2. Rozkłady stóp zwrotu
2.1. Stopa zwrotu obarczona ryzykiem wartości bieżącej
[…]
Główną zaletą prostej stopy zwrotu jest fakt, że jest to jedyna taka stopa zwrotu, której stosowanie w teorii portfelowej jest uzasadnione matematycznie. Logarytmiczna stopa zwrotu jest stopą zwrotu kapitalizacji ciągłej. W tej sytuacji jej główną zaletą jest to, że może być porównywana ze stopami zwrotu opisującymi tempo aprecjacji kapitału w modelach makroekonomicznych [Piasecki, Ronka-Chmielowiec, 2011]. Dodatkowo, logarytmiczna stopa zwrotu jest addytywną miarą korzyści, co w znakomity sposób upraszcza wszelkie obliczenia. Dowolna stopa zwrotu i logarytmiczna stopa zwrotu w równoważny sposób porządkują dowolne zestawienie korzyści, gdyż mamy:
co oznacza, że dowolna stopa zwrotu jest funkcją rosnącą logarytmicznej stopy zwrotu. W szczególnym przypadku dla prostej stopy zwrotu mamy:
Wszystkie te spostrzeżenia pozwalają na ograniczenie badania korzyści płynących z posiadania instrumentu finansowego do badania logarytmicznych stóp zwrotu.
Wartość przyszła inwestycji Pt jest obarczona ryzykiem niepewności co do przyszłego stanu rzeczy. Modelem formalnym tej niepewności jest przedstawianie wartości przyszłej jako zmiennej losowej
Zbiór Ω jest zbiorem elementarnych stanów rynku finansowego. Wtedy także logarytmiczna stopa zwrotu jest zmienną losową obarczoną ryzykiem niepewności. Ta zmienna losowa jest wyznaczona za pomocą zależności:
W praktyce analizy rynków finansowych przyjęto opisywać ryzyko niepewności za pomocą opisu rozkładu prawdopodobieństwa stopy zwrotu. Funkcja występująca w zależności (2.4) jest funkcją mierzalną. Dzięki temu, dysponując rozkładem logarytmicznej stopy zwrotu, możemy wyznaczyć rozkład dowolnej stopy zwrotu. Oznacza to, że także badanie rozkładów stóp zwrotu możemy ograniczyć do badania rozkładu logarytmicznej stopy zwrotu.
Na podstawie rozkładu stopy zwrotu można wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu będącą powszechnie stosowaną prognozą dochodu z inwestycji. Do oceny ryzyka obarczającego stopę zwrotu w literaturze przedmiotu zaproponowano wiele różnych charakterystyk ilościowych. Także w praktyce inwestycyjnej stosowane są różnorodne oceny ryzyka. W przypadku ryzyka inwestycji w instrumenty finansowe można wyróżnić trzy główne grupy charakterystyk ryzyka: charakterystyki zmienności, charakterystyki zagrożenia i charakterystyki wrażliwości.
Charakterystyki wrażliwości opisują podatność ceny bieżącej instrumentu na zmiany wywołane przez zmiany czynników zewnętrznych. W tej sytuacji charakterystyki wrażliwości są niezależne od ryzyka niepewności i w związku z tym można je pominąć w dalszych rozważaniach.
Charakterystyki zagrożenia opisują prawdopodobieństwo przekroczenia w przyszłości pewnego założonego dolnego pułapu strat lub szacują największe przyszłe możliwe straty. Charakterystyki zagrożenia bez żadnego wątpienia opisują ryzyko niepewności. Informacją wystarczającą do wyznaczenia tych wartości są dystrybuanty rozkładu stopy zwrotu.
Charakterystyki zmienności opisują oczekiwane odchylenie stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. W przypadku kiedy stopa zwrotu charakteryzuje przyszłe przewidywane korzyści, charakterystyki zmienności opisują ryzyko niepewności.
W tej sytuacji rozważania na temat przyszłych korzyści płynących z inwestowania w instrumenty finansowe można ograniczyć do rozważań na temat rozkładów stóp zwrotu. Ilościowe charakterystyki przewidywanych korzyści i obarczającego te korzyści ryzyka niepewności możemy porównywać jedynie wtedy, kiedy są wyznaczone za pomocą tego samego typu rozkładów prawdopodobieństwa. Ograniczenie to rodzi kolejny istotny problem poznawczy, polegający na poszukiwaniu właściwego dla danego rynku kapitałowego typu rozkładów prawdopodobieństwa opisujących rozkład logarytmicznej stopy zwrotu. Opisowi aktualnego stanu wiedzy na ten temat poświęcone będą kolejne podrozdziały.
2.2. Wybrane rozkłady nieskończenie podzielne
Jeśli daną zmienną losową można przedstawić jako sumę dowolnej liczby niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie, to wtedy rozkład tej zmiennej nazywamy rozkładem nieskończenie podzielnym.
Analiza szeregów logarytmicznych stóp zwrotu wymaga stosowania rozkładów prawdopodobieństwa nieskończenie podzielnych. Wówczas proces ceny można wyrazić przy użyciu procesu Lévy'ego będącego procesem stochastycznym o niezależnych i stacjonarnych przyrostach rozłożonych zgodnie z zakładanym rozkładem [Barndorff-Nielsen, Shephard, 2001; Eberlein, 2009; Sato, 1999]. W podrozdziale tym zostaną opisane nieskończenie podzielne rozkłady prawdopodobieństwa stosowane w analizie rynków finansowych.
Szczególna uwaga będzie tutaj poświęcona problemowi ogonów rozkładu, to jest zbieżności funkcji gęstości rozkładów do zerowej asymptoty poziomej. Prędkość zbieżności funkcji gęstości do tej asymptoty maleje wraz ze wzrostem grubości (ciężaru) ogona. Punktem odniesienia do pomiaru grubości ogonów rozkładu jest grubość ogonów rozkładu normalnego. W analizie rynków finansowych ujawnienie się grubych ogonów informuje o wzroście prawdopodobieństwa radykalnych zmian kursów, co może grozić nadzwyczajnymi stratami. Jeśli zjawisku grubych ogonów towarzyszy zjawisko kurtozy przewyższającej kurtozę rozkładu normalnego, mówimy o zjawisku leptokurtozy. Jeśli zjawisku grubych ogonów towarzyszy zjawisko kurtozy mniejszej od kurtozy rozkładu normalnego, mówimy o zjawisku platokurtozy. Leptokurtoza stopy zwrotu oznacza wyrazisty trend główny stopy zwrotu charakteryzującej się zauważalną możliwością ekstremalnych wahnięć. Platokurtoza stopy zwrotu oznacza brak możliwości identyfikacji trendu głównego stopy zwrotu.
2.2.1. Rozkład normalny (Gaussa)
Rozkład zmiennej losowej
określony dla wartości oczekiwanej
i dla odchylenia standardowego
za pomocą swej funkcji gęstości:
nazywamy rozkładem normalnym (rozkładem Gaussa) i oznaczamy za pomocą symbolu N( μ; σ). Rozkład N(0; 1) nazywamy standaryzowanym rozkładem normalnym. W przypadku rozkładu normalnego istnieją wszystkie momenty. Mediana jest równa wartości oczekiwanej μ. Współczynnik skośności rozkładu S(X) wynosi 0, co oznacza, że funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu, niezależnie od wartości parametrów. Kurtoza K(X) rozkładu normalnego wynosi 0. Dystrybuanta zmiennej losowej X ∼ N( μ; σ) przyjmuje postać:
Dystrybuanta rozkładu normalnego może być wyznaczona za pomocą algorytmu przedstawionego przez Cody'ego [1993]. Funkcja kwantylowa rozkładu normalnego może być wyznaczana za pomocą algorytmu przedstawionego przez Wichurę [1988].
Istnieje wiele metod generowania wartości zmiennych losowych o rozkładzie normalnym. Poniżej przedstawiona zostanie jedynie metoda transformacji Boxa-Mullera [1958] zastosowana do obliczeń, których wyniki są prezentowane w niniejszej książce.
Niech U1, U2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1]. Wtedy zmienne losowe X1, X2, takie że:
są niezależne i mają rozkład normalny N(0; 1).
Jeżeli rozkład stóp zwrotu jest normalny, to wtedy dla dowolnego szeregu czasowego
logarytmicznych stóp zwrotu stosujemy estymatory parametrów rozkładu normalnego dane w postaci:
Estymatory te zostały uzyskane metodą największej wiarygodności.
2.2.2. Rozkład t-Studenta
Dla określenia następnego typu rozkładu konieczne jest zdefiniowanie funkcji
określonej za pomocą tożsamości:
Rozkład zmiennej losowej
określony dla parametru
za pomocą swej funkcji gęstości:
nazywamy rozkładem t-Studenta i oznaczamy za pomocą symbolu t(v). W oryginalnej definicji rozkładu t-Studenta parametr
i jest powiązany z liczbą obserwacji. Należy jednak podkreślić, że w analizie rynków finansowych stosuje się zaproponowaną przez Shawa [2006a; 2006b] uogólnioną wersję rozkładu t-Studenta, w której parametr
jest powiązany z liczbą obserwacji.
Zaletą rozkładu t-Studenta jest fakt, że jest on zdefiniowany za pomocą jednego parametru. W przypadku gdy wartość parametru jest mała, rozkład charakteryzuje się grubymi ogonami i silnym skupieniem wokół wartości oczekiwanej. Dla dużej wartości parametru v rozkład t-Studenta jest zbliżony do rozkładu normalnego. Rozkład t-Studenta jest nieskończenie podzielny [Sato, 1999]. Parametry rozkładu t-Studenta t(v) osiągają następujące wartości:
Dystrybuanta zmiennej losowej X ∼ t(v) przyjmuje postać:
Dystrybuanta rozkładu t-Studenta i jej funkcja kwantylowa mogą być wyznaczone za pomocą algorytmów Hilla [1970; 1981]
Szczególnym przypadkiem rozkładu t-Studenta, otrzymanym dla v = 1, jest szczególny przypadek rozkładu Cauchy'ego oznaczanego za pomoca symbolu Cauchy(1; 0). Jego funkcja gęstości wyraża się za pomocą tożsamości:
Dystrybuanta rozkładu Cauchy(1; 0) przyjmuje postać:
Istnieje wiele metod generowania wartości zmiennych losowych o rozkładzie t-Studenta. Przegląd klasycznych metod generowania wartości zmiennych losowych można znaleźć w pracy Devroya [1986]. Poniżej przedstawiona zostanie jedynie metoda polarowa Baileya [1994] zastosowana do obliczeń, których wyniki są prezentowane w niniejszej książce. Metoda zaproponowana przez Baileya jest modyfikacją na potrzeby rozkładu t-Studenta metody transformacji Boxa-Mullera opisanej przez zależności (2.9) i (2.10). Podobnie jak tam, załóżmy, że U1, U2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1]. Wówczas zmienna losowa X określona za pomocą zależności:
ma rozkład t-Studenta z parametrem v > 0. Metoda Baileya działa poprawnie i efektywnie również w przypadku, gdy parametr v nie jest liczbą całkowitą [Shaw, 2006a].
Do estymacji parametru rozkładu t-Studenta stosujemy metodę największej wiarygodności w wersji opracowanej przez Goulda, Pitblado i Sribneya [2006] dla rozkładów ciągłych.
2.2.3. Rozkłady α-stabilne
Mandelbrot [1963b] zasugerował zastosowanie rodziny rozkładów α-stabilnych do modelowania finansowych szeregów czasowych. Główną przesłanką skłaniającą do opisywania rozkładów stóp zwrotu za pomocą rozkładu stabilnego jest możliwość modelowania grubych ogonów oraz skośności, które są często obserwowane w danych finansowych.
Parametryzowaną rodzinę rozkładów zmiennych losowych {Sα} nazywamy rodziną rozkładów α-stabilnych, jeśli dla każdej ustalonej wartości parametru α dowolne zmienne losowe X i Y spełniają warunek [Janicki, Izydorczyk, 2001; Weron, Weron, 1999b]:
W ogólnym przypadku rozkłady stabilne nie mają określonej ani funkcji gęstości, ani dystrybuanty. Rozkład ten definiuje się za pomocą funkcji charakterystycznej Φ(t), będącej odwrotną transformatą Fouriera funkcji gęstości. Nieskończoną podzielność rozkładu stabilnego wykazali Baradaran i Baradaran [2009]. Drobne zakłopotanie wywołuje fakt, że powstało wiele różnych parametryzacji rozkładów stabilnych [Nolan, 2010].
W literaturze najczęściej spotyka się poniższą parametryzację [Samorodnitsky, Taqqu, 1994; Weron, 1996]. Rozkład zmiennej losowej
określony za pomocą funkcji charakterystycznej:
nazywamy rozkładem stabilnym i oznaczamy symbolem S(α, β, γ, δ, 1). Częste stosowanie tej parametryzacji wynika z powodów historycznych oraz jej prostoty algebraicznej. Parametryzacja ta jest drobną modyfikacją (A)-parametryzacji Zolotareva [1986]. Bardziej użyteczną w zastosowaniach numerycznych jest parametryzacja Nolana [1997] będąca wariantem (M)-parametryzacji Zolotareva [1986]. Rozkład zmiennej losowej
określony za pomocą funkcji charakterystycznej:
nazywamy rozkładem α-stabilnym i oznaczamy symbolem S(α, β, γ, δ, 0). Zaletą tej parametryzacji jest fakt, że funkcje charakterystyczne, jak również funkcje gęstości oraz dystrybuanty, są funkcjami ciągłymi w dziedzinie wszystkich czterech parametrów. Własności takiej nie posiada parametryzacja S(α, β, γ, δ, 1).
Z powyższych rozważań wynika, że pełny opis zmiennej losowej o rozkładzie stabilnym wymaga czterech parametrów: indeksu stabilności α ∈ (0, 2] parametru skośności β ∈ [-1, 1], parametru skali γ > 0 oraz parametru przesunięcia
Parametry α i β odpowiadają za kształt rozkładu. Indeks stabilności α, zwany również wykładnikiem charakterystycznym, odpowiada za grubość ogona rozkładu stabilnego. Dla α = 2 otrzymujemy rozkład normalny, który jest przypadkiem granicznym rozkładu stabilnego. Gdy α < 2, to wariancja zmiennej losowej nie istnieje, a rozkład charakteryzuje się grubszym ogonem niż rozkład normalny. Parametr β odpowiada za skośność rozkładu. Jeśli β = 0, to rozkład jest symetryczny wokół δ. Gdy β > 0 rozkład jest prawostronnie skośny, czyli ma grubszy prawy ogon. Rozkład jest lewostronnie skośny, czyli ma cięższy lewy ogon, gdy β < 0. W miarę jak parametr α zbiega do 2, parametr β traci na znaczeniu i w przypadku rozkładu normalnego rozkład jest symetryczny niezależnie od wartości parametru β. Parametr γ jest parametrem skali i pełni podobną rolę do odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym. Parametr δ odpowiada za przesunięcie rozkładu [Weron, Weron, 1999a]. Jeśli δ > 0, to rozkład jest przesunięty w prawo, a jeśli δ < 0, to rozkład jest przesunięty w lewo.
Parametr skali nigdy bowiem nie jest dokładnie równy odchyleniu standardowemu. Gdy α < 2, to odchylenie standardowe nie istnieje. Gdy natomiast α = 2, to odchylenie standardowe istnieje i wynosi
Podobnie parametr przesunięcia zazwyczaj nie jest wartością oczekiwaną. W przypadku parametryzacji S(α, β, γ, δ, 0) parametr przesunięcia jest wartością oczekiwaną, gdy α > 1 i β = 0. Natomiast w przypadku parametryzacji S(α, β, γ, δ, 1) parametr przesunięcia jest wartością oczekiwaną, gdy α > 1. Ogólnie, w parametryzacji S(α, β, γ, δ, 1) p-ty moment zmiennej losowej E|X|p = ∫|x|p f(x)d x istnieje i jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy p < α [Nolan, 1999].
Parametry α, β, i γ mają takie samo znaczenie w obydwu wymienionych parametryzacjach. Jedynie parametry przesunięcia są różne. Natomiast parametry przesunięcia obu powyższych parametryzacji są identyczne jedynie w przypadku β = 0 [Nolan, 2003b].
Stosowanie tradycyjnych metod statystycznych w przypadku rozkładu stabilnego jest utrudnione, gdyż jawna postać funkcji gęstości i dystrybuanty jest znana tylko dla trzech przypadków: rozkładu normalnego, rozkładu Cauchy'ego i rozkładu Levy'ego.
Dla rozkładu normalnego mamy:
Rozkład zmiennej losowej
określony dla parametrów
i
za pomocą swej funkcji gęstości:
nazywamy rozkładem Cauchy'ego i oznaczamy symbolem Cauchy(γ, δ). Dla tego rozkładu mamy:
Cauchy(γ, δ) = S(1, 0, γ, δ, 0)
= S(1, 0, γ, δ, 1).(2.28)
Rozkład zmiennej losowej
określony dla parametrów
i
i za pomocą swej funkcji gęstości:
nazywamy rozkładem Levy'ego i oznaczamy symbolem Levy(γ, δ). Dla tego rozkładu mamy:
Levy(γ, δ) = S(½, 1, γ, γ + δ, 0)
= S(½, 1, γ, δ, 1).(2.30)
Właściwości wielu rozkładów porównuje się z właściwościami rozkładu Pareto zdefiniowanego jako rozkład zmiennej losowej
określony dla parametrów γ,
za pomocą swej funkcji gęstości:
Rozkład Pareto oznaczamy symbolem Pareto(γ, σ).
[…]
