1 Liczby

Opowieść o liczbach jest nieodłączną częścią historii rozwoju matematyki.

Liczby należą do najstarszych matematycznych wynalazków; ich początki sięgają dziesiątek tysięcy lat wstecz, do czasów, gdy pierwsi ludzie liczyli za pomocą nacięć na kościach zwierząt. Nie wiemy, kto pierwszy wynalazł liczby, wiemy jednak, że pojawiły się niezależnie w wielu różnych kulturach. Stanowią wstęp do podejścia ilościowego, pierwszy krok ku myśleniu opartemu na obiektywnym standardzie pomiaru, a nie wyłącznie na intuicji.

Jest taka słynna opowieść o oliwkach i greckim filozofie, Talesie z Miletu, pochodząca z około 600 roku p.n.e. Według niej Tales jako pierwszy przeprowadził pewne podstawowe modelowanie, by przewidzieć wielkość zbliżających się zbiorów oliwek. Dzięki temu udało mu się przed udanym sezonem zmonopolizować rynek pras do oliwek, ponieważ nikt inny nie wpadł na to, by oszacować, ile takich maszyn może być potrzebnych. Dzięki wyczuciu liczb i starannym obliczeniom Tales zarobił dużo pieniędzy i udowodnił, że filozofia przyrody ma swoją materialną wartość.

Oczywiście wiele rzeczy w świecie rzeczywistym jest zbyt nieuporządkowanych, by dało się je uchwycić prostymi liczbami. Ich opis może wymagać uwzględnienia marginesów błędu, zastosowania liczb ujemnych, wektorów albo jeszcze bardziej skomplikowanego aparatu matematycznego. Istnieją dziedziny życia zbyt złożone, by dało się je opisać za pomocą współczesnego języka matematyki. Ogólnie rzecz biorąc, nie jest dobrym pomysłem myślenie ilościowe o rodzącym się romansie; jeśli próbujesz liczbowo opisywać relacje międzyludzkie, na ogół kończy się to katastrofą. Liczby są użytecznym narzędziem, ale trzeba wiedzieć, kiedy je stosować, a kiedy lepiej nie.

Większość z nas po raz pierwszy styka się z liczbami w dzieciństwie, licząc klocki lub inne przedmioty. Im większe są liczby, tym bardziej abstrakcyjne może wydawać się to, co reprezentują - nawet dorosłym. Dobrze rozumiemy, co to znaczy mieć pięć kulek, osiem winogron czy siedemnaścioro kolegów i koleżanek z klasy, ale raczej nie mamy wrodzonego wyczucia, co naprawdę oznacza deficyt w wysokości biliona dolarów (oraz różnica między deficytem a długiem). Mimo to wszyscy dysponujemy pewną intuicją dotyczącą dużych, abstrakcyjnych liczb. Jeśli kiedykolwiek przyglądałeś się dzieciom grającym w grę o to, które z nich poda największą liczbę, to pewnie zauważyłeś pewną prawidłowość. Jedno mówi "sto", drugie przebija je tysiącem, potem pada milion, następnie miliard i tak dalej. Gdy stawka w grze rośnie, któreś z dzieci ogłasza niewyobrażalnie wielką liczbę - być może googolplex - i myśli, że to zakończy grę. Wtedy dzieje się coś magicznego. Jedno dziecko uświadamia sobie, że niezależnie od tego, co powie inne, zawsze będzie można to przebić liczbą o jeden większą od podanej. Koniec gry. Dziecko to udowodniło tym samym coś, co wcale nie jest oczywiste: że choć każda liczba z osobna jest skończona, to ich zbiór jako obiekt jest nieskończony. Byłem świadkiem, jak dzieci dochodzą do tego "dowodu nie wprost" podczas zwykłej zabawy, bez żadnego nauczyciela w zasięgu wzroku.

Naturalnie nasuwa się pytanie, czy nieskończoność jest liczbą. Standardowe zbiory liczb - w tym liczby naturalne (służące do liczenia), całkowite (liczby naturalne i ich ujemne odpowiedniki oraz zero), wymierne (wszystkie liczby całkowite i ułamki) oraz rzeczywiste (wszystkie liczby na osi liczbowej, w tym liczby niewymierne, takie jak ? i  2 ) - nie zawierają nieskończoności. Czasami jednak warto rozszerzyć je o nieskończoność. Wyobraź sobie, że stoisz na płaszczyźnie i patrzysz na horyzont, który znajduje się nieskończenie daleko i, ściśle rzecz biorąc, nie jest częścią tej płaszczyzny. A teraz, jeśli rozszerzysz płaszczyznę tak, by zawierała brzeg reprezentujący nieskończoność, możesz wyobrazić sobie, co dzieje się, gdy coś oddala się od ciebie i zbliża do punktu na horyzoncie, choć nigdy tam nie dotrze. To właśnie w ten sposób możesz myśleć o nieskończoności - jak o wyidealizowanym przybliżeniu ekstremalnie wielkich liczb. Takie podejście otwiera olbrzymie możliwości w analizie matematycznej, ale wiąże się też z pewnym kompromisem. Ceną, jaką płacisz, jest utrata niektórych praw arytmetyki. Na przykład w zwykłych zbiorach liczbowych x minus x zawsze daje zero. Gdy dołączysz do nich nieskończoność, nie będziesz mógł bezpiecznie powiedzieć, że ta różnica jest zerem. (Jaki miałby być wynik odejmowania nieskończoności od nieskończoności?)

Matematycy nauczyli się, jak ostrożnie obchodzić się z nieskończonością. Bo jest ona niezwykle wygodna. Można z jej pomocą skrócić wiele dowodów[1]. W praktyce często korzysta się z nieskończoności, by rozwiązać jakiś interesujący problem dotyczący wyłącznie liczb skończonych; czasem dopiero po latach inni matematycy potrafią usunąć z takiego rozumowania odwołania do nieskończoności i zastąpić ją ekstremalnie dużymi liczbami. Nie zawsze to działa, ale często da się znaleźć sposób, by sprowadzić dowód z powrotem do rozumowania opartego na skończonych liczbach. Nawet jeśli nieskończoność wydaje ci się podejrzana, możesz użyć jej tymczasowo jako swego rodzaju kodu do gry, który odblokowuje poziom, by zobaczyć, jak zadziałają twoje pomysły. Potem, jeśli naprawdę będziesz tego potrzebował, możesz spróbować ją usunąć, choć to często sprawia, że dowody stają się znacznie bardziej skomplikowane.

Tak jak angielski matematyk John Wallis wprowadził symbol ? oznaczający nieskończoność w 1655 roku, tak ludzie na przestrzeni dziejów wprowadzali różne sposoby reprezentowania liczb. Mamy na przykład system dziesiętny (o podstawie 10), który jest obecnie standardowym systemem do nauczania o liczbach. Ale wcale nie musimy używać podstawy 10. Możemy stosować podstawę 2 (czyli system binarny[2]), podstawę 16 (system szesnastkowy) albo dowolną inną, najlepiej odpowiadającą naszym potrzebom. Średniowieczni europejscy kupcy, prowadząc swoje interesy, często używali podstaw 12 i 20; pewne pozostałości tych systemów można dostrzec w angielskich słowach dozen (tuzin), score (dwudziestka) i gross (dwanaście tuzinów, czyli 144). Babiloński system liczbowy o podstawie 60 dał zaś początek minutom i sekundom w naszych systemach mierzenia czasu (a także kątów). Starożytni Rzymianie mieli własny system liczbowy: do zapisu wyników zliczania wykorzystywali litery: I, V, X, L, C, D oraz M, reprezentujące liczby: 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Starożytni Grecy do oznaczania liczb używali swojego alfabetu: "alfa" to 1, "beta" - 2, i tak dalej. Stosowanie liter alfabetu zarówno do zapisu słów, jak i liczb bywało jednak dezorientujące. Ponadto przy takim podejściu z każdym imieniem wiązała się nieodłącznie pewna liczba, co prowadziło ludzi do przekonania, że ma ono jakieś szczególne znaczenie. Niefortunnym skutkiem tego było powstanie pseudonauki - numerologii.

Liczby oraz sposób, w jaki postanawiamy je zapisywać, mogą ujawniać napięcie między wygodą a sprzecznością. I tak, mimo swojej nazwy - i nieustannych przekonywań ze strony nauczycieli na całym świecie - liczby "rzeczywiste" tak naprawdę nie istnieją w świecie fizycznym. Nie możemy przecież zmierzyć niczego z nieskończoną dokładnością, którą zapewniają. To właśnie dlatego liczby 1,0000... i 0,9999... są sobie równe. Jeśli próbujesz zrobić linijkę, która ma dokładnie jeden metr długości, i odmierzasz ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, możesz otrzymać wynik 1,00 metra, ale także 0,99 metra. Nawet gdy zwiększysz dokładność pomiaru, wciąż zawsze będą istnieć dwa potencjalnie poprawne wyniki. Z początku może cię to dziwić, ale to naturalna konsekwencja faktu, że liczby rzeczywiste są obiektami ciągłymi, podczas gdy my myślimy i komunikujemy się w języku dyskretnym.

  Wstęp

Celem tej krótkiej książki jest wprowadzenie czytelników w sześć głównych obszarów współczesnej matematyki oraz pokazanie, jak pomagają one zrozumieć nasz złożony świat. Przyjrzymy się liczbom, które otwierają drzwi do myślenia ilościowego; algebrze, która prowadzi nas ku myśleniu abstrakcyjnemu; geometrii, która stanowi sposób wyjścia poza to, co możemy zobaczyć; prawdopodobieństwu - narzędziu do odnajdywania drogi w niepewności za pomocą ścisłego rozumowania; analizie, która oswaja to, co bardzo wielkie lub niezwykle małe; oraz dynamice, czyli matematyce zmiany. Nie możemy, rzecz jasna, w tak zwięzłej publikacji omówić całej matematyki; naszym celem jest zdobycie podstawowego rozeznania w fundamentalnych ideach, które ożywiają znaczną część tej dyscypliny. Mam nadzieję uchwycić istotę omawianych obszarów prostym, nietechnicznym językiem i przedstawić elementarne wprowadzenie do świata matematyki: do jego mocy, piękna i wzajemnych powiązań między ideami, które go tworzą.

Jako dziecko uwielbiałem zajmować się matematyką, traktując ją jako abstrakcyjną grę. Lubiłem manipulować liczbami i symbolami, rozwiązywać wymyślone problemy i łamigłówki w ramach zadań domowych oraz ćwiczyć swoje umiejętności, przygotowując się do konkursów matematycznych. Dopiero znacznie później zauważyłem i zacząłem doceniać to, jak głęboko matematyka splata się ze światem, zwłaszcza ze współczesną technologią i jej rozwojem. W tej książce podejmuję próbę opowiedzenia szerszej historii tego, jak matematyka ewoluowała i dojrzewała na przestrzeni stuleci - od początków dobrze znanych pojęć, takich jak liczby, kształty i zmiana, aż po współczesny dorobek matematyczny, zachowujący ciągłość ze starożytnymi koncepcjami.

Zaawansowana matematyka ma opinię dziedziny onieśmielająco abstrakcyjnej i technicznej, czegoś, co najlepiej pozostawić specjalistom. Taka jej reputacja jest oczywiście do pewnego stopnia zasłużona. Moim zdaniem można jednak opisać, czym jest współczesna matematyka, co robią matematycy i jak to wszystko wpływa na "realny świat" oraz resztę ludzkiego doświadczenia, bez konieczności uprzedniego definiowania całej masy złożonych pojęć. Mam nadzieję, że spodoba ci się moja książka - która narodziła się z długich rozmów z moim redaktorem i wydawcą, Thomasem Linem - i że pozwoli ci ona dostrzec fascynującą historię matematyki: opowieść, która rozwija się już od tysięcy lat i wciąż nie wykazuje żadnych oznak spowolnienia!