna (LBA) wykonana programem COSMSOS/M [7] dla tych danych pozwala uzyskać siłę krytyczną Pkr = 1810,7 kN i formę wyboczenia pokazaną na rys. 1.27. Zgodność z wynikiem uzyskanym ze wzoru (1.59) jest całkiem dobra (różnica ok. 1%). Forma wyboczenia przybiera sześć półfal na długości pobocznicy stożka i dziesięć pełnych fal na obwodzie. Otrzymana forma wyboczenia potwierdza, że proces zafalowania powierzchni rozpocznie się przy krawędzi dolnej, tak jak założono w rozwiązaniu teoretycznym (por. Grigoliuk i Kabanov [11])
Rysunek 1.27. Forma wyboczenia ściskanej osiowo powłoki stożkowej
Wyrażenia na południkowe, błonowe siły krytyczne zostały też podane w monografii Wolmir [27]. Wzór na krytyczne siły południkowe przy dolnej krawędzi przegubowo podpartej powłoki stożkowej pokazanej na rys. 1.26 przyjmuje postać następującą:
(1.60)
przy czym we wzorze tym jest promieniem krzywizny obwodowej w pobliżu konturu dolnego (rys. 1.26). Końcowa forma podanego wzoru dotyczy przypadku ? = 0,3 i jest identyczna z wyrażeniem na krytyczną siłę południkową w powłoce walcowej o promieniu R0, na co warto zwrócić uwagę.
Wzór (1.60) jest w pełni zgodny ze wzorem (1.58) podanym w nieco innej postaci.
Poza górną wartością południkowej siły krytycznej Wolmir [27] wyróżnia także dolną wartość krytycznej siły południkowej, ponad trzykrotnie mniejszą od wartości wyrażonej wzorem (1.60)
(1.61)
Siłę osiową Pkr,D korespondującą z tą wartością błonowej siły południkowej można otrzymać ze wzoru (1.59). Dla rozważanej powłoki stożkowej Pkr,D = 534,58 kN.
Warto zaznaczyć, że podane wzory teoretyczne obowiązują dla powłok w postaci wycinka stożka, dla których
? ? 30°
(1.62)
Nośność wyboczeniową stożkowej powłoki ściskanej osiowo można oszacować na podstawie zaleceń normy PN-EN1993 1-6 [N6] (rozdział D.4) i przedstawionych w bardziej rozbudowanej formie zaleceń w EDR 5th [6] (rozdział 13). Zalecane postępowanie polega na zastąpieniu powłoki stożkowej ekwiwalentną powłoką walcową - cylindrem. Warto podkreślić, że proponowana procedura jest prawdziwa dla powłok stożkowych o połówkowym kącie rozwarcia ? ? 65° (co jest równoznaczne z warunkiem ? ? 25°), czyli dla względnie stromych powłok stożkowych.
Przedmiotem szczegółowej analizy jest powłoka stożkowa o zastosowanych wcześniej parametrach geometrycznych i materiałowych: r1 = r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3, fy,k = 235 MPa.
Długość i promień ekwiwalentnego cylindra oblicza się z zależności:
(1.63)
(1.64)
gdzie: L - długość pobocznicy stożka, ? - normowe oznaczenie kąta ? (rys. 1.26).
Ze wzoru (1.64) wynika, że promień re zależy od bieżącego promienia powłoki stożkowej r (rys. 1.26), a zatem nośność należałoby sprawdzać w dwóch skrajnych przekrojach, rozpoczynając od przypadku r = r0= 400 mm.
Wartość le oblicza się ze wzoru (1.63): le = 1385,64 mm (rys. 1.26), a re ze wzoru (1.64): re = 800 mm.
Dalsze postępowanie przebiega tak jak dla przypadku powłoki walcowej ściskanej w kierunku południkowym (rozdział D.1 PN-EN1993 1-6 [N6] i rozdział 10 EDR 5th [6]).
Procedura rozpoczyna się od określenia bezwymiarowego parametru długości powłoki
(1.65)
Graniczna smukłość jest równa . Obliczona smukłość mieści się w granicach
(1.66)
Stąd wniosek, że jest to przypadek ekwiwalentnej powłoki walcowej średniej długości. Dla tego przypadku współczynnik Cx = 1,0.
Południkowe naprężenia krytyczne określa się ze wzoru (D.2) z PN-EN 1993 1-6 [N6]
(1.67)
Bezwymiarowa smukłość w kierunku południkowym jest równa
(1.68)
Sprężysty, redukcyjny współczynnik imperfekcji oblicza się ze wzoru (D.14) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.69)
Współczynnik Q przyjmuje się jak dla przypadku klasy C jakości wykonania, tj. Q = 16. Ze wzoru (1.69) otrzymamy ?x = 0,2089. Pozostałe współczynniki opisujące krzywą ?(?) przyjmują wartości: ?x0 = 0,2, ? = 0,6, ? = 1,0 (wzór (D.16) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (8.16) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.70)
Zachodzi ewidentnie ?x0 < ?x< ?x,p, stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężysto-plastycznego, a zatem (por. wzór (8.14) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6])
(1.71)
Wartość charakterystyczną nośności wyboczeniowej oblicza się ze wzoru (8.12) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.72)
a wartość obliczeniową z zależności (8.11) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.73)
Siłę osiową korespondującą z tymi naprężeniami otrzymuje się ze wzoru (1.59)
(1.74)
Jest to miara nośności wyboczeniowej rozważanej powłoki stożkowej poddanej ściskaniu wzdłużnemu.
Analogiczne rozważania należy powtórzyć dla przeciwnej krawędzi powłoki, tj. dla r = r2= 1600 mm.
Wartość le pozostaje niezmieniona: le = 1385,64 mm (por. rys. 1.26), a re oblicza się ze wzoru (1.64): re = 3200 mm.
Dalsze postępowanie przebiega tak jak dla przypadku powłoki walcowej ściskanej w kierunku południkowym (rozdział D.1 PN-EN1993 1-6 [N6] i rozdział 10 EDR 5th [6]).
Procedura rozpoczyna się od określenia bezwymiarowego parametru długości powłoki ?
(1.75)
Graniczna smukłość jest równa . Obliczona smukłość mieści się w granicach
(1.76)
Stąd wniosek, że jest to przypadek ekwiwalentnej powłoki walcowej średniej długości. Dla tego przypadku współczynnik Cx = 1,0.
Południkowe naprężenia krytyczne określa się ze wzoru (D.2) z PN-EN1993 1-6 [N6]
(1.77)
Warto zauważyć, że wzór analityczny (1.58) na południkową siłę krytyczną i korespondujące z nią naprężenia prowadzą do tego samego wyniku (por. p. 1.3.2).
Bezwymiarowa smukłość w kierunku południkowym jest równa
(1.78)
Wzór na sprężysty, redukcyjny współczynnik imperfekcji (wzór (D.14) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]) przyjmuje postać
(1.79)
Współczynnik Q przyjmuje się jak dla przypadku klasy C jakości wykonania, tj. Q = 16. Ze wzoru (1.79) otrzymuje się ?x = 0,0978. Pozostałe współczynniki opisujące krzywą ?(?) przyjmują wartości: ?x0 = 0,2, ? = 0,6, ? = 1,0 (wzór (D.16) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (8.16) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.80)
Zachodzi ewidentnie ?x > ?x,p, stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (8.15) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6])
(1.81)
Wartość charakterystyczną nośności wyboczeniowej określa się ze wzoru (8.12) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.82)
a wartość obliczeniową z zależności (8.11) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.83)
Siłę osiową korespondującą z tymi naprężeniami otrzymuje się ze wzoru
(1.84)
Jest to wartość dużo mniejsza od wartości otrzymanej dla przypadku r = r0 i tę wartość należy przyjąć za miarę nośności wyboczeniowej rozważanej powłoki stożkowej poddanej ściskaniu wzdłuż osi. Warto zwrócić uwagę, że otrzymana nośność jest ok. 11 razy mniejsza od siły krytycznej (Pkr = 1796,8 kN por. p. 1.3.2) wywołującej wyboczenie rozważanej powłoki stożkowej.
1.3.3. Stateczność powłoki stożkowej obciążonej ciśnieniem na powierzchni bocznej
Kolejnym wartym rozpatrzenia przypadkiem jest obciążenie stałym ciśnieniem powierzchni bocznej powłoki. W przypadku warunków podparcia spełniających wymagania stanu błonowego (rys. 1.28) otrzymuje się następujące wyrażenia na ściskające siły błonowe w powłoce:
(1.85)
albo w postaci podanej w monografii Grigoliuk i Kabanov [11]:
(1.86)
gdzie: n? i n? - siły południkowe i równoleżnikowe w powłoce, a - wartość współrzędnej s na granicy górnej krawędzi powłoki (rys. 1.28), R2 - promień krzywizny równoleżnikowej zależny od bieżącej współrzędnej s
(1.87)
Warto zwrócić uwagę, że obie siły stanu błonowego są ujemne w całym zakresie zmienności s i osiągają wartości maksymalne w pobliżu konturu dolnego, a więc w miejscu występowania najmniejszej krzywizny równoleżnikowej. To w tym obszarze dojdzie do zainicjowania wyboczenia.
Rysunek 1.28. Powłoka stożkowa obciążona ciśnieniem na powierzchni bocznej
Rozwiązanie problemu stateczności powłoki stożkowej dla tego stanu naprężenia prowadzi do następującego wyrażenia na ciśnienie krytyczne (por. Grigoliuk i Kabanov [11]):
(1.88)
gdzie: L - długość pobocznicy stożka (rys. 1.28), Rc - uśredniony promień krzywizn krawędzi skrajnych stożka, f(rk) - funkcja charakteryzująca wpływ zbieżności stożka, przy czym:
(1.89)
Wzór (1.88) wykorzystamy do obliczenia ciśnienia krytycznego powłoki stożkowej o następujących parametrach geometrycznych i materiałowych: r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3. Po podstawienie tych danych do wzoru (1.88) otrzymujemy qkr = 30,45 kPa. Z tą wartością ciśnienia korespondują błonowe siły obwodowe w pobliżu konturu dolnego n? = 97,44 N/mm (obliczone ze wzoru (1.86b)) i obwodowe naprężenia błonowe ?? = n?/t = 32,48 MPa.
Wolmir w swojej monografii [27] podaje następujący wzór na ciśnienie krytyczne stożka obciążonego ciśnieniem na pobocznicy:
(1.90)
gdzie C1 - współczynnik zależny od stosunku a/Lc, przy czym Lc = r2/cos? jest całkowitą długością pobocznicy stożka (rys. 1.28).
Współczynnik C1 został przedstawiony w postaci wykresu na rys. 15.5 w monografii Wolmira [27]. Dla rozważanej powłoki stożkowej: a = 461,88 mm, Lc = 1847,52 mm. Stosunek a/Lc = 0,25 i C1 = 3,1. Podstawienie pozostałych danych do wzoru (1.90) prowadzi do wyniku qkr = 32,57 kPa.
Analiza numeryczna (LBA) wykonana programem COSMSOS/M [7] dla tych danych pozwoliła uzyskać ciśnienie krytyczne qkr = 37,39 kPa i formę wyboczenia pokazaną na rys. 1.29. Otrzymana forma wyboczenia odpowiada 12 falom na obwodzie powłoki i jednej półfali na długości pobocznicy. Różnica w wartości ciśnienia krytycznego wynika z założeń upraszczających przyjętych w rozwiązaniach teoretycznych. Ciśnienie krytyczne otrzymane w analizie numerycznej jest bardziej wiarygodne.
Rysunek 1.29. Forma wyboczenia powłoki stożkowej obciążonej ciśnieniem na powierzchni bocznej
1.3.4. Oszacowanie nośności wyboczeniowej powłoki stożkowej ściskanej na powierzchni bocznej
Zaprezentowany poniżej sposób określenia nośności wyboczeniowej powłoki stożkowej ściskanej stałym ciśnieniem na powierzchni bocznej jest zgodny z punktem D.4.2.4 normy PN-EN 1993-1-6 [25 N6] oraz rozdziałem 13.2.2.4 zaleceń projektowych ECCS EDR 5th [6].
Dane geometryczne i materiałowe powłoki należy uzupełnić o granicę plastyczności materiału fy,k = 235 MPa. Przyjmuje się ponadto, że powłokę wykonano zgodnie z wymaganiami dla zwykłej klasy jakości wykonania, czyli parametr Q = 16 (Table 10.2 z ECCS EDR 5th [6]).
Zalecana normą PN-EN 1993-1-6 [N6] procedura polega na zastąpieniu powłoki stożkowej ekwiwalentną powłoką cylindryczną, przy czym proponowana procedura jest zalecana dla powłok stożkowych spełniających warunek ? ? 65° . Długość i promień ekwiwalentnego cylindra oblicza się z zależności (por. wzory (D.73) i (D.74) z PN-EN 1993-1-6 [N6]):
(1.91)
(1.92)
gdzie kąt ? należy podstawić w radianach. Kąt ? jest normowym oznaczeniem kąta ? (por. rys. 1.26).
Do dalszych obliczeń przyjmuje się mniejszą z wartości otrzymanych tymi wzorami.
Promień ekwiwalentnego cylindra oblicza się z zależności
(1.93)
jeśli le wyznaczono ze wzoru (1.91), lub z zależności
(1.94)
jeśli le wyznaczono ze wzoru (1.92), przy czym r1 = r0 (por. rys. 1.26).
Dalsze postępowanie przebiega tak jak dla przypadku powłoki walcowej obciążonej ciśnieniem na pobocznicy.
Obliczenia wykonano dla powłoki stożkowej o następujących parametrach geometrycznych i materiałowych: r1 = r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? =60°, E = 210 GPa, ? = 0,3, fy,k = 235 MPa.
Mniejszą wartość le otrzymano ze wzoru (1.92): le = 1221,03 mm, a zatem re oblicza się ze wzoru (1.94): re = 2034,08 mm.
Procedura rozpoczyna się od określenia bezwymiarowego parametru długości powłoki
(1.95)
Dla warunków brzegowych typu BC2 współczynnik C? = 1,0. Widać, że ?/C? < 20 (warunek D.22 z normy PN-EN1993-1-6 [N6]), oznacza to, że powłoka jest powłoką krótką.
Oblicza się współczynnik
(1.96)
Naprężenia krytyczne określimy ze wzoru (10.2) z ECCS EDR 5th [6]
(1.97)
Otrzymana wartość obwodowych naprężeń krytycznych jest znacząco mniejsza od wartości otrzymanej ze wzorów teoretycznych w p. 1.3.3, ?? = 32,48 MPa. Jest to równoznaczne z zachowawczym charakterem procedury normowej.
Bezwymiarowa smukłość obwodowa jest równa
(1.98)
Obwodowy, sprężysty współczynnik imperfekcji przyjęto z tablicy D.5 z normy PN-EN 1993-1-6 [N6] jak dla klasy C
(1.99)
Przyjęto ponadto, jak dla powłoki średniej długości: ??0 = 0,2, ? = 0,6, ? = 1,0 (wzór (D.26) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (9.6) z ECCS EDR 5th [6]: . Zachodzi ewidentnie ?? > ??,p , stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (9.5) z ECCS EDR 5th [6])
(1.100)
Wartość charakterystyczną naprężeń krytycznych określa się ze wzoru (9.2) z ECCS EDR 5th [6]
(1.101)
a wartość obliczeniową z zależności (9.1) z ECCS EDR 5th [6]
(1.102)
Ciśnienie korespondujące z tymi naprężeniami otrzymuje się ze wzoru obowiązującego dla zastępczej powłoki walcowej
(1.103)
Jest to wartość dużo mniejsza od wartości ciśnienia krytycznego otrzymanej z rozwiązania problemu stateczności początkowej (37,39 kPa - wartość otrzymana w numerycznej analizie LBA). Jest ona miarą nośności wyboczeniowej rozważanej powłoki stożkowej.
1.3.5. Stateczność skręcanej powłoki stożkowej
Trzecim przypadkiem wartym rozpatrzenia jest skręcanie powłoki stożkowej momentem skręcającym Mk (rys. 1.30).
Rysunek 1.30. Powłoka stożkowa poddana skręcaniu
W stożkowej powłoce skręcanej powstaje stan błonowy stycznych sił n?? zmieniających się z kwadratem zmiennej s zgodnie ze wzorem
(1.104)
w szczególności, na krawędziach skrajnych powłoki:
(1.105)
(1.106)
Rozwiązanie problemu stateczności zostało przedstawione w monografiach Wolmir [27] i Grigoliuk i Kabanov [11]. Krytyczna wartość naprężeń stycznych wyraża się wzorem
(1.107)
w którym:
(1.108)
(1.109)
Wzory te wykorzystamy do obliczenia krytycznej wartości momentu skręcającego powłoki stożkowej o następujących parametrach geometrycznych i materiałowych: r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3. Ze wzoru (1.107) otrzymujemy
(1.110)
a ze wzoru (1.104) obliczamy poszukiwaną, krytyczną wartość momentu skręcającego
(1.111)
Warto wspomnieć, że wzór (1.107) daje poprawną wartość stycznego obciążenia krytycznego, pod warunkiem, że współczynnik ? < 0,1. W przypadku analizowanej powłoki ? = 0,091 i ten warunek jest spełniony.
W wyniku analizy numerycznej (LBA) wykonanej programem COSMOS/M [7] dla tej samej powłoki otrzymano krytyczne siły styczne na górnej krawędzi powłoki n??,0 = 772,73 kN/m i korespondujący z tą wartością moment skręcający Mkr = 776,83 kNm. Wynik ten różni się dość znacznie od wartości otrzymanej wzorami teoretycznymi (897,87 kNm) i jest bardziej wiarygodny.
Otrzymana w rozwiązaniu numerycznym forma wyboczenia odpowiada ośmiu falom na obwodzie powłoki i jednej półfali na długości pobocznicy (rys. 1.31).
Rysunek 1.31. Forma wyboczenia powłoki stożkowej poddanej skręcaniu
1.3.6. Oszacowanie nośności wyboczeniowej skręcanej powłoki stożkowej
Nośność wyboczeniową stożkowej powłoki poddanej skręcaniu oszacujemy na podstawie zaleceń normy PN-EN1993 1-6 [N6] opisanych szerzej w zaleceniach EDR 5th [6]. Obliczenia wykonamy dla powłoki stożkowej o przyjętych poprzednio parametrach geometrycznych i materiałowych: r1 = r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3, fy,k = 235 MPa.
Zalecany normą [N6] sposób postępowania polega na przyjęciu ekwiwalentnej powłoki walcowej - cylindra o wymiarach określonych w sposób następujący.
Długość i promień ekwiwalentnego cylindra oblicza się z zależności:
(1.112)
(1.113)
gdzie
(1.114)
a L jest długością pobocznicy stożka (rys. 1.30).
Wzory (1.112)-(1.114) to wzory (D.81) do (D.83) z normy PN-EN1993 1-6 [N6]. Podstawienie przyjętych danych do tych wzorów prowadzi do wyników:
(1.115)
Zgodnie z zaleceniem normowym warunek ?u < 0,8 jest spełniony.
Dalsze postępowanie przebiega tak jak dla przypadku powłoki walcowej skręcanej (rozdział D.1.4 w PN-EN1993 1-6 [N6] i rozdział 10.2.4 w EDR 5th [6]).
Procedura rozpoczyna się od określenia bezwymiarowego parametru długości powłoki
(1.116)
Graniczna smukłość jest równa . Obliczona smukłość mieści się w granicach
(1.117)
Stąd wniosek, że jest to przypadek ekwiwalentnej powłoki walcowej średniej długości. Dla tego przypadku współczynnik C? = 1,0.
Styczne naprężenia krytyczne oblicza się ze wzoru (D.32) z PN-EN 1993 1-6 [N6]:
(1.118)
Bezwymiarowa smukłość jest równa
(1.119)
Sprężysty, redukcyjny współczynnik imperfekcji (tablica D.6 z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]) dla klasy C przyjmuje wartość
(1.120)
Pozostałe współczynniki opisujące krzywą ?(?) przyjmują wartości: ??0 = 0,4, ? = 0,6, ? = 1,0 (wzór (D.39) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]).
Graniczną smukłość dla zakresu sprężysto-plastycznego oblicza się ze wzoru (8.16) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.121)
Spełniona jest relacja ?? > ??, p, , stąd wniosek, że ten przypadek dotyczy zakresu sprężystego, a zatem (por. wzór (8.14) normy PN-EN 1993-1-6 [N6])
(1.122)
Wartość charakterystyczną nośności wyboczeniowej określa się ze wzoru (8.12) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.123)
a wartość obliczeniową z zależności (8.11) z normy PN-EN 1993-1-6 [N6]
(1.124)
Moment skręcający powłokę stożkową korespondujący z tymi naprężeniami otrzymuje się ze wzoru
(1.125)
Jest to miara nośności wyboczeniowej rozważanej powłoki stożkowej poddanej skręcaniu.
Zwraca uwagę niska wartość MRd w porównaniu z wartością krytyczną otrzymaną w p. 1.3.5 i równą Mk,kr = 897,87 kNm, czy wartością otrzymaną w numerycznej analizie LBA: Mkr = 776,83 kNm.
1.3.7. Nośność wyboczeniowa powłoki stożkowej - komentarze do zapisów normowych
Główne ograniczenie, jakie pojawia się w zapisach normowych, dotyczy połówkowego kąta rozwarcia powłoki stożkowej: ? ? 65°. Zapisy normowe dotyczą więc wyłącznie stożkowych powłok relatywnie wysokich, stromych. Jak oszacować nośność wyboczeniową powłok stożkowych mało wyniosłych? Jak oszacować nośność wyboczeniową powłoki o innych warunkach podparcia i poddanej innym przypadkom obciążenia?
Przykłady przedstawione w poprzednich punktach tego rozdziału dotyczyły oszacowania nośności wyboczeniowej metodą projektowania naprężeniowego opisaną w p. 8.5 normy PN-EN 1993-1-6 [N6]. W p. 8.6 tej normy zaprezentowane jest alternatywne podejście do szacowania nośności wyboczeniowej, nazywane globalnym podejściem z wykorzystaniem analiz MNA i LBA. Ten sposób oszacowania nośności wyboczeniowej powłok zostanie zilustrowany poniżej na przykładzie powłoki stożkowej obciążonej ciśnieniem.
Rozważać będziemy powłokę stożkową o następujących parametrach geometrycznych i materiałowych: r0 = 400 mm, r2 = 1600 mm, t = 3 mm, ? = 60°, E = 210 GPa, ? = 0,3, fy,k = 235 MPa. Niech obciążeniem referencyjnym będzie równomierne ciśnienie o intensywności p0 = 1 kPa.
W pierwszym etapie wykonuje się analizę LBA. Jej wynik przedstawiono w p. 1.3.4 tego podrozdziału: pcr = 37,389 kPa, co oznacza, że mnożnik obciążenia jest równy rcr = 37,389.
Kolejny etap to numeryczna analiza MNA. W prezentowanym przykładzie wykorzystano system COSMOS/M [7] z ustawieniami: małe przemieszczenia, warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego, wzmocnienie izotropowe, stowarzyszone prawo płynięcia (por. [7], [N13]).
Zależność mnożnik obciążenia-przemieszczenie wiodące (przemieszczenie górnej krawędzi powłoki) przedstawiono na rys. 1.32. Otrzymana wartość mnożnika plastycznego wynosi rpl = 288,65.
Zgodnie z procedurą normową oblicza się najpierw globalną smukłość bezwymiarową (por. wzor (8.25) z PN-EN 1993-1-6 [N6])
(1.126)
Rysunek 1.32. Ścieżka równowagi otrzymana w analizie MNA
Parametry opisujące krzywą nośności wyboczeniowej przyjmuje się zgodnie z p. D.1.2.2 normy PN-EN 1993-1-6 [N6] jak dla powłoki walcowej ściskanej:
(1.127)
Współczynnik redukcyjny ?ov określa się ze wzoru
(1.128)
Problemem jest określenie względnej amplitudy imperfekcji. Propozycja przedstawiona w EDR 5th [6], by
(1.129)
gdzie Q jest parametrem liczbowym przypisanym do jednej z trzech klas jakości wykonania, prowadzi do zbyt zaniżonego oszacowania nośności.
W badanym przypadku dominuje ściskanie obwodowe, a zatem jako ?ov należy przyjąć ?? jak dla przypadku powłoki walcowej ściskanej obwodowo, czyli
(1.130)
Smukłość graniczną dla zakresu sprężysto-plastycznego określa się ze wzoru
(1.131)
Smukłość ?ov obliczona ze wzoru (1.126) jest większa od tej wartości, stąd wniosek, że jest to przypadek zakresu sprężystego. Współczynnik redukcyjny ?ov oblicza się ze wzoru
(1.132)
Wartość charakterystyczną mnożnika obciążenia oblicza się ze wzoru
(1.133)
natomiast obliczeniową wartość mnożnika nośności wyboczeniowej rRd otrzymuje się ze wzoru
(1.134)
Otrzymany wynik oznacza, że nośność wyboczeniowa analizowanej powłoki stożkowej wynosi qRd = 22,094 kPa. Jest to wartość wyższa od wartości otrzymanej procedurą normową, lecz metodą analizy naprężeniowej. Rozwiązanie to przedstawiono w p. 1.3.5 tego rozdziału (por. wzór (1.103)), a otrzymane tam ciśnienie graniczne wyniosło qRd = 13,12 kPa.
Obie procedury są zgodne z normą PN-EN 1993-1-6 [N6], ale relatywnie prosta metoda analizy naprężeniowej zastosowana w p. 1.3.5 jest jednocześnie bardziej zachowawcza. Bardziej realny (możliwy) jest wynik otrzymany metodą analiz LBA i MNA. Gdyby przyjąć jakąś formę imperfekcji geometrycznych, to najbardziej wiarygodny wynik można by otrzymać metodą analizy GMNIA, także rekomendowaną w normie PN-EN 1993-1-6 [N6]. Ten sposób postępowania jest zilustrowany w kolejnym podrozdziale 1.4 na przykładzie powłoki sferycznej.
1.4. Nośność wyboczeniowa powłoki sferycznej
1.4.1. Wprowadzenie
Stalowa powłoka sferyczna jest wykorzystywana w budowlanych konstrukcjach inżynierskich jako część zbiornika, najczęściej jako dach lub dno. Spotykane są konstrukcje, w których powłoka sferyczna występuje jako wycinek sfery łączony z powłokami innego kształtu (rys. 1.33, 1.34). W przemyśle chemicznym stosowane są zbiorniki w postaci pełnej sfery jak ten pokazany na rys. 1.34. W zastosowaniach innych branż przemysłu spotyka się zbiorniki sferyczne wykonane z grubych blach nitowanych (rys. 1.35).
Rysunek 1.33. Przykładowe kształty zbiorników wieżowych na wodę
Rysunek 1.34. Zbiorniki z obudową powłokową
Rysunek 1.35. Zbiornik w postaci pełnej sfery używany jako mieszalnik
Kryterium bezpiecznego projektowania ze względu na stateczność ma także zastosowanie w odniesieniu do powłok tego kształtu i jest to najczęściej kryterium decydujące. W kolejnych punktach zaprezentowano rozwiązania teoretyczne problemu stateczności początkowej powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem (p. 1.4.2), a oprócz wzorów znanych z literatury także analizę numeryczną LBA dla tego samego przypadku obciążenia (p. 1.4.3). W punkcie 1.4.4 przedstawiono procedurę oceny nośności wyboczeniowej powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem, zaproponowaną w zaleceniach projektowych ECCS (por. EDR 5th [6]). W punkcie 1.4.5 omówiono analizy numeryczne GMNIA dla różnych form imperfekcji geometrycznych powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem. Postępowanie to zgodnie z zaleceniami normy PN-EN 1993-1-6 [N6] może być podstawą oceny nośności wyboczeniowej powłoki.
1.4.2. Stateczność powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem. Rozwiązanie analityczne
Powłoka sferyczna obciążona ciśnieniem zewnętrznym wykazuje skłonność do utraty stateczności z dwóch powodów. Pierwszym z nich jest fakt występowania w jej powierzchni środkowej sił ściskających (por. Flügge [9], Nowacki [17]), które w przypadku stanu błonowego przyjmują wartość
(1.135)
albo po przejściu do naprężeń błonowych
(1.136)
gdzie: p - wartość ciśnienia, t - grubość powłoki, R - promień krzywizny sfery, n?, n? - siły południkowe i obwodowe w powłoce (rys. 1.36).
Drugi powód to duża smukłość, która mierzona ilorazem R/t waha się w granicach 100-2000 w przypadku nieużebrowanych powłok stalowych i powłok żelbetowych spotykanych współcześnie w praktyce inżynierskiej. Redukcja grubości jest spowodowana dążeniem do oszczędności materiału czy też redukcji masy własnej w przypadku obiektów pływających i latających. Coraz mniejsza grubość wynika także z możliwości zastosowania materiałów o coraz większej wytrzymałości.
Rysunek 1.36. Powłoka sferyczna. Geometria i siły stanu błonowego
Utrata stateczności powłoki sferycznej przebiega gwałtownie, a forma wyboczeniowa jest często równoznaczna z całkowitym zniszczeniem powłoki. Dotyczy to zarówno pełnych powłok sferycznych, jak i powłok w postaci wycinka sfery (rys. 1.37, rys. 1.38).
Rysunek 1.37. Pełna powłoka sferyczna badana eksperymentalnie (zdjęcie z pracy Du i Cui [8])
Rysunek 1.38. Wycinek powłoki sferycznej poddany działaniu ciśnienia
Problem stateczności początkowej pełnej powłoki sferycznej został rozwiązany na początku XX w. niezależnie przez Zoelly'ego [32] i Leibensona [12], a wzór na ciśnienie krytyczne przez nich otrzymany ma postać
(1.137)
gdzie: t - grubość powłoki, R - promień krzywizny sfery.
Wzór otrzymany przez Zoelly'ego i Leibensona otrzymać można, stosując sposób zaprezentowany w pracy Petersena [19]. Układ równań stateczności powłok mało wyniosłych, a taką jest wydzielony fragment powłoki sferycznej (rys. 1.36), można sprowadzić do dwóch równań różniczkowych (por. Petersen [19]):
(1.138)
(1.139)
Pierwsze równanie różniczkowe wynika z warunku rzutów sił na kierunek prostopadły do powierzchni środkowej rozważanego, różniczkowego wycinka powłoki, drugie jest warunkiem nierozdzielności (por. Petersen [19]), Grigoliuk i Kabanov [11]), przy czym funkcja w(x, y) jest funkcją ugięcia, a precyzyjniej, funkcją opisującą formę wyboczenia, natomiast funkcja Ф(x, y) jest funkcją naprężeń zdefiniowaną w sposób następujący:
(1.140)
gdzie ?x, ?y i ?xy są naprężeniami stanu błonowego w powłoce.
W równaniach tych użyto następujących oznaczeń operatorów różniczkowych:
(1.141)
(1.142)
(1.143)
przy czym bezwymiarowe współrzędne kartezjańskie zdefiniowano jako:
(1.144)
Rozważany wycinek powłoki sferycznej pokazano na rys. 1.36 i 1.39.
Rysunek 1.39. Wycinek powłoki sferycznej. Geometria i podział na elementy skończone
Wielkość
(1.145)
występująca w równaniu (1.138) jest sztywnością giętną powłoki.
Stosując operator do pierwszego równania i wykorzystując związek
(1.146)
wynikający z drugiego równania, otrzymuje się
(1.147)
Postuluje się, by rozwiązaniem tego równania była funkcja w postaci szeregu trygonometrycznego
(1.148)
Podstawiając tę funkcję do równania (1.147), otrzymuje się
(1.149)
Równość ta jest spełniona dla każdego punktu rozważanego obszaru, gdy
(1.150)
skąd otrzymuje się wyrażenie na wartość ciśnienia w funkcji sumy m2 + n2
(1.151)
Wprowadzając oznaczenie
(1.152)
i minimalizując funkcję
(1.153)
ze względu na zmienną ?, otrzymuje się
(1.154)
skąd
(1.155)
A zatem, wartość ?, dla której otrzymuje się minimalną wartość p, jest równa
(1.156)
Poszukiwaną, minimalną wartość ciśnienia p wywołującego wyboczenie, czyli pkr otrzymuje się ze wzoru (1.153)
(1.157)
Jest to wartość ciśnienia krytycznego pełnej sfery otrzymana w pracach Zoelly'ego [32] i Leibensona [12]. Otrzymana wartość ciśnienia krytycznego dla pełnej sfery posłużyła w prezentowanych przykładach jako wielkość odniesienia i będzie oznaczana w sposób następujący:
(1.158)
a wzór ten nosi nazwę wzoru Zoelly'ego-Leibensona (por. wzór (1.137)).
Błonowe naprężenia krytyczne odpowiadające temu ciśnieniu oblicza się ze wzoru
(1.159)
Są one równe naprężeniom krytycznym wywołującym wyboczenie powłoki cylindrycznej ściskanej wzdłużnie (por. Flügge [7], Timoshenko i Gere [25]), co warto zauważyć. Wartość tych naprężeń dla przypadku ? = 0,3 jest równa
(1.160)
Długość półfali wyboczeniowej można określić w sposób następujący.
Z równania (1.152) i warunku (1.156) otrzymuje się
(1.161)
W rozważanym obszarze powłoki (rys. 1.39), kwadracie o boku 2L, liczby półfal w obu kierunkach są równe (tzn. m = n), a zatem
(1.162)
Jeśli przyjąć, że na długości L utworzonych zostanie m półfal o długości Lb każda, to funkcję bazową z szeregu (1.148) można zapisać następująco:
(1.163)
skąd
(1.164)
i ostatecznie, długość półfali wyboczeniowej
(1.165)
Uwzględniając wyprowadzone wyrażenie na m, korespondujące z krytyczną wartością ciśnienia (por. wzór (1.162)), dla ? = 0,3 otrzymuje się
(1.166)
albo
(1.167)
W rozwiązaniach prezentowanych w pracach Timoshenko i Gere [25] oraz Flügge [9] przewidywana liczba półfal deformacyjnych na obwodzie pełnej powłoki wynosi
(1.168)
i dla powłoki z materiału o współczynniku Poissona ? = 0,3 jest równa (por. Morris [16] i Galambos [10])
(1.169)
Oznacza to, że na obwodzie o długości 2?R powstaną półfale o długości (por. Galambos [10])
(1.170)
Jest to wartość różna od tej otrzymanej powyżej w rozważaniach wyboczenia wycinka powłoki sferycznej.
1.4.3. Stateczność powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem. Rozwiązanie numeryczne - analiza LBA
Otrzymany wynik na ciśnienie krytyczne i formę wyboczenia dla rozpatrywanego wyżej wycinka sfery można względnie łatwo uzyskać, stosując oprogramowanie umożliwiające analizę statyczną i wyboczeniową powłok. Prezentowane niżej rozwiązanie otrzymano za pomocą programu COSMOS/M (por. [7] i [N13]).
Przedmiotem szczegółowej analizy jest wycinek sfery o promieniu R = 1,0 m, charakterystycznym wymiarze rzutu L = 0,2 m (por. rys. 1.36 i 1.39) oraz parametrach materiałowych E = 210 GPa, ? = 0,3. Na rys. 1.39 pokazano siatkę czterowęzłowych elementów skończonych typu Shell4 (por. COSMOS/M [7]) wykorzystaną w obliczeniach. Każdy z boków rozważanego wycinka powłoki podzielono na 60 elementów. Przyjęto, że wzdłuż krawędzi wydzielonego obszaru przemieszczenia u, v, w są równe zeru. Nie nakładano warunków na parametry obrotowe. Tak sformułowane warunki brzegowe są zgodne z formą deformacji przyjętą w rozwiązaniu analitycznym (por. (1.148)).
W tablicy 1.7 podano wyniki obliczeń analitycznych (wzory (1.158) i (1.167)) oraz wyniki obliczeń numerycznych powłok o różnej grubości.
Tablica 1.7. Wyniki rozwiązania problemu wyboczenia wycinka powłoki sferycznej o promieniu R = 1,0 m
Rozwiązanie analityczne
Rozwiązanie numeryczne
t [mm]
pkr [MPa]
Lb [mm]
pkr [MPa]
Lb [mm]
2,00
1,01678
109,30
1,0357
113,5
1,50
0,57194
94,66
0,5833
93,3
1,00
0,25420
77,29
0,2586
73,4
0,75
0,14299
66,93
0,1445
66,7
0,40
0,04067
48,88
0,04137
46,7
0,20
0,01017
34,56
0,01047
33,4
Brak pełnej zgodności między rozwiązaniem analitycznym a numerycznym wynika z dwóch powodów. Po pierwsze równania zastosowane w zlinearyzowanym problemie stateczności jedynie w przybliżeniu opisują faktyczne zachowanie zakrzywionego fragmentu powłoki sferycznej. Drugi powód spoczywa po stronie modelu numerycznego. Zaproponowany model obliczeniowy tylko w przybliżeniu oddaje zachowanie pełnej sfery obciążonej ciśnieniem zewnętrznym. Zgodność otrzymanych wyników na poziomie 2-3% należy uznać za zadowalającą.
W tablicy 1.7 podano także wymiary półfali wyboczeniowej. Wymiar półfali otrzymanej numerycznie określano jedynie w sposób przybliżony, szacując go na podstawie wymiarów oczka siatki. Pomimo zastrzeżeń wymienionych wyżej zgodność otrzymanych wyników także w odniesieniu do wymiaru długości półfali wyboczeniowej należy uznać za dobrą.
Na rysunkach 1.40, 1.41 i 1.42 pokazano formy wyboczenia otrzymane w analizach numerycznych dla poszczególnych przypadków grubości powłoki. Tylko środkowy fragment wykazuje pełną regularność formy wyboczenia i dlatego w tym fragmencie szacowano wymiar długości półfali wyboczeniowej podany w tablicy 1.7.
Rysunek 1.40. Formy wyboczenia dla powłoki o grubości t = 2,0 mm (a) i t = 1,5 mm (b)
Rysunek 1.41. Formy wyboczenia dla powłoki o grubości t = 1,0 mm (a) i t = 0,75 mm (b)
Rysunek 1.42. Formy wyboczenia dla powłoki o grubości t = 0,4 mm (a) i t = 0,2 mm (b)
1.4.4. Nośność wyboczeniowa powłok sferycznych według zaleceń ECCS
Norma PN-EN 1993-1-6 [N6] zawiera ogólne zasady określania nośności wyboczeniowej powłok, z których mogą korzystać projektanci powłok stalowych. Przepisy szczegółowe dotyczą jedynie dość wąskiej klasy powłok i poza ogólnymi wskazówkami dotyczącymi postępowania w podejściach globalnych (p. 8.6 i 8.7 normy) nie zawierają szczegółowych zaleceń dotyczących oceny nośności wyboczeniowej powłok sferycznych obciążonych ciśnieniem. Zalecenia takie znalazły się w europejskich rekomendacjach projektowych wydanych przez ECCS pod red. Rottera i Schmidta [6], które w dalszej części tego punktu określane są jako EDR 5th, od skrótu pełnej nazwy tej publikacji: "Buckling of Steel Shells, European Design Recommendations, 5th Edition".
Zalecenia zawarte w rozdziale 15 EDR 5th [6] zostały opracowane przez zespół kierowany przez Waltera Wunderlicha (por. Wunderlich [28], Wunderlich i Albertin [29], Wunderlich i in. [30], Wunderlich i in. [31], Albertin i Wunderlich [2], Albertin [1]) i warto się z nimi zapoznać, gdyż w niemal niezmienionej postaci pojawią się w kolejnej edycji normy PN-EN1993-1-6 [N6].
Zgodnie ze wspomnianymi zaleceniami stan graniczny wyboczenia powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem zewnętrznym (rys. 1.43) należy sprawdzać wtedy, gdy zachodzi któryś z poniższych warunków
(1.171)
gdzie: - wartość charakterystyczna granicy plastyczności, Cc - współczynnik zależny od warunków brzegowych, przyjmowany z tabl. 15.1 z EDR 5th [6] i podany także w tablicy 1.8. Warunki te sprecyzowano na rys. 1.44.
Rysunek 1.43. Dane geometryczne do zaleceń projektowych wg EDR 5th [6]
Rysunek 1.44. Różne sposoby podparcia powłoki sferycznej
Następnie oblicza się pierwszą wielkość referencyjną, sprężyste ciśnienie krytyczne, ze wzoru
(1.172)
oraz drugą wielkość referencyjną, nośność plastyczną, ze wzoru
(1.173)
gdzie Cpl jest współczynnikiem zależnym od warunków brzegowych i przyjmowanym z tabl. 15.2 z EDR 5th [6] oraz podanym w tablicy 1.8.
Tablica 1.8. Współczynniki Cc i Cpl wg EDR 5th [6]
Typ warunków podparcia
BC1
BC2
BC3
BC4
BC5
Cc
1
0,8
0,7
0,4
0,1
Cpl
1
0.9
0,9
0,8
0,2
Zakres stosowania
-
połówkowy kąt rozwarcia ? ? 135°
W kolejnym kroku postępowania oblicza się bezwymiarową smukłość ze wzoru
(1.174)
Wyboczeniowy współczynnik redukcyjny ?(?) określa się na podstawie PN-EN 1993-1-6 [N6] w zależności od smukłości ? w sposób następujący:
(1.175)
Krzywa ?(?) jest zdefiniowana za pomocą czterech parametrów: ?0, ?, ?, ? i ?p , a jej ogólny kształt pokazano na rys. 1.45. Wyróżniono na nim trzy zakresy smukłości, w jakich może dojść do wyczerpania nośności: plastyczny, sprężysto-plastyczny i sprężysty.
Rysunek 1.45. Krzywa nośności wyboczeniowej powłok wg PN-EN 1993-1-6 [N6]
W EDR 5th [6] zaleca się, by w przypadku powłok sferycznych przyjmować następujące wartości współczynników wyboczeniowych: ?0 = 0,20, ? = 0,70 oraz ? = 1,0. Pozostałe parametry wyznacza się następująco:
(1.176)
gdzie ?wk to amplituda imperfekcji, określana ze wzoru
(1.177)
w którym Q jest parametrem zależnym od klasy jakości wykonania przyjmującym następujące wartości:
Q = 40 dla klasy A (jakość doskonała),
Q = 25 dla klasy B (jakość wysoka),
(1.178)
Q = 16 dla klasy C (jakość zwykła).
Ostatni parametr niezbędny do zdefiniowania krzywej ?(?) w całym zakresie smukłości określa się z zależności
(1.179)
Wartość charakterystyczną nośności wyboczeniowej określa się ze wzoru
(1.180)
a wartość obliczeniową z zależności
(1.181)
gdzie ?M1 jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa.
Nośność wyboczeniowa jest spełniona, gdy zachodzi warunek
(1.182)
gdzie pEd jest wartością obliczeniową obciążenia zewnętrznego powłoki.
Komentarza wymaga sposób określenia klasy jakości wykonania istniejącej, stalowej powłoki sferycznej, której nośność wyboczeniową należy wyznaczyć. Aby to uczynić, należy przygotować przymiar (szablon) i wykonać pomiar maksymalnych odchyleń geometrii w granicach tego przymiaru. Wyjaśniono to na rys. 1.46, przy czym promień R przymiaru powinien być równy promieniowi zewnętrznej powierzchni powłoki.
Rysunek 1.46. Pomiar maksymalnych odchyłek geometrii za pomocą szablonu
Obwodową długość przymiaru lg określa norma PN-EN 1993-1-6 [N6] w sposób następujący:
(1.183)
a pomiaru należy dokonać we wszystkich możliwych kierunkach na powierzchni powłoki sferycznej. Wartość pomierzoną ?w należy porównać z wartościami granicznymi zaklęśnięcia zdefiniowanymi wzorem (1.177). Wartość Q, dla której spełniona jest relacja
(1.184)
określa klasę jakości wykonania zgodnie z (1.178).
Na klasę jakości wykonania mogą też wpłynąć inne formy imperfekcji, o których mowa w p. 8.4.2 normy PN-EN 1993-1-6 [N6]. Należą do nich w szczególności owalizacje, mimośrody w przypadku blach łączonych na zakład czy wreszcie odchyłki geometrii wywołane deformacjami termicznymi w obrębie spoin. Szczegółowe kryteria dla tych przypadków imperfekcji są podane w przywołanej normie.
Aby zilustrować przedstawioną procedurę szacowania nośności wyboczeniowej powłoki sferycznej obciążonej ciśnieniem, rozważymy przykład powłoki w postaci wycinka sfery o następujących parametrach: R = 14000 mm, r0 = 7000 mm, ? = 30°, grubość t = 18 mm, fy,k = 235 MPa, moduł Younga E = 210-103 MPa, współczynnik Poissona ? = 0,3. Powłoka jest sztywno zamocowana na obwodzie bazowym (przypadek BC2). Załóżmy ponadto, że powłoka została wykonana w klasie jakości B (jakość wysoka).
Wartość charakterystyczna obciążenia pk = 40 kPa. Częściowy współczynnik bezpieczeństwa ? f = 1,5. Wartość obliczeniowa obciążenia .
W pierwszym kroku należy sprawdzić warunki (15.4) i (15.5) z EDR 5th [6]. Oblicza się w tym celu
(1.185)
Współczynnik Cc jest równy 0,8 dla BC2 (por. tablica 1.8).
Aby sprawdzić warunki (1.171), oblicza się
(1.186)
oraz
(1.187)
i
(1.188)
Zachodzą relacje
(1.189)
należy więc sprawdzić nośność wyboczeniową powłoki.
Oblicza się sprężyste ciśnienie krytyczne pRcr ze wzoru (1.172)
(1.190)
Współczynnik Cpl = 0,9 dobiera się z tablicy 1.8 dla przypadku BC2.
Referencyjną nośność plastyczną określa się ze wzoru (1.173)
(1.191)
Smukłość względną oblicza się ze wzoru (1.174)
(1.192)
Dla klasy jakości B (wysoka jakość) współczynnik Q = 25 (por. (1.178)).
Amplitudę imperfekcji oblicza się ze wzoru (1.177)
(1.193)
Względna smukłość wyznaczająca zakres wyboczenia plastycznego ?0, współczynnik zakresu plastycznego ? oraz wykładnik interakcji ? mogą być przyjęte wprost z EDR 5th [6]:
?0 = 0,2, ? = 0,7, ? = 1,0
(1.194)
Współczynnik ? redukujący sprężystą nośność wyboczeniową oblicza się ze wzoru (1.176)
(1.195)
Względna smukłość ograniczająca zakres wyboczenia sprężysto-plastycznego ?p jest obliczana ze wzoru (1.179)
(1.196)
W analizowanym przypadku zachodzi: ? > ?p , a zatem, współczynnik ? definiujący nośność wyboczeniową oblicza się ze wzoru (por. (1.175) i rys. 1.45)
(1.197)
Wartość charakterystyczną nośności wyboczeniowej oblicza się ze wzoru (1.180)
(1.198)
a wartość obliczeniową zgodnie ze wzorem (1.181)
(1.199)
gdzie za częściowy współczynnik bezpieczeństwa podstawiono wartość (por. EDR 5th [6]):
(1.200)
Sprawdzenie warunku nośności polega na weryfikacji nierówności (1.182)
(1.201)
Warunek jest spełniony, a zatem analizowana powłoka w postaci wycinka sfery została poprawnie zaprojektowana w świetle rozważanego kryterium zaleceń EDR 5th [6].
